Harika bir “Düşünme Zamanı” sorusu! Merhaba sevgili öğrencim, bu tür sorular hem bilgilerimizi tazelememize hem de mantık yürütme becerimizi geliştirmemize çok yardımcı olur. Hadi bu şeritlerdeki gizemli harfleri birlikte bulalım ve en büyük değerlerine ulaşalım.
Önce sorunun bizden ne istediğini tam olarak anlayalım. Üç temel kuralımız var:
- Şeritlerdeki harfler, bulundukları basamaklardaki rakamları temsil ediyor. (Yani 0’dan 9’a kadar birer rakam)
- Yan yana en fazla iki rasyonel sayı olabilir. Üçüncüsü mutlaka irrasyonel olmalı.
- Yan yana en fazla iki irrasyonel sayı olabilir. Üçüncüsü mutlaka rasyonel olmalı.
Amacımız ise bu kurallara uyarak harflere verebileceğimiz en büyük değerleri bulmak.
Hadi başlayalım!
a) A + B + C = ?
Önce şeritteki sayıların rasyonel mi (R) yoksa irrasyonel mi (İ) olduğunu belirleyelim. Unutma, kök dışına tam olarak çıkabilen sayılar, ondalık sayılar ve kesirler rasyoneldir. Kök dışına tam çıkamayan sayılar ve π gibi özel sayılar ise irrasyoneldir.
√8 (İ), π (İ), √A6 (?), 0,3 (R), √1000 (İ), 1/2 (R), √1B6 (?), -8,3 (R), √0,25 (R), √12 (İ), √C4 (?), √(1/5) (İ)
Şimdi harfleri bulalım:
Adım 1: A’yı Bulalım
√A6 sayısı, kendisinden önceki iki sayının (√8 ve π) ikisi de irrasyonel. Kuralımıza göre yan yana en fazla iki irrasyonel sayı olabilirdi. Bu yüzden √A6 sayısı bu zinciri kırmalı ve rasyonel olmalıdır. Bir köklü ifadenin rasyonel olması için kökün içindeki sayının tam kare olması gerekir. Sonu 6 ile biten tam kare sayıları düşünelim: 16, 36. A’nın en büyük değerini aradığımız için 36’yı seçeriz.
Bu durumda A = 3 olur. (√36 = 6, rasyonel bir sayıdır.)
Adım 2: B’yi Bulalım
√1B6 sayısı, kendisinden sonraki iki sayının (-8,3 ve √0,25=0,5) ikisi de rasyonel. Bu durumda √1B6, rasyonel sayı zincirini kırmak için irrasyonel olmalıdır. Yani 1B6 sayısının tam kare olmaması gerekir. B’ye en büyük değeri vermek için 9’dan başlayarak deneyelim.
- Eğer B=9 olsaydı, sayı √196 olurdu. √196 = 14’tür ve bu rasyonel bir sayıdır. Ama biz irrasyonel olmasını istiyoruz. Demek ki B=9 olamaz.
- O zaman bir küçüğünü deneyelim. B=8 olursa, sayı √186 olur. 186 tam kare bir sayı değildir, yani √186 irrasyoneldir. Bu istediğimiz şartı sağlıyor.
En büyük değeri aradığımız için B = 8 olur.
Adım 3: C’yi Bulalım
√C4 sayısı, kendisinden önceki √12 (İ) ve kendisinden sonraki √(1/5) (İ) sayılarının arasındadır. Yani iki irrasyonel sayının ortasında. Eğer √C4 de irrasyonel olursa, yan yana üç tane irrasyonel sayı olur ki bu kurala aykırı. O halde √C4 sayısı rasyonel olmalıdır. Sonu 4 ile biten tam kare sayıları düşünelim: 4, 64. C’nin en büyük değerini aradığımız için 64’ü seçeriz.
Bu durumda C = 6 olur. (√64 = 8, rasyonel bir sayıdır.)
Sonuç:
Bulduğumuz en büyük değerleri toplayalım.
A + B + C = 3 + 8 + 6 = 17
b) K + L + M = ?
Yine aynı yöntemle şeridi analiz edelim.
√12 (İ), √1,7 (İ), √4K (?), √2,15 (İ), -6,3 (R), 21/7=3 (R), √1,L9 (?), √1(25/9)=√34/3 (İ), 0 (R), √4,8M (?), √125 (İ), √4,9 (İ)
Şimdi harfleri bulalım:
Adım 1: K’yı Bulalım
√4K sayısı, kendisinden önceki iki sayının (√12 ve √1,7) ikisi de irrasyonel. Kuralımıza göre √4K sayısı bu zinciri kırmalı ve rasyonel olmalıdır. Yani 4K sayısı bir tam kare olmalı. 40’lı sayılarda tam kare olan sadece 49 vardır.
Bu durumda K = 9 olur. (√49 = 7, rasyonel bir sayıdır.)
Adım 2: L’yi Bulalım
√1,L9 sayısı, kendisinden önceki iki sayının (-6,3 ve 21/7=3) ikisi de rasyonel. Bu durumda √1,L9 sayısı bu zinciri kırmak için irrasyonel olmalıdır. Yani 1,L9 sayısının kök dışına tam çıkmaması gerekir. Bu da 1L9 sayısının tam kare olmaması demektir. L’ye en büyük değeri vermek için 9’dan deneyelim.
- L=9 olursa, sayı √1,99 olur. 199 tam kare değildir, yani √1,99 irrasyoneldir. Bu istediğimiz şartı sağlıyor.
100 ile 200 arasındaki tam kareler 121, 144, 169, 196’dır. Sadece L=6 olursa sayı √1,69=1,3 olur ve rasyonel olur. Biz irrasyonel olmasını istediğimize ve en büyük L değerini aradığımıza göre L = 9 olur.
Adım 3: M’yi Bulalım
√4,8M sayısı, kendisinden sonraki iki sayının (√125 ve √4,9) ikisi de irrasyonel. Bu durumda √4,8M sayısı bu zinciri kırmak için rasyonel olmalıdır. Yani 4,8M sayısının kökü tam çıkmalı. Bu da 48M sayısının bir tam kare olması demektir. 480’li sayılardaki tam kareleri düşünelim. 20²=400, 21²=441, 22²=484. Evet! 484 bir tam karedir.
Bu durumda M = 4 olur. (√4,84 = 2,2, rasyonel bir sayıdır.)
Sonuç:
Bulduğumuz en büyük değerleri toplayalım.
K + L + M = 9 + 9 + 4 = 22
c) X + Y + Z = ?
Son şeridimizi de aynı dikkatle inceleyelim.
√0,9 (İ), √X1 (?), -7/11 (R), √2(7/9)=5/3 (R), √24 (İ), -√3,6 (İ), √Y,25 (?), 2,25 (R), √72 (İ), √(225/5)=√45 (İ), √5,Z9 (?), √(4/10) (İ)
Şimdi harfleri bulalım:
Adım 1: X’i Bulalım
√X1 sayısı, kendisinden sonraki iki sayının (-7/11 ve 5/3) ikisi de rasyonel. Bu durumda √X1 sayısı irrasyonel olmalıdır. Yani X1 sayısı tam kare olmamalıdır. X’e en büyük değeri vermek için 9’dan deneyelim.
- X=9 olursa, sayı √91 olur. 91 tam kare değildir, yani √91 irrasyoneldir. Bu istediğimiz şartı sağlıyor.
(Eğer X=8 olsaydı sayı √81=9 olurdu, rasyonel olurdu. O yüzden 8 olamaz.) En büyük değeri aradığımız için X = 9 olur.
Adım 2: Y’yi Bulalım
√Y,25 sayısı, kendisinden önceki iki sayının (√24 ve -√3,6) ikisi de irrasyonel. Bu durumda √Y,25 sayısı bu zinciri kırmak için rasyonel olmalıdır. Yani Y,25 sayısının kökü tam çıkmalı, bu da Y25 sayısının tam kare olması demektir. Sonu 25 ile biten tam kare sayıları düşünelim: 25, 225, 625… Y bir rakam olduğuna göre Y25 sayısı 225 veya 625 olabilir. En büyük Y değerini aradığımız için 625’i seçeriz.
Bu durumda Y = 6 olur. (√6,25 = 2,5, rasyonel bir sayıdır.)
Adım 3: Z’yi Bulalım
√5,Z9 sayısı, kendisinden önceki iki sayının (√72 ve √45) ikisi de irrasyonel. Bu durumda √5,Z9 sayısı bu zinciri kırmak için rasyonel olmalıdır. Yani 5Z9 sayısı bir tam kare olmalıdır. 500’lü sayılardaki tam kareleri düşünelim: 22²=484, 23²=529. Evet! 529 bir tam karedir.
Bu durumda Z = 2 olur. (√5,29 = 2,3, rasyonel bir sayıdır.)
Sonuç:
Bulduğumuz en büyük değerleri toplayalım.
X + Y + Z = 9 + 6 + 2 = 17
Umarım açıklamalarım anlaşılır olmuştur. Gördüğün gibi kuralları anladıktan ve dikkatli bir şekilde adım adım ilerledikten sonra soru ne kadar karmaşık görünürse görünsün çözülebiliyor. Başarılar dilerim