Merhaba sevgili öğrencim,
Harika bir çalışma! Bu alıştırmaları birlikte çözerek EBOB ve EKOK konusunu pekiştirelim. İşte gönderdiğin görseldeki soruların adım adım çözümleri ve açıklamaları. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Haydi başlayalım!
1. Aşağıdaki sayı çiftlerinin EBOB ve EKOK’larını bulunuz.
Unutma, EBOB (En Büyük Ortak Bölen) için asal çarpan algoritmasında her iki sayıyı da bölen ortak sayıları işaretleyip çarparız. EKOK (En Küçük Ortak Kat) için ise algoritmadaki tüm asal sayıları çarparız.
a) 6 ve 9
Adım 1: Sayıları yan yana yazıp asal çarpan algoritmasını uygulayalım.
6 9 | 2
3 9 | 3* (Hem 3’ü hem de 9’u böldüğü için işaretliyoruz)
1 3 | 3
1 1Adım 2: EBOB’u bulmak için işaretli sayıları çarpalım. Burada sadece 3 var.
EBOB(6, 9) = 3
Adım 3: EKOK’u bulmak için algoritmanın sağındaki tüm sayıları çarpalım.
EKOK(6, 9) = 2 x 3 x 3 = 18
Sonuç: EBOB = 3, EKOK = 18
b) 12 ve 24
Burada küçük bir ipucu: Eğer sayılardan biri diğerinin katı ise, EBOB küçük olan sayıya, EKOK ise büyük olan sayıya eşittir. 24, 12’nin 2 katıdır.
EBOB(12, 24) = 12
EKOK(12, 24) = 24
Sonuç: EBOB = 12, EKOK = 24
c) 27 ve 36
Adım 1: Asal çarpan algoritmasını uygulayalım.
27 36 | 2
27 18 | 2
27 9 | 3* (Ortak bölen)
9 3 | 3* (Ortak bölen)
3 1 | 3
1 1Adım 2: EBOB için işaretli sayıları çarpalım.
EBOB(27, 36) = 3 x 3 = 9
Adım 3: EKOK için tüm sayıları çarpalım.
EKOK(27, 36) = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 108
Sonuç: EBOB = 9, EKOK = 108
ç) 30 ve 43
Dikkat! 43 bir asal sayıdır, yani sadece 1’e ve kendisine bölünür. Bu durumda 30 ve 43’ün 1’den başka ortak böleni yoktur. Böyle sayılara “aralarında asal” diyoruz.
Aralarında asal sayıların EBOB’u her zaman 1’dir.
EBOB(30, 43) = 1
Aralarında asal sayıların EKOK’u ise bu sayıların çarpımına eşittir.
EKOK(30, 43) = 30 x 43 = 1290
Sonuç: EBOB = 1, EKOK = 1290
d) 52 ve 64
Adım 1: Asal çarpan algoritmasını uygulayalım.
52 64 | 2*
26 32 | 2*
13 16 | 2
13 8 | 2
13 4 | 2
13 2 | 2
13 1 | 13
1 1Adım 2: EBOB için işaretli sayıları çarpalım.
EBOB(52, 64) = 2 x 2 = 4
Adım 3: EKOK için tüm sayıları çarpalım.
EKOK(52, 64) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 13 = 64 x 13 = 832
Sonuç: EBOB = 4, EKOK = 832
e) 88 ve 144
Adım 1: Asal çarpan algoritmasını uygulayalım.
88 144 | 2*
44 72 | 2*
22 36 | 2*
11 18 | 2
11 9 | 3
11 3 | 3
11 1 | 11
1 1Adım 2: EBOB için işaretli sayıları çarpalım.
EBOB(88, 144) = 2 x 2 x 2 = 8
Adım 3: EKOK için tüm sayıları çarpalım.
EKOK(88, 144) = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 11 = 16 x 9 x 11 = 144 x 11 = 1584
Sonuç: EBOB = 8, EKOK = 1584
f) 120 ve 150
Adım 1: Asal çarpan algoritmasını uygulayalım.
120 150 | 2*
60 75 | 2
30 75 | 2
15 75 | 3*
5 25 | 5*
1 5 | 5
1 1Adım 2: EBOB için işaretli sayıları çarpalım.
EBOB(120, 150) = 2 x 3 x 5 = 30
Adım 3: EKOK için tüm sayıları çarpalım.
EKOK(120, 150) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5 = 8 x 3 x 25 = 24 x 25 = 600
Sonuç: EBOB = 30, EKOK = 600
g) 256 ve 512
Yine ipucu zamanı! 512, 256’nın tam 2 katıdır. Yani biri diğerinin katı.
EBOB(256, 512) = 256 (Küçük olan sayı)
EKOK(256, 512) = 512 (Büyük olan sayı)
Sonuç: EBOB = 256, EKOK = 512
2. Kış olimpiyatları için Erzurum’a giden 33 Azerbaycanlı ve 42 Kazakistanlı sporcu bir otele yerleştirilecektir. Aynı ülkeden gelen sporcular aynı odada kalmak şartıyla odalara eşit sayıda dağıtılacaktır. Buna göre sporcuların tamamını istenen şartlarda otele yerleştirmek için en az kaç oda gereklidir?
Adım 1: Problemi Anlayalım
Bu soruda sporcuları eşit kapasiteli odalara ayırmamız isteniyor. “En az kaç oda gerekir?” diye sorulması, odalara yerleştirebileceğimiz en fazla sayıda sporcu olması gerektiği anlamına gelir. Büyük bir grubu küçük ve eşit parçalara ayırma işlemi bir EBOB problemidir. Yani 33 ve 42’nin EBOB’unu bularak bir odaya kaç sporcu yerleştireceğimizi bulacağız.
Adım 2: EBOB’u Bulalım
33 ve 42 sayılarının en büyük ortak bölenini bulalım.
33 42 | 2
33 21 | 3* (Hem 33’ü hem 21’i böler)
11 7 | 7
11 1 | 11
1 1
Gördüğün gibi, ortak bölen sadece 3’tür.
EBOB(33, 42) = 3
Bu demek oluyor ki her odada 3 sporcu kalacak.
Adım 3: Oda Sayısını Hesaplayalım
Şimdi her ülke için kaç oda gerektiğini bulalım.
- Azerbaycanlı sporcular için: 33 / 3 = 11 oda
- Kazakistanlı sporcular için: 42 / 3 = 14 oda
Toplam oda sayısını bulmak için bu iki sayıyı toplayalım.
11 + 14 = 25 oda
Sonuç: Sporcuların tamamını yerleştirmek için en az 25 oda gereklidir.
3. Bir kitabın sayfa sayısı ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
- Sayfa sayısı 60 ile 100 arasındadır.
- Sayfa sayısının asal çarpanları 2 ve 3’tür.
- Sayfa sayısını oluşturan rakamlar aralarında asaldır.
Buna göre aşağıdaki boşluklara kitabın sayfa sayısı ile ilgili yargılar doğru ise “D”, yanlış ise “Y” yazınız.
Adım 1: Kitabın Sayfa Sayısını Bulalım
Önce kitabın kaç sayfa olabileceğini bulalım. Asal çarpanları sadece 2 ve 3 olan, 60 ile 100 arasındaki sayıları aramalıyız. Yani sayımız 2a x 3b şeklinde olmalı.
- 21 x 33 = 2 x 27 = 54 (60’tan küçük, olmaz)
- 22 x 32 = 4 x 9 = 36 (60’tan küçük, olmaz)
- 23 x 32 = 8 x 9 = 72 (60 ile 100 arasında, olabilir!)
- 24 x 31 = 16 x 3 = 48 (60’tan küçük, olmaz)
- 25 x 31 = 32 x 3 = 96 (60 ile 100 arasında, olabilir!)
- 21 x 34 = 2 x 81 = 162 (100’den büyük, olmaz)
İki adayımız var: 72 ve 96.
Adım 2: Son Şartı Kontrol Edelim
“Sayfa sayısını oluşturan rakamlar aralarında asaldır” deniyor. Yani rakamların EBOB’u 1 olmalı.
- 72 için: Rakamlar 7 ve 2’dir. EBOB(7, 2) = 1. Evet, aralarında asallar. Bu şartı sağladı!
- 96 için: Rakamlar 9 ve 6’dır. EBOB(9, 6) = 3. Aralarında asal değiller. Bu şartı sağlamadı.
Demek ki kitabımızın sayfa sayısı 72‘dir.
Adım 3: Yargıları Değerlendirelim
Şimdi 72 sayısına göre verilen ifadelerin doğruluğunu kontrol edelim.
a) ( D ) 25 ile aralarında asaldır.
72’nin asal çarpanları 2 ve 3’tür. 25’in asal çarpanı ise sadece 5’tir. Ortak bir asal çarpanları olmadığı için 72 ve 25 aralarında asaldır. Bu ifade Doğru (D).
b) ( D ) 73 ile EBOB’u 1’dir.
73 bir asal sayıdır. 72, 73’e bölünmez. Dolayısıyla bu iki sayının 1’den başka ortak böleni yoktur. EBOB’ları 1’dir. Bu ifade Doğru (D).
c) ( Y ) 5 ile EKOK’u 480’dir.
72 ve 5 aralarında asal sayılardır. Aralarında asal sayıların EKOK’u, bu sayıların çarpımına eşittir.
EKOK(72, 5) = 72 x 5 = 360.
İfadede 480 denmiş. Bu yüzden bu ifade Yanlış (Y).ç) ( Y ) Çarpanlarından aralarında asal olanların toplamının en küçük değeri 35’tir.
72’nin çarpanlarını yazalım: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}.
Bu listeden aralarında asal olan iki sayı seçip toplayacağız ve en küçük toplamı arayacağız. Örneğin 8 ve 9’u seçebiliriz. İkisi de 72’nin çarpanı ve aralarında asallar.
8 + 9 = 17.
Daha küçük bir toplam bulabilir miyiz? Evet! 1 ile 2’yi seçebiliriz.
1 + 2 = 3.
Bulabileceğimiz en küçük değer 3’tür. İfadede 35 denmiş. Bu yüzden bu ifade Yanlış (Y).
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Başarılar dilerim!