Merhaba gençler! Ben matematik öğretmeniniz. Bugün birlikte kareköklü sayılar ve geometri konularını içeren bu güzel soruları çözeceğiz. Unutmayın, matematik sabır ve adım adım ilerleme işidir. Hazırsanız, kalemleriniz ve defterleriniz hazırsa, başlayalım!
Soru 11: Şekil 1’de alanı 80 cm² olan karenin içerisinden alanı 45 santimetrekare olan I ve 20 santimetrekare olan II. kare çıkarılmıştır. Buna göre Şekil 2’nin çevre uzunluğu kaç santimetredir?
Bu soruda ilk bakışta kafamız karışabilir. Sanki bir şeyler çıkarılınca çevre azalırmış gibi düşünebiliriz ama burada bir püf noktası var. Hadi adım adım gidelim ve bu püf noktasını keşfedelim.
Çözüm:
Adım 1: Karelerin Kenar Uzunluklarını Bulalım
Biliyorsunuz, bir karenin alanı, bir kenarının kendisiyle çarpımına eşittir (a²). O zaman bir kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü alırız.
- Büyük karenin alanı 80 cm² ise, bir kenarı: √80 = √(16 · 5) = 4√5 cm‘dir.
- I. karenin alanı 45 cm² ise, bir kenarı: √45 = √(9 · 5) = 3√5 cm‘dir.
- II. karenin alanı 20 cm² ise, bir kenarı: √20 = √(4 · 5) = 2√5 cm‘dir.
Adım 2: Çevredeki Değişimi Anlayalım
Şimdi en önemli kısma geldik. Şekil 1’deki büyük karenin bir köşesinden I. kareyi çıkardığımızı hayal edelim. Köşeden iki kenar parçası gitti, değil mi? Ama içeriye doğru, onlarla aynı uzunlukta iki yeni kenar geldi. Yani, giden kenar uzunluğu ile gelen kenar uzunluğu birbirine eşit olduğu için çevre uzunluğu aslında değişmedi!
Aynı durum II. kare için de geçerli. Köşeden iki kenar parçasını çıkarıyoruz ama içeriye doğru aynı uzunlukta iki yeni kenar ekleniyor. Bu yüzden çevre yine değişmiyor.
Adım 3: Sonucu Hesaplayalım
Madem Şekil 2’nin çevresi, baştaki büyük karenin çevresine eşit, o zaman tek yapmamız gereken büyük karenin çevresini hesaplamak.
Büyük karenin bir kenarı 4√5 cm idi.
Çevre = 4 × (Bir kenar uzunluğu) = 4 × 4√5 = 16√5 cm
Sonuç:
Doğru cevap B) 16√5‘tir.
Soru 12: 15√3 kilometre uzunluğundaki bir yolun 8 km’lik kısmında asfaltlama çalışması yapılmaktadır. Buna göre yolun çalışma yapılmayan kısmının kilometre cinsinden uzunluğu hangi tam sayıya daha yakındır?
Bu bir “yaklaşık değer” sorusu. Kareköklü bir ifadenin hangi tam sayılar arasında olduğunu bulmamız gerekiyor. En kolay yöntem, katsayıyı kökün içine almaktır. Hadi yapalım!
Çözüm:
Adım 1: Yolun Toplam Uzunluğunun Yaklaşık Değerini Bulalım
Yolun toplam uzunluğu 15√3 km. Buradaki 15’i kökün içine alalım. Biliyorsunuz, bir sayı kök içine girerken karesi alınır.
15√3 = √(15² · 3) = √(225 · 3) = √675 km.
Şimdi √675’in hangi tam sayıya yakın olduğunu bulalım. Bunun için 675’e en yakın tam kare sayıları düşünelim.
- 25² = 625
- 26² = 676
Gördüğünüz gibi, 675 sayısı 676’ya çok ama çok yakın. O zaman √675 sayısı da √676’ya, yani 26‘ya çok yakındır. Yolun toplam uzunluğunu yaklaşık olarak 26 km kabul edebiliriz.
Adım 2: Çalışma Yapılmayan Kısmı Hesaplayalım
Toplam yol yaklaşık 26 km idi. 8 km’lik kısmında çalışma yapılmış.
Çalışma yapılmayan kısım = (Toplam Yol) – (Çalışma Yapılan Kısım)
Çalışma yapılmayan kısım ≈ 26 – 8 = 18 km.
Sonuç:
Çalışma yapılmayan kısım 18 km’ye daha yakındır. Doğru cevap B) 18‘dir.
Soru 13: Yanda O merkezli çember ve DEFC karesi verilmiştir. DEFC karesinin C ve D köşe noktaları O merkezli çemberin üzerindedir. O merkezli çemberin iç bölgesinin alanı 6,75 santimetrekare, DEFC karesinin iç bölgesinin alanı 3,24 santimetrekaredir. [AB] çap ve [CF] // [AB] // [DE] ise x – y işleminin santimetre cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir? (π = 3 alınız.)
Geometri ve karekökü birleştiren harika bir soru! Şekle aldanmayın, verilen bilgileri kullanarak adım adım ilerlediğimizde ne kadar kolay olduğunu göreceksiniz. İhtiyacımız olan şeyler: Çemberin alan formülü, karenin alan formülü ve meşhur Pisagor Teoremi!
Çözüm:
Adım 1: Karenin Kenarını ve Çemberin Yarıçapını Bulalım
- Karenin Alanı = 3,24 cm². Bir kenarı (a) = √3,24. Unutma, 18²=324 ise 1,8²=3,24’tür. O zaman karenin bir kenarı a = 1,8 cm‘dir.
- Çemberin Alanı = 6,75 cm². Alan formülü πr² idi. π=3 almamız istenmiş.
- 3 · r² = 6,75
- r² = 6,75 / 3 = 2,25
- r = √2,25. 15²=225 ise 1,5²=2,25’tir. O zaman çemberin yarıçapı r = 1,5 cm‘dir.
Adım 2: Şekil Üzerinde Gizli Bir Dik Üçgen Bulalım
Merkez O’dan karenin D köşesine bir çizgi çizin. Bu çizgi çemberin yarıçapıdır, yani uzunluğu 1,5 cm’dir. Şimdi O’dan karenin CD kenarına bir dikme indirelim. Bu dikme, CD kenarını iki eşit parçaya böler. CD kenarı 1,8 cm olduğuna göre, bu parçalardan her biri 1,8 / 2 = 0,9 cm olur. İşte size bir dik üçgen! Hipotenüs 1,5 cm, dik kenarlardan biri 0,9 cm. Diğer dik kenarı (O’dan CD’ye olan uzaklık) Pisagor ile bulalım.
(0,9)² + (diğer dik kenar)² = (1,5)²
0,81 + (diğer dik kenar)² = 2,25
(diğer dik kenar)² = 2,25 – 0,81 = 1,44
diğer dik kenar = √1,44 = 1,2 cm. Bu uzunluk, O merkezinin CD kenarına olan uzaklığıdır.
Adım 3: x ve y Değerlerini Hesaplayalım
Şimdi x ve y’nin ne olduğuna bakalım.
- y’yi bulalım: y, A noktası ile CD kenarı arasındaki uzaklık. O’dan A’ya olan uzaklık yarıçap kadardır (1,5 cm). O’dan CD’ye olan uzaklığı da az önce 1,2 cm bulduk. O zaman y = 1,5 – 1,2 = 0,3 cm.
- x’i bulalım: x, O merkezi ile DE kenarı arasındaki uzaklık. Karenin karşılıklı kenarları olan CD ve EF arasındaki uzaklık, karenin bir kenarı kadardır (1,8 cm). Biz O’nun CD’ye uzaklığını 1,2 cm bulmuştuk. O zaman O’nun EF’ye olan uzaklığı 1,8 – 1,2 = 0,6 cm olur. Paralellikten dolayı O’nun DE’ye olan uzaklığı da aynıdır. Yani x = 0,6 cm.
Adım 4: Son İşlemi Yapalım
Soru bizden x – y değerini istiyor.
x – y = 0,6 – 0,3 = 0,3
Sonuç:
İşlemin sonucu 0,3’tür. Doğru cevap A) 0,3‘tür.
Soru 14: Aşağıdaki sayılardan hangisi √0,16 · √0,09 çarpımına eşittir?
Ondalıklı sayıların karekökünü almak gözünüzü korkutmasın. Onları rasyonel sayıya (kesir) çevirince işimiz çok kolaylaşır. Hadi görelim!
Çözüm:
Adım 1: Ondalıklı Sayıları Rasyonel Sayıya Çevirelim
- √0,16 = √(16/100)
- √0,09 = √(9/100)
Adım 2: Karekökleri Hesaplayalım
Bir kesrin karekökü, payın karekökü bölü paydanın kareköküdür.
- √(16/100) = √16 / √100 = 4 / 10 = 0,4
- √(9/100) = √9 / √100 = 3 / 10 = 0,3
Adım 3: Çarpma İşlemini Yapalım
Şimdi bulduğumuz bu iki değeri çarpalım.
0,4 × 0,3 = 0,12
Adım 4: Şıkları Kontrol Edelim
Bulduğumuz 0,12 sonucunu veren şıkkı bulmalıyız.
- A) 1,2 · 10⁻³ = 0,0012
- B) 1,44 · 10⁻² = 0,0144
- C) 12 · 10⁻² = 12 / 100 = 0,12
- D) 14,4 · 10⁻² = 0,144
Gördüğümüz gibi sonucumuz C şıkkı ile eşleşiyor.
Sonuç:
Doğru cevap C) 12 · 10⁻²‘dir.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, ne kadar çok soru çözerseniz o kadar hızlanır ve konuları o kadar iyi anlarsınız. Başarılar dilerim!