Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencim, 8. sınıf matematik konularından en sevdiklerimden biri olan “Eğim” ile ilgili bu soruları birlikte adım adım çözeceğiz. Unutma, eğim bir doğrunun ne kadar dik olduğunu gösteren bir ölçüdür ve genellikle “dikey uzunluk bölü yatay uzunluk” formülüyle bulunur. Haydi başlayalım!
4) Aşağıdaki koordinat sistemlerinde verilen doğruların eğimlerini bulunuz.
Bu soruda bize üç farklı doğru verilmiş ve eğimlerini bulmamız isteniyor. Eğim formülümüzü hatırlayalım: Eğim (m) = Dikey Uzunluk / Yatay Uzunluk. Bir de çok önemli bir kuralımız var: Eğer doğru sağa yatıksa eğim pozitif (+), sola yatıksa eğim negatif (-) olur.
a)
d doğrusunun eğimi:
Adım 1: Önce doğrunun yönüne bakalım. ‘d’ doğrusu soldan sağa doğru yukarıya çıktığı için sağa yatıktır. Bu yüzden eğimi pozitif (+) olacak.
Adım 2: Şimdi dikey ve yatay uzunlukları bulalım. Doğrunun y eksenini kestiği noktanın orijine (başlangıç noktasına) olan dikey uzaklığı 3 birimdir. x eksenini kestiği noktanın orijine olan yatay uzaklığı ise 4 birimdir. (Uzaklık negatif olamayacağı için -4 yerine 4 alıyoruz.)
Adım 3: Formülümüzü uygulayalım.
Eğim (m) = Dikey Uzunluk / Yatay Uzunluk = 3 / 4
Sonuç: d doğrusunun eğimi 3/4‘tür.
b)
k doğrusunun eğimi:
Adım 1: ‘k’ doğrusunun yönüne bakalım. Bu doğru soldan sağa doğru aşağıya indiği için sola yatıktır. Bu da demek oluyor ki eğimi negatif (-) olacak.
Adım 2: Dikey ve yatay uzunlukları bulalım. Doğrunun y eksenini kestiği noktanın orijine dikey uzaklığı 4 birim. x eksenini kestiği noktanın orijine yatay uzaklığı ise 6 birim.
Adım 3: Formülü uygulayalım ve başına eksi işaretini koymayı unutmayalım!
Eğim (m) = – (Dikey Uzunluk / Yatay Uzunluk) = – (4 / 6)
Bu kesri sadeleştirebiliriz. Payı ve paydayı 2’ye bölersek: – (2 / 3)
Sonuç: k doğrusunun eğimi -2/3‘tür.
c)
n doğrusunun eğimi:
Adım 1: ‘n’ doğrusu, aynı a şıkkındaki gibi, sağa yatıktır. O halde eğimi pozitif (+) olacak.
Adım 2: Dikey ve yatay uzunlukları bulalım. Doğrunun y eksenini kestiği noktanın orijine dikey uzaklığı 2 birim. (Yine uzaklık olarak düşündüğümüz için -2 yerine 2 alıyoruz). x eksenini kestiği noktanın orijine yatay uzaklığı ise 3 birim.
Adım 3: Formülümüzü uygulayalım.
Eğim (m) = Dikey Uzunluk / Yatay Uzunluk = 2 / 3
Sonuç: n doğrusunun eğimi 2/3‘tür.
5) Aşağıda eş birimkarelerden oluşan kareli bir zemin verilmiştir. Buna göre aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına “D”, yanlış olanların başına “Y” yazınız.
Kareli zeminde eğim bulmak daha da eğlencelidir! İki nokta arasındaki eğimi bulmak için bir noktadan diğerine giderken kaç birim yukarı/aşağı (dikey) ve kaç birim sağa/sola (yatay) gittiğimizi sayacağız. Unutma, yukarı ve sağa hareketler pozitif (+), aşağı ve sola hareketler negatif (-) olarak düşünülebilir.
- ( Y ) A ile B noktalarının birleştirilmesiyle oluşan doğru parçasının eğimi 2’dir.
Açıklama: A noktasından B noktasına gitmek için; 2 birim yukarı (+2 dikey) ve 1 birim sağa (+1 yatay) gideriz.
Eğim = Dikey / Yatay = 2 / 1 = 2.Pardon, bir anlık dalgınlık! Bu ifade Doğru olmalı. Tekrar kontrol edelim: A’dan B’ye 2 yukarı, 1 sağa. Eğim 2/1 = 2. Evet, ifade doğru.
( D ) A ile B noktalarının birleştirilmesiyle oluşan doğru parçasının eğimi 2’dir.
Açıklama: A noktasından B noktasına gitmek için 2 birim yukarı (+2 dikey) ve 1 birim sağa (+1 yatay) hareket ederiz. Formülümüzü uygularsak: Eğim = 2 / 1 = 2. Bu ifade doğrudur. - ( Y ) C ile F noktalarının birleştirilmesiyle oluşan doğru parçasının eğimi 2/3’tür.
Açıklama: C noktasından F noktasına gitmek için; 2 birim yukarı (+2 dikey) ve 3 birim sola (-3 yatay) gideriz.
Eğim = Dikey / Yatay = 2 / (-3) = -2/3.
İfadede eğimin 2/3 olduğu söyleniyor ama biz -2/3 bulduk. İşaretler farklı! Bu yüzden bu ifade yanlıştır. - ( D ) B ile F ve A ile E noktalarının birleştirilmesiyle oluşan doğru parçalarının eğimleri eşittir.
Açıklama: İki eğimi de ayrı ayrı hesaplayalım.
B’den F’ye:1 birim yukarı (+1 dikey), 2 birim sağa (+2 yatay). Eğim = 1/2.
A’dan E’ye:1 birim yukarı (+1 dikey), 2 birim sağa (+2 yatay). Eğim = 1/2.
İki eğim de 1/2 çıktı. Demek ki eğimleri eşittir. Bu ifade doğrudur. - ( Y ) H ile F noktalarının birleştirilmesiyle oluşan doğru parçasının eğimi -3/7’tür.
Açıklama: H noktasından F noktasına gitmek için; 3 birim yukarı (+3 dikey) ve 4 birim sağa (+4 yatay) gideriz.
Eğim = Dikey / Yatay = 3 / 4.
İfadede ise eğimin -3/7 olduğu söyleniyor. Bizim bulduğumuz sonuçla hiç alakası yok. Bu ifade kesinlikle yanlıştır. - ( Y ) C ile G noktalarının birleştirilmesiyle oluşan doğru parçasının eğimi sıfırdır.
Açıklama: C noktasından G noktasına giden doğru parçasına bakalım. Bu doğru parçası dikey bir doğrudur. Yatayda hiç hareket etmez.
Çok önemli bir not: Yatay doğruların (x eksenine paralel) eğimi sıfırdır. Ancak dikey doğruların (y eksenine paralel) eğimi tanımsızdır!
Çünkü yatay hareket 0’dır ve bir sayıyı 0’a bölemeyiz. Bu yüzden bu ifade yanlıştır.
6) Eğimi %10 olan yolda ilerleyen bir kamyon yolun sonunda başladığı noktadan 820 metre yüksekliğe çıkmıştır. Buna göre bu kamyonun yatayda kaç kilometre yer değiştirdiğini bulunuz.
Bu bir “eğim problemi” ve aslında çok basit bir orantı kurarak çözeceğiz.
Adım 1: Yüzde olarak verilen eğimi kesir olarak yazalım. Eğim %10 demek, 10/100 demektir. Sadeleştirirsek 1/10 olur.
Bu ne anlama geliyor? Bu yol, yatayda 10 metre gidildiğinde dikeyde 1 metre yükseliyor demek.
Adım 2: Eğim formülümüzü yazalım ve bildiklerimizi yerine koyalım.
Eğim = Dikey Yükseklik / Yatay Mesafe
1/10 = 820 metre / Yatay Mesafe
Adım 3: Şimdi bu orantıyı çözelim. İçler-dışlar çarpımı yapabiliriz.
1 x (Yatay Mesafe) = 10 x 820
Yatay Mesafe = 8200 metre.
Adım 4: Soruda bizden sonuç kilometre olarak isteniyor. Buna çok dikkat etmeliyiz! 1 kilometre = 1000 metre olduğunu biliyoruz. Metreyi kilometreye çevirmek için 1000’e bölmemiz gerekir.
8200 / 1000 = 8,2 kilometre.
Sonuç: Kamyon yatayda 8,2 km yer değiştirmiştir.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Harika iş çıkardın! Unutma, matematik pratik yaparak öğrenilir. Başarılar dilerim!