Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencilerim, ben sizin 8. Sınıf Matematik öğretmeniniz. Bu alıştırmaları birlikte, adım adım ve anlayarak çözeceğiz. Unutmayın, kareköklü sayılarla işlem yapmak aslında bir oyun gibidir, kurallarını bildikten sonra çok keyifli hale gelir. Haydi başlayalım!
1) Aşağıdaki işlemleri yapınız.
Kareköklü sayılarda çarpma ve bölme yaparken temel bir kuralımız var: Katsayılar kendi arasında, kök içindeki sayılar kendi arasında işlem görür.
a) √3 ⋅ √2
Adım 1: Bu ifadelerin katsayıları yazılmadığı için 1’dir. Kök içindeki sayıları ise aynı kök içinde çarpabiliriz.
Adım 2: √(3 ⋅ 2) = √6
Sonuç: √6
b) √5 ⋅ √20
Adım 1: Kök içindeki sayıları aynı kök içinde çarpalım.
Adım 2: √(5 ⋅ 20) = √100
Adım 3: √100, 10’un karesi olduğu için kök dışına 10 olarak çıkar.
Sonuç: 10
c) 10√8 ÷ 5√2
Adım 1: Önce katsayıları birbirine bölelim: 10 ÷ 5 = 2
Adım 2: Sonra kök içindeki sayıları birbirine bölelim: √8 ÷ √2 = √(8/2) = √4
Adım 3: Şimdi bulduğumuz sonuçları birleştirelim. 2 ⋅ √4. Bildiğimiz gibi √4 = 2’dir.
Adım 4: 2 ⋅ 2 = 4
Sonuç: 4
ç) 2√3 ⋅ 2√6
Adım 1: Katsayıları kendi arasında çarpalım: 2 ⋅ 2 = 4
Adım 2: Kök içlerini kendi arasında çarpalım: √3 ⋅ √6 = √(3 ⋅ 6) = √18
Adım 3: Sonuçları birleştirelim: 4√18. Ancak burada dikkat! √18’i a√b şeklinde yazabiliriz. 18 = 9 ⋅ 2 olduğundan, √18 = √(9 ⋅ 2) = 3√2 olur.
Adım 4: İfadeyi en sade haliyle yazalım: 4 ⋅ (3√2) = 12√2
Sonuç: 12√2
d) 3√15 ⋅ 4√12
Adım 1: Katsayıları çarpalım: 3 ⋅ 4 = 12
Adım 2: Kök içlerini çarpalım: √15 ⋅ √12 = √(15 ⋅ 12) = √180
Adım 3: Sonucumuz 12√180. Şimdi √180’i a√b şeklinde yazalım. 180’i tam kare bir sayıyla çarpanlarına ayıralım. 180 = 36 ⋅ 5.
Adım 4: √180 = √(36 ⋅ 5) = 6√5.
Adım 5: Şimdi en sade halini yazalım: 12 ⋅ (6√5) = 72√5
Sonuç: 72√5
e) 3√10 ÷ 3√2
Adım 1: Katsayıları bölelim: 3 ÷ 3 = 1
Adım 2: Kök içlerini bölelim: √10 ÷ √2 = √(10/2) = √5
Adım 3: Sonuçları birleştirelim: 1 ⋅ √5 = √5
Sonuç: √5
2) Aşağıdaki işlemleri yapınız.
Bu sorularda da bölme kuralını kullanacağız ve gerektiğinde kök içindeki sayıları sadeleştireceğiz.
a) 2√2 / √4
Adım 1: Paydada bulunan √4’ün değerini biliyoruz. √4 = 2.
Adım 2: İfadeyi yeniden yazalım: (2√2) / 2
Adım 3: Paydaki ve paydadaki 2’ler sadeleşir.
Sonuç: √2
b) 4√12 / √3
Adım 1: Katsayı 4 sabit kalır. Kök içindeki sayıları bölelim: √12 / √3 = √(12/3) = √4.
Adım 2: İfade şimdi 4 ⋅ √4 oldu. √4’ün 2 olduğunu biliyoruz.
Adım 3: 4 ⋅ 2 = 8
Sonuç: 8
c) 3√10 / 3√2
Bu soru 1. sorunun e şıkkı ile aynı, hadi tekrar çözelim!
Adım 1: Katsayıları bölelim: 3 / 3 = 1
Adım 2: Kök içlerini bölelim: √10 / √2 = √(10/2) = √5
Sonuç: √5
ç) √108 / 2√6
Adım 1: Paydaki √108’in katsayısı 1’dir. Katsayıları bölelim: 1/2.
Adım 2: Kök içlerini bölelim: √108 / √6 = √(108/6) = √18.
Adım 3: Sonuçları birleştirelim: (1/2) ⋅ √18.
Adım 4: √18’i sadeleştirelim: √18 = √(9 ⋅ 2) = 3√2.
Adım 5: İfadeyi düzenleyelim: (1/2) ⋅ 3√2 = (3√2)/2
Sonuç: (3√2)/2
d) 3√15 / 4√12
Adım 1: Katsayıları oranlayalım: 3/4.
Adım 2: Kök içlerini oranlayalım: √15 / √12 = √(15/12). Kök içindeki kesri sadeleştirebiliriz. 15 ve 12, 3’e bölünür. 15/3 = 5 ve 12/3 = 4. Yani √(5/4) olur.
Adım 3: √(5/4) ifadesini √5 / √4 olarak ayırabiliriz. √4 = 2 olduğu için bu ifade √5 / 2 olur.
Adım 4: Şimdi katsayılarla birleştirelim: (3/4) ⋅ (√5 / 2) = (3 ⋅ √5) / (4 ⋅ 2) = 3√5 / 8
Sonuç: 3√5 / 8
e) 4√32 / 6√16
Adım 1: İşe paydadaki √16’yı hesaplayarak başlayalım. √16 = 4.
Adım 2: Paydaki √32’yi a√b şeklinde yazalım. √32 = √(16 ⋅ 2) = 4√2.
Adım 3: Şimdi ifadeyi bulduğumuz değerlerle yeniden yazalım: (4 ⋅ 4√2) / (6 ⋅ 4) = 16√2 / 24.
Adım 4: Katsayıları (16/24) sadeleştirelim. Her ikisi de 8’e bölünür. 16/8 = 2 ve 24/8 = 3. Yani 2/3 olur.
Sonuç: (2√2)/3
3) Aşağıdaki çokgenlerin alanlarını santimetrekare cinsinden bulunuz.
a) Paralelkenarın Alanı
Paralelkenarın alanı, bir kenar (taban) ile o kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir.
Alan = Taban × Yükseklik
Adım 1: Verilenler: Taban = √96 cm, Yükseklik = √54 cm.
Adım 2: Alan = √96 ⋅ √54 = √(96 ⋅ 54).
Adım 3: Bu büyük sayıları çarpmak yerine, kök dışına çıkararak işlemi kolaylaştıralım.
- √96 = √(16 ⋅ 6) = 4√6
- √54 = √(9 ⋅ 6) = 3√6
Adım 4: Şimdi bu ifadeleri çarpalım: Alan = (4√6) ⋅ (3√6)
Adım 5: Katsayıları çarp: 4 ⋅ 3 = 12. Kök içlerini çarp: √6 ⋅ √6 = 6.
Adım 6: Alan = 12 ⋅ 6 = 72.
Sonuç: 72 cm²
b) Üçgenin Alanı
Üçgenin alanı, taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.
Alan = (Taban × Yükseklik) / 2
Adım 1: Verilenler: Taban = √108 cm, Yükseklik = √75 cm.
Adım 2: Önce taban ile yüksekliği çarpalım. İşi kolaylaştırmak için sayıları a√b şeklinde yazalım.
- √108 = √(36 ⋅ 3) = 6√3
- √75 = √(25 ⋅ 3) = 5√3
Adım 3: Şimdi çarpalım: (6√3) ⋅ (5√3) = (6⋅5) ⋅ (√3⋅√3) = 30 ⋅ 3 = 90.
Adım 4: Üçgenin alanı için bu sonucu 2’ye bölmemiz gerekiyor. Alan = 90 / 2 = 45.
Sonuç: 45 cm²
4) a = 3√2, b = 6√5, c = 2√3 olduğuna göre:
Bir sayının başka bir sayının kaç katı olduğunu bulmak için, ilk sayıyı ikinci sayıya böleriz.
a) b sayısının a sayısının kaç katı olduğunu bulunuz.
Adım 1: b sayısını a sayısına böleceğiz: b / a = (6√5) / (3√2)
Adım 2: Katsayıları bölelim: 6 / 3 = 2. Kökleri bölelim: √5 / √2.
Adım 3: Sonuç 2 ⋅ (√5 / √2) oldu. Paydayı kökten kurtarmak için kesri √2 ile genişletelim: 2 ⋅ (√5 ⋅ √2) / (√2 ⋅ √2) = 2 ⋅ (√10 / 2).
Adım 4: Paydaki ve paydadaki 2’ler sadeleşir.
Sonuç: √10 katıdır.
b) b sayısının c sayısının kaç katı olduğunu bulunuz.
Adım 1: b sayısını c sayısına böleceğiz: b / c = (6√5) / (2√3)
Adım 2: Katsayıları bölelim: 6 / 2 = 3. Kökleri bölelim: √5 / √3.
Adım 3: Sonuç 3 ⋅ (√5 / √3) oldu. Paydayı kökten kurtarmak için kesri √3 ile genişletelim: 3 ⋅ (√5 ⋅ √3) / (√3 ⋅ √3) = 3 ⋅ (√15 / 3).
Adım 4: Paydaki ve paydadaki 3’ler sadeleşir.
Sonuç: √15 katıdır.
c) a sayısının c sayısının kaç katı olduğunu bulunuz.
Adım 1: a sayısını c sayısına böleceğiz: a / c = (3√2) / (2√3)
Adım 2: Katsayıları oranlayalım: 3/2. Kökleri oranlayalım: √2 / √3.
Adım 3: Sonuç (3/2) ⋅ (√2 / √3) oldu. Paydayı kökten kurtarmak için köklü kısmı √3 ile genişletelim: (3/2) ⋅ (√2 ⋅ √3) / (√3 ⋅ √3) = (3/2) ⋅ (√6 / 3).
Adım 4: İşlemi yapalım: (3 ⋅ √6) / (2 ⋅ 3). Paydaki ve paydadaki 3’ler sadeleşir.
Sonuç: √6 / 2 katıdır.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, bol bol pratik yaparak bu konuyu çok daha iyi bir şekilde kavrayabilirsiniz. Başarılar dilerim!