Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencim, gönderdiğin bu güzel soruları senin için bir 8. sınıf matematik öğretmeni olarak adım adım, tane tane çözeceğim. Üslü sayılar konusu hem çok zevklidir hem de bol pratikle çok kolay hale gelir. Haydi başlayalım!
6. Aşağıdaki işlemlerle karşılarındaki ifadeleri bir eşitlik oluşturacak şekilde eşleştiriniz.
Bu soruda soldaki işlemlerin sonuçlarını bulup sağdaki doğru kutucukla eşleştireceğiz. Üslü sayıların kurallarını hatırlayarak ilerleyelim.
a) 2⁻¹² · 4³
Çözüm:
Adım 1: Çarpma işlemi yapabilmek için tabanları aynı yapmalıyız. 4 sayısını 2’nin kuvveti olarak yazabiliriz: 4 = 2².
Adım 2: Şimdi 4 yerine 2² yazalım: 2⁻¹² · (2²)³. Üssün üssü kuralına göre üsler çarpılır: 2²ˣ³ = 2⁶.
Adım 3: İşlemimiz 2⁻¹² · 2⁶ haline geldi. Tabanlar aynı olduğu için çarpma işleminde üsleri toplarız: (-12) + 6 = -6.
Sonuç: 2⁻⁶
b) (– 5)⁻²
Çözüm:
Adım 1: Üssümüz negatif. Negatif üs, sayıyı ters çevirmemiz (çarpmaya göre tersini almamız) gerektiğini söyler. Yani 1 bölü şeklinde yazarız.
Adım 2: (– 5)⁻² = 1 / (– 5)². Parantez içindeki negatif bir sayının çift kuvveti her zaman pozitiftir. (– 5)² = (– 5) · (– 5) = 25.
Adım 3: Sonuç 1/25 olur. Sağdaki seçeneklere baktığımızda 5⁻² ifadesini görüyoruz. 5⁻² = 1 / 5² = 1/25. Bu iki ifade birbirine eşittir.
Sonuç: 5⁻²
c) 3⁷ · (– 4)⁷
Çözüm:
Adım 1: Bu defa üslerimiz aynı ama tabanlarımız farklı. Üslü sayılarda çarpma kuralını hatırlayalım: Üsler aynıysa tabanlar çarpılır ve ortak üs aynen yazılır.
Adım 2: Tabanları çarpalım: 3 · (– 4) = – 12.
Adım 3: Ortak üssü de üzerine yazalım.
Sonuç: (– 12)⁷
ç) 2⁻² · (2⁷ ÷ 2⁶)
Çözüm:
Adım 1: Önce parantez içindeki işlemi yapalım. Bölme işleminde tabanlar aynıysa üsler çıkarılır: 7 – 6 = 1. Yani 2⁷ ÷ 2⁶ = 2¹.
Adım 2: Şimdi işlemimiz 2⁻² · 2¹ oldu. Çarpma işleminde tabanlar aynıysa üsler toplanır: (-2) + 1 = -1.
Adım 3: Sonucumuz 2⁻¹ olur. Negatif üs sayıyı ters çevir demekti.
Sonuç: 1/2
d) (1⁸)⁹
Çözüm:
Adım 1: 1’in bütün kuvvetleri yine 1’dir. Yani 1⁸ = 1.
Adım 2: İşlemimiz (1)⁹ haline geldi. Yine 1’in 9. kuvveti de 1’dir.
Sonuç: 1
e) 125⁵ ÷ 5⁷
Çözüm:
Adım 1: Bölme işlemi için tabanları aynı yapmalıyız. 125, 5’in bir kuvvetidir: 125 = 5³.
Adım 2: 125 yerine 5³ yazalım: (5³)⁵ ÷ 5⁷. Üssün üssü kuralından 3 · 5 = 15. Yani işlem 5¹⁵ ÷ 5⁷ oldu.
Adım 3: Tabanlar aynı olduğu için bölme işleminde üsleri çıkarırız: 15 – 7 = 8.
Sonuç: 5⁸
7. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarının en sade hâlini üslü ifade olarak yazınız.
Burada da amacımız yine üslü sayı kurallarını kullanarak ifadeleri olabildiğince sadeleştirmek. Stratejimiz genellikle tabanları asal sayılara benzetmek olacak.
a) (25⁴ · 8³) / 5⁻¹
Çözüm:
Adım 1: Tabanları asal sayıların kuvveti olarak yazalım. 25 = 5² ve 8 = 2³.
Adım 2: Bu değerleri yerine koyalım: ((5²)⁴ · (2³)³) / 5⁻¹.
Adım 3: Üssün üssü kuralını uygulayalım: (5²ˣ⁴ · 2³ˣ³) / 5⁻¹ = (5⁸ · 2⁹) / 5⁻¹.
Adım 4: Şimdi 5’in kuvvetleri arasında bölme işlemi yapalım. Bölmede üsler çıkarılır: 8 – (–1) = 8 + 1 = 9. Yani 5⁹ olur.
Adım 5: İfadenin en sade hali 5⁹ · 2⁹ oldu. Üsler aynı olduğu için tabanları çarpabiliriz: (5 · 2)⁹.
Sonuç: 10⁹
b) (9³ · (–25)⁴) / (27 · (–5)²)
Çözüm:
Adım 1: Tabanları asal sayıların kuvveti olarak yazalım. 9 = 3², 25 = 5², 27 = 3³. Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif olur, bunu unutmayalım. Yani (–25)⁴ = 25⁴ ve (–5)² = 5².
Adım 2: İfadeyi yeniden yazalım: ((3²)³ · (5²)⁴) / (3³ · 5²).
Adım 3: Üssün üssü kuralını uygulayalım: (3⁶ · 5⁸) / (3³ · 5²).
Adım 4: Şimdi aynı tabana sahip olanları bölelim. 3⁶ / 3³ = 3⁶⁻³ = 3³. Ve 5⁸ / 5² = 5⁸⁻² = 5⁶.
Sonuç: 3³ · 5⁶
c) (2⁶ · 8⁻⁴) / (16⁴ · 128⁻²)
Çözüm:
Adım 1: Gördüğün gibi tüm tabanlar 2’nin kuvveti. Hepsini 2 tabanında yazalım: 8 = 2³, 16 = 2⁴, 128 = 2⁷.
Adım 2: Yerlerine koyalım: (2⁶ · (2³)⁻⁴) / ((2⁴)⁴ · (2⁷)⁻²).
Adım 3: Üssün üssü kuralını uygulayarak parantezlerden kurtulalım: (2⁶ · 2⁻¹²) / (2¹⁶ · 2⁻¹⁴).
Adım 4: Pay ve paydada çarpmaları yapalım (üsleri toplayalım): 2⁶⁺⁽⁻¹²⁾ / 2¹⁶⁺⁽⁻¹⁴⁾ = 2⁻⁶ / 2².
Adım 5: Son olarak bölme işlemini yapalım (üsleri çıkaralım): 2⁻⁶⁻² = 2⁻⁸.
Sonuç: 2⁻⁸
ç) (81² · 3⁻⁵) / (3⁶ · (1/3²)⁴)
Çözüm:
Adım 1: Tüm tabanları 3’ün kuvveti şeklinde yazalım. 81 = 3⁴. Paydadaki 1/3² ifadesi, negatif üs kuralından 3⁻²’ye eşittir.
Adım 2: İfadeyi yeniden düzenleyelim: ((3⁴)² · 3⁻⁵) / (3⁶ · (3⁻²)⁴).
Adım 3: Üssün üssü kuralını uygulayalım: (3⁸ · 3⁻⁵) / (3⁶ · 3⁻⁸).
Adım 4: Pay ve paydada çarpmaları yapalım (üsleri toplayalım): 3⁸⁺⁽⁻⁵⁾ / 3⁶⁺⁽⁻⁸⁾ = 3³ / 3⁻².
Adım 5: Bölme işlemini yapalım (üsleri çıkaralım): 3³⁻⁽⁻²⁾ = 3³⁺² = 3⁵.
Sonuç: 3⁵
8. 2ᵃ = 1/32 ve 3ᵇ = 1/27 olmak üzere 10ᵇ⁻ᵃ üslü ifadesinin değeri kaç basamaklı doğal sayıdır?
Çözüm:
Adım 1: Önce ‘a’ değerini bulalım. Eşitlik 2ᵃ = 1/32. 32’nin 2’nin 5. kuvveti olduğunu biliyoruz (2⁵ = 32). 1/32 ise 2⁻⁵’e eşittir. O halde, 2ᵃ = 2⁻⁵ ise a = -5‘tir.
Adım 2: Şimdi ‘b’ değerini bulalım. Eşitlik 3ᵇ = 1/27. 27’nin 3’ün 3. kuvveti olduğunu biliyoruz (3³ = 27). 1/27 ise 3⁻³’e eşittir. O halde, 3ᵇ = 3⁻³ ise b = -3‘tür.
Adım 3: Soruda bizden 10ᵇ⁻ᵃ ifadesinin değerini bulmamız isteniyor. ‘a’ ve ‘b’ yi yerine yazalım. Üs kısmındaki işlem: b – a = (–3) – (–5). İki eksi yan yana gelince artı olur: –3 + 5 = 2.
Adım 4: Demek ki bizden istenen ifade 10² imiş. 10² = 10 · 10 = 100.
Adım 5: Soru, bu sayının kaç basamaklı olduğunu soruyor. 100 sayısı 1, 0, 0 olmak üzere 3 rakamdan oluşur.
Sonuç: 3 basamaklı bir doğal sayıdır.
9. Uzun kenar uzunluğu 32 cm, kısa kenar uzunluğu 16 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir karton aşağıda verilmiştir. Bu karton birinci adımdaki gibi ortadan dikey kesilip yarısı, ardından ikinci adımdaki gibi ortadan yatay kesilip tekrar yarısı alınıyor. Sonra bu kesme işlemi 6. adıma kadar devam ediyor. Buna göre 6. adım sonunda elde edilen karton parçasının bir yüzünün alanı kaç santimetrekaredir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmenin çok pratik bir yolu var. Her adımda kartonun “yarısı” alınıyor. Bu, alanın her adımda 2’ye bölündüğü anlamına gelir. Üslü sayıları kullanarak bunu kolayca çözebiliriz.
Adım 1: İlk olarak başlangıçtaki kartonun alanını bulalım. Alan = Uzun Kenar × Kısa Kenar.
Alan = 32 cm × 16 cm. Bu sayıları 2’nin kuvveti olarak yazmak işimizi kolaylaştırır. 32 = 2⁵ ve 16 = 2⁴.Adım 2: Başlangıç Alanı = 2⁵ · 2⁴ = 2⁵⁺⁴ = 2⁹ cm².
Adım 3: Soru, bu işlemin 6 adım boyunca tekrarlandığını söylüyor. Her adımda alan yarıya indiğine (yani 2’ye bölündüğüne) göre, 6 adım sonunda alan 6 defa 2’ye bölünmüş olacaktır. Bu da alanı 2⁶’ya bölmek demektir.
Adım 4: Son Alan = (Başlangıç Alanı) / 2⁶.
Adım 5: İşlemi yapalım: 2⁹ / 2⁶. Bölme işleminde tabanlar aynı olduğu için üsleri çıkarırız: 9 – 6 = 3.
Adım 6: Sonuç 2³ olur. 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.
Sonuç: 6. adım sonunda elde edilen kartonun alanı 8 cm²‘dir.
Umarım açıklamalarım anlaşılır olmuştur. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!