Harika bir ünite değerlendirme testi! Merhaba sevgili öğrencilerim, bu soruları birlikte adım adım, tane tane çözeceğiz. Matematikten korkmanıza hiç gerek yok, mantığını anladığımızda hepsi birer bulmaca gibi keyifli hale gelecek. Hadi başlayalım!
1. Soru: 1024 doğal sayısının kaç farklı asal sayı çarpanı vardır?
Merhaba arkadaşlar, bu soruda bizden 1024 sayısını asal çarpanlarına ayırmamız ve kaç farklı asal sayı bulduğumuza bakmamız isteniyor. Hadi beraber yapalım.
Adım 1: 1024 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. Bunun için sürekli en küçük asal sayı olan 2’ye bölmeyi deneyebiliriz.
- 1024 / 2 = 512
- 512 / 2 = 256
- 256 / 2 = 128
- 128 / 2 = 64
- 64 / 2 = 32
- 32 / 2 = 16
- 16 / 2 = 8
- 8 / 2 = 4
- 4 / 2 = 2
- 2 / 2 = 1
Adım 2: Gördüğünüz gibi, 1024 sayısını tam 10 kez 2’ye bölebildik. Bu demektir ki, 1024 = 210‘dur.
Adım 3: Şimdi sorunun en can alıcı kısmına gelelim: “kaç farklı asal sayı çarpanı vardır?”. Baktığımızda, 1024 sayısının çarpanları arasında sadece bir tane asal sayı görüyoruz: 2. Başka bir asal sayı yok.
Sonuç olarak, 1024 sayısının sadece 1 tane farklı asal çarpanı vardır.
Doğru cevap A) 1 şıkkıdır.
2. Soru: Asal çarpanları 2, 3 ve 7 olan iki basamaklı en büyük doğal sayının rakamları toplamı kaçtır?
Bu soruda bize bir sayının içindeki gizli malzemeleri, yani asal çarpanlarını vermişler ve bizden bu malzemelerle yapabileceğimiz en büyük iki basamaklı sayıyı bulmamızı istiyorlar. Çok zevkli bir soru!
Adım 1: Bir sayının asal çarpanları 2, 3 ve 7 ise, bu sayı kesinlikle bu üç sayının çarpımını içinde barındırmalıdır. Önce bu sayıların çarpımını bularak en küçük olası sayıyı elde edelim.
2 x 3 x 7 = 42
Adım 2: 42 sayısı iki basamaklıdır ve asal çarpanları 2, 3 ve 7’dir. Acaba bundan daha büyük bir sayı yapabilir miyiz? Bunun için bulduğumuz 42’nin katlarına bakalım. Unutmayın, yeni sayının içinde de sadece 2, 3 ve 7 asal çarpanları olmalı.
- 42 x 2 = 84. (84’ün asal çarpanları 2, 3 ve 7’dir. İki basamaklıdır. Bu bir aday!)
- 42 x 3 = 126. (Bu sayı üç basamaklı olduğu için işimize yaramaz.)
Adım 3: Gördüğümüz gibi, bu şartları sağlayan iki basamaklı en büyük sayı 84‘tür. Soru bizden bu sayının rakamları toplamını istiyor.
8 + 4 = 12
Sonuç olarak, aradığımız cevap 12’dir.
Doğru cevap C) 12 şıkkıdır.
3. Soru: EBOB’ları 5 olan iki basamaklı doğal sayılardan biri 40’tır. Bu sayılardan diğerinin alacağı en büyük ve en küçük değerin toplamı kaçtır?
EBOB soruları ilk başta biraz kafa karıştırıcı gelebilir ama mantığı çok basittir. EBOB, iki sayının da bölünebildiği en büyük ortak sayıdır. Hadi bu bilgiyi kullanarak sorumuzu çözelim.
Adım 1: Sayılarımızdan biri 40, diğerini ise bilmiyoruz, ona ‘B’ diyelim. EBOB(40, B) = 5. Bu bize şunu söyler: Hem 40 hem de B sayısı 5’in katıdır. Ama 5’ten daha büyük ortak bir bölenleri yoktur.
Adım 2: Sayıları 5’in katları şeklinde yazalım. 40 = 5 x 8. Bilmediğimiz sayı da B = 5 x k olsun. Burada ‘k’ bir tam sayıdır. EBOB(5×8, 5xk) = 5 olması için, parantez içindeki 8 ve k sayılarının aralarında asal olması gerekir. Yani 8 ve k’nin 1’den başka ortak böleni olmamalıdır. 8’in asal çarpanı sadece 2’dir. O halde k, 2’ye bölünemeyen bir sayı olmalıdır (yani tek sayı).
Adım 3: Şimdi B sayısının (yani 5 x k’nin) alabileceği en küçük iki basamaklı değeri bulalım. k’ye değerler verelim:
- k=1 olsaydı, B = 5×1 = 5 olurdu (tek basamaklı, olmaz).
- k=2 olsaydı, 8 ile aralarında asal olmazdı (ikisi de 2’ye bölünür).
- k=3 olsaydı, 8 ve 3 aralarında asaldır. B = 5 x 3 = 15. Bu, aradığımız en küçük değerdir.
Adım 4: Şimdi de B sayısının alabileceği en büyük iki basamaklı değeri bulalım. B sayısı 99’dan büyük olamaz. Yani 5 x k < 100 olmalı. Buradan k < 20 çıkar. k, 20'den küçük, 8 ile aralarında asal (yani tek sayı) olan en büyük sayı olmalı. Bu sayı 19‘dur. B = 5 x 19 = 95. Bu da aradığımız en büyük değerdir.
Adım 5: Soru bizden bu en büyük ve en küçük değerlerin toplamını istiyor.
95 + 15 = 110
Sonuç olarak, aradığımız cevap 110’dur.
Doğru cevap C) 110 şıkkıdır.
4. Soru: Yandaki dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu 12 cm ve santimetre cinsinden kenar uzunlukları aralarında asaldır. Bu dikdörtgensel bölgenin alanı 160 cm² den fazla olduğuna göre AD doğru parçasının uzunluğu en az kaç santimetredir?
Geometri ile sayıların birleştiği güzel bir soru! Verilen ipuçlarını sırayla kullanalım.
Adım 1: Dikdörtgenin kısa kenarı 12 cm. Uzun kenarına (AD) ‘x’ diyelim. Bize verilen ilk bilgi, 12 ile x’in aralarında asal olduğudur. 12’nin asal çarpanları 2 ve 3’tür (12 = 2² x 3). Bu demek oluyor ki, x sayısı ne 2’ye ne de 3’e bölünebilir.
Adım 2: İkinci bilgi, dikdörtgenin alanının 160 cm²’den fazla olmasıdır. Alan = Kısa Kenar x Uzun Kenar. Yani, 12 x > 160.
Adım 3: Bu eşitsizliği çözerek x’in yaklaşık değerini bulalım. x > 160 / 12. Sadeleştirirsek x > 40 / 3, bu da yaklaşık olarak x > 13,33… demektir. Yani x, 13,33’ten büyük bir tam sayı olmalı.
Adım 4: Şimdi x’in alabileceği en küçük tam sayı değerini bulalım. 13,33’ten büyük en küçük tam sayı 14’tür. Ama durun, ilk şartımızı kontrol etmeliyiz! x, 2’ye ve 3’e bölünmemeliydi.
- x = 14 olabilir mi? Hayır, 2’ye bölünür.
- x = 15 olabilir mi? Hayır, 3’e bölünür.
- x = 16 olabilir mi? Hayır, 2’ye bölünür.
- x = 17 olabilir mi? Evet! 17 bir asal sayıdır, ne 2’ye ne de 3’e bölünür. Dolayısıyla 12 ile aralarında asaldır.
Sonuç olarak, AD kenarının alabileceği en küçük tam sayı değeri 17’dir.
Doğru cevap C) 17 şıkkıdır.
5. Soru: Saat 20.25’te Ahmet 30, Erdem ise 40 dakika aralıklarla çalacak alarmlar kurmuştur. İkisinin alarmı ilk olarak saat kaçta birlikte çalar?
Bu bir “birlikte ne zaman olur?” sorusu. Bu tür periyodik (tekrarlayan) olayların aynı anda ne zaman gerçekleşeceğini bulmak için kullandığımız sihirli bir araç var: EKOK (En Küçük Ortak Kat).
Adım 1: Ahmet’in alarmı 30 dakikada bir, Erdem’in alarmı 40 dakikada bir çalıyor. İkisinin aynı anda çalması için geçen sürenin hem 30’un hem de 40’ın bir katı olması gerekir. İlk kez birlikte çalmaları için de bu katların en küçüğünü, yani EKOK(30, 40)’ı bulmalıyız.
Adım 2: EKOK’u bulalım.
30 = 2 x 3 x 5
40 = 2 x 2 x 2 x 5 = 2³ x 5
EKOK bulunurken, ortak olan asal çarpanlardan üssü büyük olanı ve ortak olmayanların hepsini alırız.
EKOK(30, 40) = 2³ x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = 120 dakika.Adım 3: Demek ki alarmlar her 120 dakikada bir birlikte çalacaklar. 120 dakika kaç saattir? 120 / 60 = 2 saat.
Adım 4: Alarmlar ilk kurulduğunda saat 20.25’ti. 2 saat sonra tekrar birlikte çalacaklar.
20.25 + 2 saat = 22.25.Sonuç olarak, alarmlar ilk olarak saat 22.25’te birlikte çalacaktır.
Doğru cevap B) 22.25 şıkkıdır.
6. Soru: A = 2² ⋅ 3 ⋅ 5³ ve B = 2 ⋅ 3² ⋅ 7 olduğuna göre EKOK(A, B) kaça eşittir?
İşte yine bir EKOK sorusu! Bu sefer sayılar bize asal çarpanlarına ayrılmış halde verilmiş, işimiz daha da kolay!
Adım 1: EKOK bulmanın kuralını hatırlayalım: İki sayının EKOK’u bulunurken, tabanları aynı olan üslü ifadelerden üssü büyük olan alınır. Tabanları ortak olmayan ifadeler ise sonuca doğrudan eklenir.
Adım 2: A ve B sayılarını inceleyelim.
- 2’nin kuvvetleri: A’da 2² var, B’de 2¹ var. Üssü büyük olan 2²‘yi alıyoruz.
- 3’ün kuvvetleri: A’da 3¹ var, B’de 3² var. Üssü büyük olan 3²‘yi alıyoruz.
- 5’in kuvvetleri: A’da 5³ var, B’de 5’in kuvveti yok. O zaman doğrudan 5³‘ü alıyoruz.
- 7’nin kuvvetleri: A’da 7’nin kuvveti yok, B’de 7¹ var. O zaman doğrudan 7¹‘i (yani 7’yi) alıyoruz.
Adım 3: Şimdi bulduğumuz bu ifadeleri çarpalım.
EKOK(A, B) = 2² ⋅ 3² ⋅ 5³ ⋅ 7
Sonuç olarak, şıklara baktığımızda bulduğumuz ifadenin A şıkkında olduğunu görüyoruz.
Doğru cevap A) 2² ⋅ 3² ⋅ 5³ ⋅ 7 şıkkıdır.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, ne kadar çok soru çözerseniz bu konular o kadar kolaylaşır. Başarılar dilerim!