Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle birlikte doğrusal denklemler ve grafik yorumlama üzerine harika sorular çözeceğiz. Bu konular, matematiğin en zevkli ve günlük hayatta en çok karşımıza çıkan konularından biridir. Görseldeki soruları adım adım, hep birlikte anlayarak çözelim. Hazırsanız başlayalım!
Soru 7: Hasan Bey, bir iş yerinin zeminine fayans döşeyecektir. Her gün aynı miktar alanı döşeyerek işini tamamlayacaktır. Yandaki grafik, Hasan Bey’in fayans döşediği alan ile döşenecek alan arasındaki değişimi göstermektedir. Buna göre Hasan Bey, alanın tamamına kaç günde fayans döşer?
Haydi bu grafik problemini beraber yorumlayalım. Bu tür sorular gözünüzü korkutmasın, aslında çok basit bir mantığı var.
Adım 1: Grafiği Anlayalım
Grafiğe baktığımızda iki tane doğru görüyoruz. Biri yukarıdan aşağıya iniyor, diğeri aşağıdan yukarı çıkıyor.
- Azalan doğru, “Fayans Döşenecek Alan”ı gösteriyor. Yani işin başında döşenmesi gereken toplam 1000 m² alan varmış. Zamanla bu alan azalıyor.
- Artan doğru ise “Fayans Döşenen Alan”ı gösteriyor. Başlangıçta 0’dan başlayıp zamanla döşenen alan artıyor.
- Grafikte iki doğrunun kesiştiği noktaya dikkat edelim. Bu nokta, 20. günde hem döşenen alanın hem de kalan alanın 500 m² olduğunu gösteriyor.
Adım 2: Verileri Kullanarak Çözüme Ulaşalım
Grafikten anladığımız en önemli bilgi şu: Hasan Bey, 20 günde 500 m² fayans döşemiş.
İşin tamamı ne kadardı? Grafiğin en başından gördüğümüz gibi 1000 m².
Şimdi basit bir orantı kurabiliriz. Eğer 500 m² alanı 20 günde döşüyorsa, bunun iki katı olan 1000 m² alanı kaç günde döşer?
500 m² alanı 20 günde döşerse,
1000 m² alanı X günde döşer.
Burada alan iki katına çıktığı için, işi bitirme süresi de iki katına çıkacaktır.
Yani, 20 gün x 2 = 40 gün.
Sonuç: Hasan Bey, alanın tamamını 40 günde döşer.
Soru 8: Yandaki koordinat sisteminde verilen d doğrusunun denklemi x + 2y – 12 = 0’dır. AOBC dikdörtgeninde 2|BC| = |AC|’dur. Buna göre AOBC dikdörtgeninin alanı kaç birimkaredir?
Koordinat sistemi ve denklemler bir araya gelince harika sorular ortaya çıkıyor. Bu da onlardan biri. Hadi adım adım ilerleyelim.
Adım 1: Bilgileri Koordinat Sistemine Aktaralım
AOBC bir dikdörtgen ve C noktası da d doğrusu üzerinde. C noktasının koordinatlarına (x, y) diyelim.
- Bu durumda dikdörtgenin B noktası x ekseni üzerinde olduğu için koordinatları (x, 0) olur.
- A noktası y ekseni üzerinde olduğu için koordinatları (0, y) olur.
- Dikdörtgenin kenar uzunlukları da bu koordinatlarla aynıdır. Yani, |OB| = |AC| = x birim ve |OA| = |BC| = y birimdir.
Adım 2: Soruda Verilen Eşitliği Kullanalım
Soruda bize 2|BC| = |AC| eşitliği verilmiş.
Bir önceki adımda |BC| uzunluğunun y‘ye, |AC| uzunluğunun ise x‘e eşit olduğunu bulmuştuk. Bunları eşitlikte yerlerine yazalım:
2 * y = x yani x = 2y. Bu bizim ilk önemli bilgimiz, bunu aklımızda tutalım.
Adım 3: Doğru Denklemini Kullanalım
C(x, y) noktası, denklemi x + 2y – 12 = 0 olan doğrunun üzerindeydi. Bu ne demek? C noktasının x ve y değerleri bu denklemi sağlamak zorunda.
Az önce x = 2y olduğunu bulmuştuk. Şimdi doğru denklemindeki x yerine 2y yazalım.
(2y) + 2y – 12 = 0
4y – 12 = 0
4y = 12
y = 12 / 4
y = 3
Şimdi de x’i bulalım. x = 2y olduğunu biliyorduk. y yerine 3 yazarsak:
x = 2 * 3
x = 6
Böylece C noktasının koordinatlarını (6, 3) olarak bulduk.
Adım 4: Dikdörtgenin Alanını Hesaplayalım
AOBC dikdörtgeninin alanını bulmak için kısa kenar ile uzun kenarını çarpmamız yeterli.
Kısa kenar: |BC| = y = 3 birim.
Uzun kenar: |AC| = x = 6 birim.
Alan = x * y = 6 * 3 = 18 birimkare.
Sonuç: AOBC dikdörtgeninin alanı 18 birimkaredir.
Soru 9: Aşağıda aynı yöne doğru hareket eden A ve B araçlarına ait yol-zaman grafiği verilmiştir. Buna göre A aracı ile B aracının arasındaki uzaklık en az kaç saat sonra 40 km olur?
Yol-zaman grafikleri, araçların hızlarını ve konumlarını anlamak için çok kullanışlıdır. Bu soruda “en az” ifadesine dikkat etmemiz gerekiyor.
Adım 1: Araçların Hızlarını ve Konum Denklemlerini Bulalım
A Aracı:
- Grafiğe göre A aracı (0,0) noktasından, yani başlangıçtan harekete başlıyor.
- 2 saatte 200 km yol almış. Hızını (süratini) bulmak için yolu zamana böleriz: Hız = 200 km / 2 saat = 100 km/saat.
- A aracının t saatte aldığı yolu gösteren denklem: YolA = 100 * t
B Aracı:
- Grafiğe göre B aracı (0,80) noktasından başlıyor. Yani harekete başladığında zaten başlangıç noktasından 80 km ilerideymiş.
- 2 saatte 80. km’den 160. km’ye gelmiş. Yani 2 saatte 160 – 80 = 80 km yol almış.
- Hızını bulalım: Hız = 80 km / 2 saat = 40 km/saat.
- B aracının t saat sonraki konumunu gösteren denklem: YolB = 80 + 40 * t (Başlangıçtaki 80 km’yi eklemeyi unutmuyoruz!)
Adım 2: Aralarındaki Mesafeyi 40 km’ye Eşitleyelim
Aralarındaki uzaklık, konumlarının farkıdır. A aracı daha hızlı olduğu için bir süre sonra B’yi yakalayıp geçecek. Bu yüzden aralarındaki fark iki kez 40 km olabilir: Birincisi A aracı B’nin arkasındayken, ikincisi ise A aracı B’yi geçtikten sonra. Soru bizden “en az” süreyi istediği için ilk durumu bulmalıyız.
Başlangıçta B aracı önde olduğu için, aradaki farkı şöyle yazabiliriz:
YolB – YolA = 40
(80 + 40t) – (100t) = 40
80 – 60t = 40
80 – 40 = 60t
40 = 60t
t = 40 / 60 = 4 / 6 = 2/3 saat.
Adım 3: Sağlamasını Yapalım (ve İkinci Durumu Görelim)
t = 2/3 saat sonra konumları ne olur bakalım:
- YolA = 100 * (2/3) = 200/3 km (yaklaşık 66.7 km)
- YolB = 80 + 40 * (2/3) = 80 + 80/3 = 240/3 + 80/3 = 320/3 km (yaklaşık 106.7 km)
Fark = 320/3 – 200/3 = 120/3 = 40 km. Demek ki bulduğumuz süre doğru!
Peki A aracı B’yi geçtikten sonra ne zaman aradaki fark 40 km olurdu? O zaman da YolA – YolB = 40 denklemini çözerdik:
100t – (80 + 40t) = 40 => 60t – 80 = 40 => 60t = 120 => t = 2 saat.
Soru bizden en az süreyi istediği için cevabımız 2/3 saat olmalıdır.
Sonuç: A ve B aracının arasındaki uzaklık en az 2/3 saat sonra 40 km olur.