8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Meb Yayınları Sayfa 28

Merhaba sevgili öğrencilerim!

Bugün sizlerle gönderdiğiniz görseldeki matematik sorularını birlikte çözeceğiz. Bu sorular, aralarında asallık ve EBOB-EKOK konularını pekiştirmek için harika bir fırsat. Hazırsanız, haydi başlayalım! Soruları adım adım, tane tane anlatacağım, böylece aklınızda hiçbir soru işareti kalmayacak.

Çözümlü Örnek 8

Yandaki görselde sağa ve sola hareket edebilen bir kol ve bu kolun hareketlerine bağlı olarak değişen sayıları gösteren bir ekran bulunmaktadır. Kol hareket ettirilmediğinde ekranda belli periyotlarda rastgele sayılar çıkmaktadır. Kol sağa hareket ettirildiğinde ekrandaki sayıdan büyük ve aralarında asal olan en küçük sayı, kol sola hareket ettirildiğinde ise ekrandaki sayı ile aralarında asal olan 1’den farklı en küçük doğal sayı hesaplanmaktadır. Örneğin ekranda 5 sayısı yazdığında kol sağa hareket ettirilirse 5 ile aralarında asal olan 6 sayısı, sola hareket ettirilirse 5 ile aralarında asal ve 1’den farklı en küçük sayı olan 2 ekranda yazmaktadır. Ekranda 282 yazmakta iken kolu 2 kez sağa bir kez sola hareket ettiren Oya’nın hangi sayıya ulaşacağını bulalım.

Bu soruyu çözmek için oyunun kurallarını çok iyi anlamamız gerekiyor. Hadi adım adım ilerleyelim.

• Adım 1: İlk Sağa Hareket

  Ekranda ilk olarak 282 sayısı var. Kolu sağa hareket ettirdiğimizde, 282’den büyük ve 282 ile aralarında asal olan en küçük sayıyı bulmalıyız.

  Aralarında asal ne demekti? 1’den başka ortak böleni olmayan sayılar demekti. 282 çift bir sayıdır, yani 2’ye bölünür. O zaman aradığımız sayı çift olamaz.

  282’den sonraki ilk sayı 283‘tür. 283 sayısını inceleyelim. 283, bir asal sayıdır. Asal sayılar sadece 1’e ve kendisine bölündüğü için, 282 ile 1’den başka ortak böleni olamaz. Dolayısıyla ilk sağa hareketten sonra ekranda 283 yazar.

• Adım 2: İkinci Sağa Hareket

  Şimdi ekranda 283 var. Kolu tekrar sağa hareket ettiriyoruz. Yani 283’ten büyük ve 283 ile aralarında asal olan en küçük sayıyı bulacağız.

  283’ten sonraki ilk sayı 284‘tür. 283 ve 284 ardışık sayılardır. Unutmayın, ardışık sayılar her zaman aralarında asaldır! Bu yüzden hiç düşünmeden 284’ü seçebiliriz. İkinci hareketten sonra ekranda 284 yazar.

• Adım 3: Sola Hareket

  Son olarak ekranda 284 varken kolu sola hareket ettiriyoruz. Kural neydi? Ekrandaki sayı ile (yani 284 ile) aralarında asal olan 1’den farklı en küçük doğal sayıyı bulacağız.

  Sırayla en küçük doğal sayıları deneyelim:

  • 2: 284 çift bir sayıdır, 2’ye bölünür. Bu yüzden 2 ile 284 aralarında asal değildir.
  • 3: Bir sayının 3’e bölünüp bölünmediğini rakamları toplamına bakarak anlarız. 2 + 8 + 4 = 14. 14, 3’ün katı olmadığı için 284 sayısı 3’e bölünmez. 3 de asal bir sayı olduğu için 284 ile 3’ün 1’den başka ortak böleni yoktur.

  Demek ki aradığımız en küçük sayı 3‘tür.

Sonuç olarak, Oya’nın ulaşacağı sayı 3‘tür.

Sıra Sizde 1

Aşağıdaki doğal sayı çiftlerinden aralarında asal olanları belirleyiniz.

Haydi bu sayı çiftlerini tek tek inceleyelim ve hangilerinin aralarında asal olduğunu bulalım. Unutmayın, 1’den başka ortak bölenleri olmayacak!

• 15 ve 25: 15’in bölenleri 1, 3, 5, 15. 25’in bölenleri 1, 5, 25. İkisinin de ortak böleni 5 olduğu için aralarında asal değildir.
• 8 ve 9: Bunlar ardışık sayılar! Ardışık sayılar her zaman aralarında asaldır. Aralarında asaldır.
• 21 ve 91: 21’in bölenleri 1, 3, 7, 21. 91 sayısı biraz tuzak bir sayıdır, 7’ye bölünür (91 = 7 x 13). İkisinin de ortak böleni 7 olduğu için aralarında asal değildir.
• 47 ve 53: 47 bir asal sayıdır. 53 de bir asal sayıdır. İki farklı asal sayı her zaman aralarında asaldır. Aralarında asaldır.
• 20 ve 1: 1 sayısı, bütün pozitif tam sayılarla aralarında asaldır. Bu bir kuraldır. Aralarında asaldır.
• 26 ve 65: 26’nın bölenleri 1, 2, 13, 26. 65’in bölenleri 1, 5, 13, 65. İkisinin de ortak böleni 13 olduğu için aralarında asal değildir.
• 51 ve 170: 51’in bölenleri 1, 3, 17, 51. 170’in bölenleri 1, 2, 5, 10, 17, … İkisinin de ortak böleni 17 olduğu için aralarında asal değildir.
• 32 ve 81: 32’nin bölenleri sadece 2’nin kuvvetleridir (1, 2, 4, 8, 16, 32). 81’in bölenleri ise sadece 3’ün kuvvetleridir (1, 3, 9, 27, 81). 1’den başka ortak bölenleri yoktur. Aralarında asaldır.

Sıra Sizde 2

Aşağıda bir müzede sergilenecek olan dikdörtgen şeklindeki kilimler ve bir yüzlerinin alanları gösterilmektedir. Her kilimin kısa ve uzun kenar uzunluklarının metre cinsinden değerleri aralarında asaldır ve kilimlerin birer kenar uzunlukları eşittir. Bu kilimler üst üste gelmeden eşit uzunluktaki kenarları çakışacak şekilde birleştirilirse oluşan dikdörtgenin çevre uzunluğu en az kaç metre olur?

Bu soruyu çözmek için önce her kilimin olası kenar uzunluklarını bulmalıyız. Ama iki önemli kuralımız var:

1. Kenar uzunlukları aralarında asal olacak.

2. Kilimlerin birer kenarı ortak (eşit) olacak.

• Adım 1: 28 m² Alanlı Kilim İçin Olasılıklar

  Alanı 28 olan ve kenarları aralarında asal olan dikdörtgenleri bulalım.

  • 1 m x 28 m -> 1 ve 28 aralarında asaldır. (Bu olabilir)
  • 2 m x 14 m -> 2 ve 14 aralarında asal değildir (ikisi de 2’ye bölünür). (Bu olamaz)
  • 4 m x 7 m -> 4 ve 7 aralarında asaldır. (Bu da olabilir)
• Adım 2: 36 m² Alanlı Kilim İçin Olasılıklar

  Alanı 36 olan ve kenarları aralarında asal olan dikdörtgenleri bulalım.

  • 1 m x 36 m -> 1 ve 36 aralarında asaldır. (Bu olabilir)
  • 2 m x 18 m -> Aralarında asal değil. (Olamaz)
  • 3 m x 12 m -> Aralarında asal değil (ikisi de 3’e bölünür). (Olamaz)
  • 4 m x 9 m -> 4 ve 9 aralarında asaldır. (Bu da olabilir)
  • 6 m x 6 m -> Aralarında asal değil. (Olamaz)
• Adım 3: Ortak Kenarı Bulma ve Çevreyi Hesaplama

  Şimdi iki kilimin de olası kenar uzunluklarına bakıp ortak olanları bulalım. Gördüğünüz gibi, her iki kilimin de 1 m ve 4 m kenar uzunlukları olabilir. Çevrenin en az olmasını istediğimiz için her iki durumu da denemeliyiz.

  Durum 1: Ortak kenar 1 m ise

  Birinci kilim: 1 m x 28 m
  İkinci kilim: 1 m x 36 m
  Bu kilimleri 1 metrelik kenarlarından birleştirirsek, yeni dikdörtgenin kenarları 1 m ve (28 + 36) = 64 m olur.
  Çevre = 2 x (1 + 64) = 2 x 65 = 130 m

  Durum 2: Ortak kenar 4 m ise

  Birinci kilim: 4 m x 7 m
  İkinci kilim: 4 m x 9 m
  Bu kilimleri 4 metrelik kenarlarından birleştirirsek, yeni dikdörtgenin kenarları 4 m ve (7 + 9) = 16 m olur.
  Çevre = 2 x (4 + 16) = 2 x 20 = 40 m

• Adım 4: Sonuç

  İki durumu karşılaştırdığımızda (130 m ve 40 m), en az olan çevre uzunluğunu buluruz.

Sonuç olarak, oluşan dikdörtgenin çevre uzunluğu en az 40 metre olur.