Merhaba sevgili öğrencilerim! Bu haftaki matematik dersimizde geometrinin eğlenceli dünyasına dalıyoruz. Özellikle üçgenlerde ve dörtgenlerde kenar uzunluklarını karşılaştırmayı öğreneceğiz. Hazırsanız, görseldeki soruları birlikte adım adım çözelim!
—
8. Soru: Yandaki şekilde en kısa doğru parçasını bulunuz.
Bu soruda bizden ABCD dörtgenindeki en kısa doğru parçasını bulmamız isteniyor. Bir doğru parçasının uzunluğunu belirleyen en önemli etken, o doğru parçasının karşısındaki açının büyüklüğüdür. Açı ne kadar büyükse, karşısındaki kenar o kadar uzundur. Tersine, açı ne kadar küçükse, karşısındaki kenar o kadar kısadır. Bu kuralı aklımızda tutarak şekle bakalım:
- A açısı: 24 derece
- B açısı: 64 derece
- C açısı: Verilmemiş.
- D açısı: 80 derece
Şimdi dörtgenin iç açılar toplamından C açısını bulalım. Dörtgenin iç açılar toplamı 360 derecedir.
A + B + C + D = 360 derece
24° + 64° + C + 80° = 360°
Şimdi bilinen açıları toplayalım:
24
+ 64
—–
88
88
+ 80
—–
168
Yani, 168° + C = 360°
C açısını bulmak için 360’tan 168’i çıkaralım:
360
– 168
—–
192
C açısı 192 derece olamaz! Çünkü bir dörtgenin iç açılarından biri 180 dereceden büyük olamaz. Sanırım soruda bir hata var. Ancak, eğer C açısı 75 derece olarak verilmiş olsaydı, o zaman iç açılar toplamı şöyle olurdu:
24° + 64° + 75° + 80° = 243°
Bu da yine 360 dereceye ulaşmıyor. Bu durumda, verilen açılardan yola çıkarak kenar uzunluklarını karşılaştırmamız gerekiyor.
Şimdi şekle tekrar dikkatlice bakalım. Verilen açılar şunlar:
- A açısı = 24°
- B açısının bir kısmı = 64°
- D açısı = 80°
- Açıklamada C açısı verilmemiş ama B köşesinin yanında 75° olarak bir açı gösterilmiş. Bu muhtemelen B açısının tamamı değil, bir parçasıdır.
Sorunun görselindeki bilgilere göre, eğer B açısının tamamı 75 derece olarak düşünülürse, o zaman:
Adım 1: Üçgenlerde ve dörtgenlerde, en küçük açı karşısındaki kenar en kısadır. En büyük açı karşısındaki kenar ise en uzundur.
Adım 2: Şekilde verilen açıları karşılaştıralım:
- A açısı = 24°
- B açısı = 75° (Eğer bu B açısının tamamıysa)
- D açısı = 80°
Adım 3: Bu açılara baktığımızda en küçük açı 24° ile A açısıdır. A açısının karşısındaki kenar BC kenarıdır.
Adım 4: En büyük açı 80° ile D açısıdır. D açısının karşısındaki kenar AB kenarıdır.
Adım 5: Ancak soruda “en kısa doğru parçasını bulunuz” deniyor. Burada doğru parçaları kenarlar olabileceği gibi köşegenler de olabilir. Şekilde AC ve BD köşegenleri var.
Adım 6: AC köşegeninin karşısındaki açılar B ve D’dir. B açısı 75°, D açısı 80°. Bu iki açının toplamı 155°.
Adım 7: BD köşegeninin karşısındaki açılar A ve C’dir. A açısı 24°. C açısının tamamını bilmediğimiz için bu köşegen hakkında kesin bir şey söyleyemeyiz.
Adım 8: Ancak, eğer soruda B köşesinin yanında gösterilen 75 derecenin sadece B açısının bir parçası olduğunu ve C açısının da verilmediğini varsayarsak, bu durumda en kısa kenarı bulmak için üçgenlere ayırıp her bir üçgenin açılarını bulmamız gerekir. Fakat görselde bu bilgi yok.
Adım 9: Soruda “doğru parçası” denildiği için, şeklin kenarlarını ve köşegenlerini göz önünde bulundurmalıyız. Eğer soruda verilen açılar sadece ilgili köşelerdeki açılarsa ve C açısı tam olarak verilmemişse, bu soruyu tam olarak çözmek için ek bilgiye ihtiyacımız var.
Adım 10: Ancak, eğer görseldeki 64° ve 75° açıları B köşesine ait iki farklı açı parçası ise ve B açısının tamamı bu ikisinin toplamı ise, yani B = 64° + 75° = 139° olsaydı, o zaman:
- A = 24°
- B = 139°
- D = 80°
- C = 360° – (24° + 139° + 80°) = 360° – 243° = 117°
Bu durumda en küçük açı A (24°) olurdu ve karşısındaki kenar BC olurdu. En büyük açı B (139°) olurdu ve karşısındaki kenar AD olurdu.
Adım 11: Soruda gösterilen 64° ve 75°’nin B köşesine ait olduğu ve 80°’nin D köşesine ait olduğu, 24°’nin ise A köşesine ait olduğu açıkça görülüyor. C açısı ise verilmemiş. Bu durumda en kısa kenarı bulmak için, A açısı (24°) en küçük açı olduğu için, onun karşısındaki BC kenarı en kısa kenar olma ihtimali yüksektir.
Adım 12: Eğer soruda 75°’nin B köşesinin iç açısı olduğu kabul edilirse (yanında başka bir açı çizgisi yoksa), o zaman en küçük açı 24° (A açısı) olur. Karşısındaki kenar BC’dir. En büyük açı 80° (D açısı) olur. Karşısındaki kenar AB’dir.
Adım 13: Sorunun amacının, en küçük açıya sahip kenarı bulmak olduğunu düşünürsek, en küçük açı 24° (A açısı) olduğuna göre, bu açının karşısındaki kenar olan BC en kısa doğru parçasıdır.
Sonuç: BC
—
9. Soru: Yandaki şekilde en uzun doğru parçasını bulunuz.
Bu soruda bizden CDEB dörtgenindeki en uzun doğru parçasını bulmamız isteniyor. Yine aynı kural geçerli: Açı ne kadar büyükse, karşısındaki kenar o kadar uzundur.
Şekildeki açılar:
- C açısı = 21°
- E açısı = 26°
- D açısı = 45°
- B açısı = 75° + 44° = 119° (B köşesindeki iki açının toplamı)
Şimdi dörtgenin iç açılar toplamından E açısının tamamını bulalım. CDEB dörtgeninin iç açılar toplamı 360 derecedir.
C + D + E + B = 360°
21° + 45° + E + (75° + 44°) = 360°
Önce bilinen açıları toplayalım:
21
+ 45
—–
66
66
+ 75
—–
141
141
+ 44
—–
185
Yani, 185° + E = 360°
E açısını bulmak için 360’tan 185’i çıkaralım:
360
– 185
—–
175
E açısı 175 derece olamaz! Çünkü bu bir dörtgenin iç açısı. Soruda E açısının 26 derece olarak verilmesi, bu açının tamamı değil, sadece bir parçası olduğunu gösteriyor. Şekle baktığımızda, C, B, D ve E noktaları var ve bir dörtgen oluşturuyorlar. Soruda verilen açılar şunlar:
- C köşesindeki açı: 21°
- B köşesindeki açıların bir kısmı: 75° ve 44° (Bunların toplamı B açısını oluşturuyor.)
- E köşesindeki açı: 26°
- D köşesindeki açı: 45°
Adım 1: En uzun doğru parçasını bulmak için en büyük açıya bakmalıyız. En büyük açı karşısındaki kenar en uzundur.
Adım 2: B köşesindeki açının tamamını hesaplayalım: 75° + 44° = 119°.
Adım 3: Dörtgenin iç açıları şunlar:
- C = 21°
- D = 45°
- E = 26°
- B = 119°
Adım 4: Bu açılara baktığımızda en büyük açı 119° ile B açısıdır.
Adım 5: B açısının karşısındaki kenar CD kenarıdır.
Adım 6: En küçük açı 21° ile C açısıdır. Karşısındaki kenar DE’dir.
Adım 7: Soruda “en uzun doğru parçası” soruluyor. Bu, dörtgenin kenarlarından biri veya köşegenlerinden biri olabilir. Köşegenler CE ve BD’dir.
Adım 8: Köşegenler hakkında bir yorum yapabilmek için üçgenlere ayırmamız gerekir. Ancak, en büyük açı B’nin 119° olduğunu biliyoruz. Bu, B’nin karşısındaki CD kenarının en uzun kenar olacağını gösterir.
Adım 9: Eğer köşegenleri de dikkate alırsak, üçgenlere ayırarak her bir kenarın uzunluğunu tahmin etmemiz gerekir. Ancak, açı-kenar ilişkisine göre, en büyük iç açıya sahip köşenin karşısındaki kenar en uzun olacaktır.
Adım 10: En büyük açı 119° ile B açısıdır. Bu açının karşısındaki kenar CD‘dir. Bu nedenle, CD en uzun doğru parçasıdır.
Sonuç: CD
—
10. Soru: Yandaki şekilde en uzun doğru parçasını bulunuz.
Bu soruda da yine en uzun doğru parçasını bulacağız. Kural aynı: En büyük açı karşısındaki kenar en uzundur.
Şekildeki açılar:
- A açısı = 81°
- C köşesindeki açıların bir kısmı: 47° ve 57° (Bunların toplamı C açısını oluşturuyor.)
- E açısı = 63°
- D köşesi ise bir nokta.
Bu şekil bir dörtgen değil, bir üçgen (ACE) ve bu üçgenin içine çizilmiş bir doğru parçası (CD) gibi görünüyor. Soruda “en uzun doğru parçası” denmiş. Bu, ACE üçgeninin kenarları veya CD doğru parçası olabilir. Eğer şekil bir dörtgen ise, bu durumda D köşesinin açısı verilmemiş.
Şekle dikkatlice baktığımızda, A, C, E noktalarının bir üçgen oluşturduğunu ve D noktasının da bu üçgenin içinde olduğunu görüyoruz. Soruda “en uzun doğru parçasını bulunuz” deniyor. Bu durumda, ACE üçgeninin kenarlarını ve CD doğru parçasını karşılaştırmamız gerekiyor.
Adım 1: Önce ACE üçgeninin açılarını bulalım. C köşesindeki açının tamamını hesaplayalım: 47° + 57° = 104°.
Adım 2: ACE üçgeninin iç açılar toplamı 180 derecedir.
A + C + E = 180°
81° + 104° + E = 180°
185° + E = 180°
Bu da bir hata olduğunu gösteriyor! Bir üçgenin iki açısının toplamı bile 180 dereceden fazla olamaz. Demek ki, şekil ACE üçgeni değil.
Adım 3: Şekle tekrar bakalım. A, B, C, E harfleri var. Bu bir dörtgen olabilir. Ancak D noktası da var. Soruda “en uzun doğru parçasını bulunuz” deniyor. Görseldeki şekil, bir dörtgen (ABCE) ve bu dörtgenin içinden geçen bir doğru parçası (CD) gibi görünüyor.
Adım 4: Soruda verilen açılar şunlar:
- A açısı = 81°
- C açısının bir kısmı = 47°
- C açısının diğer bir kısmı = 57° (Bu iki açı C köşesine ait.)
- E açısı = 63°
- B köşesindeki açı = 12° (Bu da B köşesine ait.)
Adım 5: Eğer bu bir dörtgen (ABCE) ise, D noktası bu dörtgenin içinde bir noktadır ve CD bir doğru parçasıdır.
Adım 6: C köşesindeki toplam açıyı bulalım: 47° + 57° = 104°.
Adım 7: B köşesindeki açı 12°.
Adım 8: A açısı 81°.
Adım 9: E açısı 63°.
Adım 10: Bu açılarla bir dörtgenin iç açıları toplamı 360 derece olmalıdır. A + B + C + E = 81° + 12° + 104° + 63° = 260°.
Yine bir hata var! Verilen açılarla dörtgenin iç açıları toplamı 360 derece olmuyor.
Adım 11: Sorunun amacı, en uzun kenarı bulmaksa, en büyük açıyı bulmamız gerekiyor. Verilen açılar arasında en büyüğü 81° (A açısı).
Adım 12: Eğer şekil bir üçgen (ACE) ve CD bir doğru parçası ise, bu durumda en uzun kenarı bulmak için üçgenin kenarlarını ve CD’yi karşılaştırmamız gerekir. Ancak ACE üçgeninin açıları tutarlı değil.
Adım 13: Soruda “en uzun doğru parçası” denmesi, şeklin kenarları ve köşegenleri olabileceğini düşündürüyor. Eğer şekildeki harfler (A, B, C, D, E) birleşik bir şekil oluşturuyorsa ve verilen açılar bu şekle aitse, o zaman en büyük açıya sahip kenarı bulmalıyız.
Adım 14: Verilen açılar arasında en büyüğü 81° (A açısı). Bu açının karşısındaki kenar CE‘dir.
Adım 15: C köşesindeki açıların toplamı 104°.
Adım 16: E açısı 63°.
Adım 17: B açısı 12°.
Adım 18: Şeklin bir dörtgen (ABCE) ve CD bir köşegen veya iç doğru parçası olduğunu varsayarsak, en büyük açı 81° (A açısı) olduğuna göre, bu açının karşısındaki kenar CE en uzun doğru parçasıdır.
Adım 19: Ancak, sorunun görselinde D noktası da bir köşe gibi görünüyor. Eğer şekil ABCDE beşgeni ise, o zaman iç açılar toplamı 540 derece olurdu.
Adım 20: Şekle tekrar dikkatlice bakıldığında, A, B, C, E noktalarının bir dörtgenin köşeleri olduğu ve D noktasının ise C ve E köşelerini birleştiren doğru parçası üzerinde bir nokta olduğu anlaşılıyor. Yani CD ve DE iki ayrı doğru parçasıdır ve CE bir doğru parçasıdır.
Adım 21: Bu durumda, karşılaştırmamız gereken doğru parçaları AB, BC, CE ve CD, DE’dir.
Adım 22: ACE üçgeni içindeki açıları tekrar hesaplayalım:
- A = 81°
- C = 47° + 57° = 104°
- E = 63°
Bu üçgenin iç açıları toplamı 81 + 104 + 63 = 248° olur ki bu da bir üçgenin iç açıları toplamı olan 180°’den çok fazladır. Bu nedenle, bu şekil bir üçgen değildir.
Adım 23: Şeklin ABCE dörtgeni ve CD doğru parçası olduğunu kabul edelim. En büyük açı A = 81°’dir. Bu açının karşısındaki kenar CE‘dir.
Adım 24: C köşesinin açısı 104°’dür. Karşısındaki kenar AB’dir.
Adım 25: E köşesinin açısı 63°’dür. Karşısındaki kenar BC’dir.
Adım 26: B köşesinin açısı 12°’dir. Karşısındaki kenar CE‘dir.
Adım 27: En büyük açı 104° ile C köşesidir. Karşısındaki kenar AB’dir.
Adım 28: En küçük açı 12° ile B köşesidir. Karşısındaki kenar CE‘dir.
Adım 29: Bu durumda, en uzun kenar, en büyük açı karşısında olacağından, CE kenarıdır.
Sonuç: CE