8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Meb Yayınları Sayfa 182
Harika bir soru! Hadi hep birlikte bu “Düşünme Zamanı” etkinliğini adım adım çözelim. Unutmayın, matematikte en önemli şey soruyu doğru anlamak ve adımları sabırla takip etmektir.
Soru: Verilen dikdörtgeni şartları sağlayacak şekilde aşağıdaki dört dik koordinat sisteminde konumlandırınız.
Dikdörtgenimizin kenar uzunlukları 8 birim ve 2 birim.
Bizden istenen Şartlar ise şunlar:
- Dikdörtgenin bir kenarı ile eksenlerden biri (x veya y ekseni) çakışık olmalıdır. Yani bir kenarı tam olarak eksenin üzerinde durmalı.
- Köşe koordinat değerlerinin toplamı 0 olmalıdır. Eğer köşelerimiz A(a,b), B(c,d), C(e,f) ve D(g,h) ise, bu noktaların bütün x ve y değerlerini topladığımızda (a+b+c+d+e+f+g+h) sonuç 0 çıkmalıdır.
Bu iki kurala uyarak 4 farklı yerleşim bulmamız gerekiyor. Hadi başlayalım!
a) şıkkı için çözümümüz:
Bu şık için dikdörtgenin 8 birimlik uzun kenarını x ekseni üzerine yerleştirelim ve dikdörtgenimiz x ekseninin üst bölgesinde kalsın.
Adım 1: Koordinatları Belirleyelim
Bir kenar x ekseninde olacağı için bu kenar üzerindeki iki köşenin y değeri 0 olacaktır. Diğer iki köşenin y değeri ise dikdörtgenin kısa kenarı 2 birim olduğu için 2 olacaktır. Yani köşelerimizin y değerleri; 0, 0, 2, 2’dir.
Şimdi x değerlerini bulmalıyız. Uzun kenarı x eksenine koyduğumuz için, iki köşenin x değeri aynı (x₁ diyelim), diğer iki köşenin x değeri de aynı (x₂ diyelim) olmalıdır. Yani köşelerimizin x değerleri; x₁, x₂, x₂, x₁ şeklindedir.
Köşelerimiz şöyle olur: A(x₁, 0), B(x₂, 0), C(x₂, 2), D(x₁, 2).
Adım 2: Toplamı 0’a Eşitleyelim
Tüm koordinatların toplamı 0 olmalıydı:
x₁ + 0 + x₂ + 0 + x₂ + 2 + x₁ + 2 = 0
2x₁ + 2x₂ + 4 = 0
2(x₁ + x₂) = -4
x₁ + x₂ = -2
Adım 3: Kenar Uzunluğunu Kullanalım
x ekseni üzerindeki kenar 8 birim uzunluğundaydı. Yani x₁ ve x₂ arasındaki fark 8 olmalıdır. x₂ – x₁ = 8 diyelim.
Şimdi elimizde iki denklem var:
x₁ + x₂ = -2
x₂ – x₁ = 8
Bu iki denklemi alt alta toplarsak x₁’ler birbirini götürür ve 2x₂ = 6 buluruz. Buradan x₂ = 3 çıkar.
x₂ değerini ilk denklemde yerine koyarsak: x₁ + 3 = -2, buradan da x₁ = -5 buluruz.
Sonuç:
a) şıkkı için dikdörtgenin köşe koordinatları şunlardır:
- A(-5, 0)
- B(3, 0)
- C(3, 2)
- D(-5, 2)
Sağlamasını yapalım: (-5) + 0 + 3 + 0 + 3 + 2 + (-5) + 2 = -5 + 3 + 3 + 2 – 5 + 2 = 0. Harika, doğru bulmuşuz!
b) şıkkı için çözümümüz:
Bu sefer de 8 birimlik uzun kenarı x ekseni üzerine koyalım ama dikdörtgenimiz x ekseninin alt bölgesinde kalsın.
Adım 1: Koordinatları Belirleyelim
Yine iki köşenin y değeri 0 olacak. Dikdörtgen altta kaldığı için diğer iki köşenin y değeri bu kez -2 olacaktır. Yani y değerleri; 0, 0, -2, -2.
x değerleri yine x₁ ve x₂ olsun. Köşeler: A(x₁, 0), B(x₂, 0), C(x₂, -2), D(x₁, -2).
Adım 2: Toplamı 0’a Eşitleyelim
x₁ + 0 + x₂ + 0 + x₂ + (-2) + x₁ + (-2) = 0
2x₁ + 2x₂ – 4 = 0
2(x₁ + x₂) = 4
x₁ + x₂ = 2
Adım 3: Kenar Uzunluğunu Kullanalım
Yine uzun kenar 8 birim olduğu için x₂ – x₁ = 8.
Denklemlerimiz:
x₁ + x₂ = 2
x₂ – x₁ = 8
Taraf tarafa topladığımızda 2x₂ = 10, yani x₂ = 5 olur.
Yerine koyarsak: x₁ + 5 = 2, buradan da x₁ = -3 buluruz.
Sonuç:
b) şıkkı için dikdörtgenin köşe koordinatları şunlardır:
- A(-3, 0)
- B(5, 0)
- C(5, -2)
- D(-3, -2)
Sağlamasını yapalım: (-3) + 0 + 5 + 0 + 5 + (-2) + (-3) + (-2) = -3 + 5 + 5 – 2 – 3 – 2 = 0. Süper!
c) şıkkı için çözümümüz:
Şimdi de farklı bir şey deneyelim. Dikdörtgenin 2 birimlik kısa kenarını y ekseni üzerine yerleştirelim ve dikdörtgenimiz y ekseninin sağ tarafında (pozitif x bölgesi) kalsın.
Adım 1: Koordinatları Belirleyelim
Bir kenar y ekseninde olacağı için bu kenar üzerindeki iki köşenin x değeri 0 olacaktır. Dikdörtgen sağda ve 8 birim genişliğinde olduğu için diğer iki köşenin x değeri 8 olacaktır. Yani x değerleri; 0, 0, 8, 8.
y değerleri ise y₁ ve y₂ olsun. Köşeler: A(0, y₁), B(0, y₂), C(8, y₂), D(8, y₁).
Adım 2: Toplamı 0’a Eşitleyelim
0 + y₁ + 0 + y₂ + 8 + y₂ + 8 + y₁ = 0
2y₁ + 2y₂ + 16 = 0
2(y₁ + y₂) = -16
y₁ + y₂ = -8
Adım 3: Kenar Uzunluğunu Kullanalım
y ekseni üzerindeki kenar 2 birim uzunluğundaydı. Yani y₂ – y₁ = 2.
Denklemlerimiz:
y₁ + y₂ = -8
y₂ – y₁ = 2
Taraf tarafa topladığımızda 2y₂ = -6, yani y₂ = -3 olur.
Yerine koyarsak: y₁ + (-3) = -8, buradan da y₁ = -5 buluruz.
Sonuç:
c) şıkkı için dikdörtgenin köşe koordinatları şunlardır:
- A(0, -5)
- B(0, -3)
- C(8, -3)
- D(8, -5)
Sağlamasını yapalım: 0 + (-5) + 0 + (-3) + 8 + (-3) + 8 + (-5) = -5 – 3 + 8 – 3 + 8 – 5 = 0. İşte bu kadar!
d) şıkkı için çözümümüz:
Son olarak, yine 2 birimlik kısa kenarı y ekseni üzerine koyalım ama bu kez dikdörtgenimiz y ekseninin sol tarafında (negatif x bölgesi) olsun.
Adım 1: Koordinatları Belirleyelim
İki köşenin x değeri yine 0 olacak. Dikdörtgen solda ve 8 birim genişliğinde olduğu için diğer iki köşenin x değeri -8 olacaktır. Yani x değerleri; 0, 0, -8, -8.
y değerleri y₁ ve y₂ olsun. Köşeler: A(0, y₁), B(0, y₂), C(-8, y₂), D(-8, y₁).
Adım 2: Toplamı 0’a Eşitleyelim
0 + y₁ + 0 + y₂ + (-8) + y₂ + (-8) + y₁ = 0
2y₁ + 2y₂ – 16 = 0
2(y₁ + y₂) = 16
y₁ + y₂ = 8
Adım 3: Kenar Uzunluğunu Kullanalım
y ekseni üzerindeki kenar 2 birim uzunluğunda, yani y₂ – y₁ = 2.
Denklemlerimiz:
y₁ + y₂ = 8
y₂ – y₁ = 2
Taraf tarafa topladığımızda 2y₂ = 10, yani y₂ = 5 olur.
Yerine koyarsak: y₁ + 5 = 8, buradan da y₁ = 3 buluruz.
Sonuç:
d) şıkkı için dikdörtgenin köşe koordinatları şunlardır:
- A(0, 3)
- B(0, 5)
- C(-8, 5)
- D(-8, 3)
Son sağlamamız: 0 + 3 + 0 + 5 + (-8) + 5 + (-8) + 3 = 3 + 5 – 8 + 5 – 8 + 3 = 0. Mükemmel!
Gördüğünüz gibi, kuralları anladıktan ve adımları dikkatlice izledikten sonra çözüme ulaşmak hiç de zor değil. Bu bulduğumuz koordinatları ilgili grafiklere çizerek soruyu tamamlayabilirsiniz. Hepinize iyi çalışmalar dilerim!