Harika bir soru! Hadi hep birlikte bu “Düşünme Zamanı” etkinliğini adım adım çözelim. Unutmayın, matematikte en önemli şey soruyu doğru anlamak ve adımları sabırla takip etmektir.
Soru: Verilen dikdörtgeni şartları sağlayacak şekilde aşağıdaki dört dik koordinat sisteminde konumlandırınız.
Dikdörtgenimizin kenar uzunlukları 8 birim ve 2 birim.
Bizden istenen Şartlar ise şunlar:
- Dikdörtgenin bir kenarı ile eksenlerden biri (x veya y ekseni) çakışık olmalıdır. Yani bir kenarı tam olarak eksenin üzerinde durmalı.
- Köşe koordinat değerlerinin toplamı 0 olmalıdır. Eğer köşelerimiz A(a,b), B(c,d), C(e,f) ve D(g,h) ise, bu noktaların bütün x ve y değerlerini topladığımızda (a+b+c+d+e+f+g+h) sonuç 0 çıkmalıdır.
Bu iki kurala uyarak 4 farklı yerleşim bulmamız gerekiyor. Hadi başlayalım!
a) şıkkı için çözümümüz:
Bu şık için dikdörtgenin 8 birimlik uzun kenarını x ekseni üzerine yerleştirelim ve dikdörtgenimiz x ekseninin üst bölgesinde kalsın.
Adım 1: Koordinatları Belirleyelim
Bir kenar x ekseninde olacağı için bu kenar üzerindeki iki köşenin y değeri 0 olacaktır. Diğer iki köşenin y değeri ise dikdörtgenin kısa kenarı 2 birim olduğu için 2 olacaktır. Yani köşelerimizin y değerleri; 0, 0, 2, 2’dir.
Şimdi x değerlerini bulmalıyız. Uzun kenarı x eksenine koyduğumuz için, iki köşenin x değeri aynı (x₁ diyelim), diğer iki köşenin x değeri de aynı (x₂ diyelim) olmalıdır. Yani köşelerimizin x değerleri; x₁, x₂, x₂, x₁ şeklindedir.
Köşelerimiz şöyle olur: A(x₁, 0), B(x₂, 0), C(x₂, 2), D(x₁, 2).
Adım 2: Toplamı 0’a Eşitleyelim
Tüm koordinatların toplamı 0 olmalıydı:
x₁ + 0 + x₂ + 0 + x₂ + 2 + x₁ + 2 = 0
2x₁ + 2x₂ + 4 = 0
2(x₁ + x₂) = -4
x₁ + x₂ = -2
Adım 3: Kenar Uzunluğunu Kullanalım
x ekseni üzerindeki kenar 8 birim uzunluğundaydı. Yani x₁ ve x₂ arasındaki fark 8 olmalıdır. x₂ – x₁ = 8 diyelim.
Şimdi elimizde iki denklem var:
x₁ + x₂ = -2
x₂ – x₁ = 8Bu iki denklemi alt alta toplarsak x₁’ler birbirini götürür ve 2x₂ = 6 buluruz. Buradan x₂ = 3 çıkar.
x₂ değerini ilk denklemde yerine koyarsak: x₁ + 3 = -2, buradan da x₁ = -5 buluruz.
Sonuç:
a) şıkkı için dikdörtgenin köşe koordinatları şunlardır:
- A(-5, 0)
- B(3, 0)
- C(3, 2)
- D(-5, 2)
Sağlamasını yapalım: (-5) + 0 + 3 + 0 + 3 + 2 + (-5) + 2 = -5 + 3 + 3 + 2 – 5 + 2 = 0. Harika, doğru bulmuşuz!
b) şıkkı için çözümümüz:
Bu sefer de 8 birimlik uzun kenarı x ekseni üzerine koyalım ama dikdörtgenimiz x ekseninin alt bölgesinde kalsın.
Adım 1: Koordinatları Belirleyelim
Yine iki köşenin y değeri 0 olacak. Dikdörtgen altta kaldığı için diğer iki köşenin y değeri bu kez -2 olacaktır. Yani y değerleri; 0, 0, -2, -2.
x değerleri yine x₁ ve x₂ olsun. Köşeler: A(x₁, 0), B(x₂, 0), C(x₂, -2), D(x₁, -2).
Adım 2: Toplamı 0’a Eşitleyelim
x₁ + 0 + x₂ + 0 + x₂ + (-2) + x₁ + (-2) = 0
2x₁ + 2x₂ – 4 = 0
2(x₁ + x₂) = 4
x₁ + x₂ = 2
Adım 3: Kenar Uzunluğunu Kullanalım
Yine uzun kenar 8 birim olduğu için x₂ – x₁ = 8.
Denklemlerimiz:
x₁ + x₂ = 2
x₂ – x₁ = 8Taraf tarafa topladığımızda 2x₂ = 10, yani x₂ = 5 olur.
Yerine koyarsak: x₁ + 5 = 2, buradan da x₁ = -3 buluruz.
Sonuç:
b) şıkkı için dikdörtgenin köşe koordinatları şunlardır:
- A(-3, 0)
- B(5, 0)
- C(5, -2)
- D(-3, -2)
Sağlamasını yapalım: (-3) + 0 + 5 + 0 + 5 + (-2) + (-3) + (-2) = -3 + 5 + 5 – 2 – 3 – 2 = 0. Süper!
c) şıkkı için çözümümüz:
Şimdi de farklı bir şey deneyelim. Dikdörtgenin 2 birimlik kısa kenarını y ekseni üzerine yerleştirelim ve dikdörtgenimiz y ekseninin sağ tarafında (pozitif x bölgesi) kalsın.
Adım 1: Koordinatları Belirleyelim
Bir kenar y ekseninde olacağı için bu kenar üzerindeki iki köşenin x değeri 0 olacaktır. Dikdörtgen sağda ve 8 birim genişliğinde olduğu için diğer iki köşenin x değeri 8 olacaktır. Yani x değerleri; 0, 0, 8, 8.
y değerleri ise y₁ ve y₂ olsun. Köşeler: A(0, y₁), B(0, y₂), C(8, y₂), D(8, y₁).
Adım 2: Toplamı 0’a Eşitleyelim
0 + y₁ + 0 + y₂ + 8 + y₂ + 8 + y₁ = 0
2y₁ + 2y₂ + 16 = 0
2(y₁ + y₂) = -16
y₁ + y₂ = -8
Adım 3: Kenar Uzunluğunu Kullanalım
y ekseni üzerindeki kenar 2 birim uzunluğundaydı. Yani y₂ – y₁ = 2.
Denklemlerimiz:
y₁ + y₂ = -8
y₂ – y₁ = 2Taraf tarafa topladığımızda 2y₂ = -6, yani y₂ = -3 olur.
Yerine koyarsak: y₁ + (-3) = -8, buradan da y₁ = -5 buluruz.
Sonuç:
c) şıkkı için dikdörtgenin köşe koordinatları şunlardır:
- A(0, -5)
- B(0, -3)
- C(8, -3)
- D(8, -5)
Sağlamasını yapalım: 0 + (-5) + 0 + (-3) + 8 + (-3) + 8 + (-5) = -5 – 3 + 8 – 3 + 8 – 5 = 0. İşte bu kadar!
d) şıkkı için çözümümüz:
Son olarak, yine 2 birimlik kısa kenarı y ekseni üzerine koyalım ama bu kez dikdörtgenimiz y ekseninin sol tarafında (negatif x bölgesi) olsun.
Adım 1: Koordinatları Belirleyelim
İki köşenin x değeri yine 0 olacak. Dikdörtgen solda ve 8 birim genişliğinde olduğu için diğer iki köşenin x değeri -8 olacaktır. Yani x değerleri; 0, 0, -8, -8.
y değerleri y₁ ve y₂ olsun. Köşeler: A(0, y₁), B(0, y₂), C(-8, y₂), D(-8, y₁).
Adım 2: Toplamı 0’a Eşitleyelim
0 + y₁ + 0 + y₂ + (-8) + y₂ + (-8) + y₁ = 0
2y₁ + 2y₂ – 16 = 0
2(y₁ + y₂) = 16
y₁ + y₂ = 8
Adım 3: Kenar Uzunluğunu Kullanalım
y ekseni üzerindeki kenar 2 birim uzunluğunda, yani y₂ – y₁ = 2.
Denklemlerimiz:
y₁ + y₂ = 8
y₂ – y₁ = 2Taraf tarafa topladığımızda 2y₂ = 10, yani y₂ = 5 olur.
Yerine koyarsak: y₁ + 5 = 8, buradan da y₁ = 3 buluruz.
Sonuç:
d) şıkkı için dikdörtgenin köşe koordinatları şunlardır:
- A(0, 3)
- B(0, 5)
- C(-8, 5)
- D(-8, 3)
Son sağlamamız: 0 + 3 + 0 + 5 + (-8) + 5 + (-8) + 3 = 3 + 5 – 8 + 5 – 8 + 3 = 0. Mükemmel!
Gördüğünüz gibi, kuralları anladıktan ve adımları dikkatlice izledikten sonra çözüme ulaşmak hiç de zor değil. Bu bulduğumuz koordinatları ilgili grafiklere çizerek soruyu tamamlayabilirsiniz. Hepinize iyi çalışmalar dilerim!