Merhaba sevgili öğrencim,
Harika sorular göndermişsin! Bu sorular, 8. Sınıf Matematik konularını ne kadar iyi anladığını pekiştirmen için çok güzel fırsatlar sunuyor. Şimdi senin için bu soruları bir öğretmen gözüyle, tane tane ve anlaşılır bir şekilde çözeceğim. Takıldığın bir yer olursa hiç çekinme, tekrar sorabilirsin. Haydi başlayalım!
Soru 5: İsmail, bir kenar uzunluğu 2√10 dm ve yüzeyi kare şeklinde olan fayanslardan 18 tanesini kullanarak banyonun tabanını kaplamıştır. Kaplama işlemi yapılırken fayanslar parçalanmamış, üst üste gelmemiş ve fayansların arasında boşluk bırakılmamıştır. Buna göre banyonun tabanının kaç desimetrekare olduğunu bulunuz.
Bu soruda bizden istenen, kaplanan toplam alanı bulmamız. Bunun için önce bir tane kare fayansın alanını bulmalı, sonra da bu alanı toplam fayans sayısı ile çarpmalıyız. Çok basit, değil mi?
Adım 1:Bir tane kare fayansın alanını bulalım.
Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılmasıyla bulunur. Yani Alan = a² formülünü kullanacağız.
Fayansın bir kenarı = 2√10 dm
Bir fayansın alanı = (2√10) * (2√10) = (2√10)²
Bu işlemi yaparken hem katsayıyı (2) hem de köklü ifadeyi (√10) kendi arasında çarparız:
2 * 2 = 4
√10 * √10 = 10
Bir fayansın alanı = 4 * 10 = 40 dm²
Adım 2:Toplam alanı bulalım.
İsmail bu fayanslardan tam 18 tane kullanmış. O zaman banyonun toplam alanını bulmak için bir fayansın alanını 18 ile çarpmamız yeterli.
Toplam Alan = 18 * 40 = 720 dm²
Sonuç: Banyonun tabanı 720 desimetrekaredir.
Soru 6: Alanı 300 metrekare olan kare şeklindeki bahçenin kenarlarına köşelerine de dikilmek şartı ile 2√3 metre aralıklarla direk dikilecektir. Bu iş için kaç direğin kullanılacağını bulunuz.
Bu soruda önce karenin bir kenar uzunluğunu, sonra çevresini bulmalıyız. Çevreyi bulduktan sonra, direkler arasındaki mesafeye bölerek kaç direk gerektiğini hesaplayabiliriz. Köşelere de dikilmesi, işimizi kolaylaştırıyor.
Adım 1:Karenin bir kenar uzunluğunu bulalım.
Karenin alanı 300 m² ise bir kenar uzunluğu bu sayının kareköküdür.
Bir kenar = √300
Şimdi √300’ü a√b şeklinde yazalım. 300 = 100 * 3 olduğundan;
√300 = √(100 * 3) = 10√3 metre
Adım 2:Bahçenin çevresini hesaplayalım.
Karenin çevresi bir kenar uzunluğunun 4 ile çarpılmasıyla bulunur. Çevre = 4 * a
Çevre = 4 * 10√3 = 40√3 metre
Adım 3:Gerekli direk sayısını bulalım.
Toplam çevre uzunluğunu, iki direk arasındaki mesafeye böldüğümüzde direk sayısını buluruz.
Direk Sayısı = Toplam Çevre / İki Direk Arası Mesafe
Direk Sayısı = (40√3) / (2√3)
Bu bölme işleminde √3’ler birbirini götürür. Geriye 40 / 2 kalır.
Direk Sayısı = 20
Sonuç: Bu iş için 20 direk kullanılacaktır.
Soru 7: Çap uzunlukları sırasıyla 6√5 cm, 4√11 cm ve 8√3 cm olan çemberlerin uzunluklarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız. (π = 3 alınız.)
Sevgili öğrencim, bu soruda önce her bir çemberin çevre uzunluğunu bulacağız. Sonra da bu uzunlukları karşılaştırabilmek için katsayıları kök içine alarak sıralama yapacağız.
Adım 1:Çemberlerin çevre uzunluklarını hesaplayalım.
Unutma, çemberin çevresi Çevre = π * Çap formülüyle bulunur ve soruda π=3 almamız istenmiş.
- 1. Çemberin Çevresi: 3 * (6√5) = 18√5 cm
- 2. Çemberin Çevresi: 3 * (4√11) = 12√11 cm
- 3. Çemberin Çevresi: 3 * (8√3) = 24√3 cm
Adım 2:Sıralama yapabilmek için sayıları karşılaştıralım.
Kareköklü sayılarda sıralama yapmanın en kolay yolu, katsayıları kökün içine almaktır. Yani a√b = √(a² * b) kuralını kullanacağız.
- 18√5 = √(18² * 5) = √(324 * 5) = √1620
- 12√11 = √(12² * 11) = √(144 * 11) = √1584
- 24√3 = √(24² * 3) = √(576 * 3) = √1728
Adım 3:Sayıları büyükten küçüğe sıralayalım.
Kök içindeki sayılara baktığımızda en büyüğü 1728, sonra 1620, en küçüğü ise 1584’tür.
√1728 > √1620 > √1584
Bu da demek oluyor ki;
24√3 > 18√5 > 12√11
Sonuç: Çemberlerin uzunluklarının büyükten küçüğe doğru sıralaması 24√3 cm > 18√5 cm > 12√11 cm şeklindedir.
Soru 8: Yukarıdaki şekilde aynı merkezli daireler çizilmiş ve A, B, C, D ve E olarak adlandırılan bölgelere ayrılmıştır. A, B, C, D ve E bölgelerinin her birinin alanı 48 santimetrekaredir. Buna göre büyük dairenin yarıçapının küçük dairenin yarıçapına oranını bulunuz. (π = 3 alınız.)
Bu soruda iki daire var: biri küçük (A bölgesi), diğeri büyük (tüm bölgelerin toplamı). İkisinin de alanından yola çıkarak yarıçaplarını bulacağız ve sonra oranlayacağız.
Adım 1:Küçük ve büyük dairenin alanlarını bulalım.
Küçük daire sadece A bölgesinden oluşuyor. Küçük Dairenin Alanı = 48 cm²
Büyük daire ise A, B, C, D ve E bölgelerinin tamamını kapsıyor. 5 bölge var ve her biri 48 cm².
Büyük Dairenin Alanı = 5 * 48 = 240 cm²
Adım 2:Dairelerin yarıçaplarını bulalım.
Dairenin alan formülü Alan = π * r² idi. (π=3)
- Küçük Dairenin Yarıçapı (r₁):
48 = 3 * r₁²
r₁² = 48 / 3 = 16
r₁ = √16 = 4 cm
- Büyük Dairenin Yarıçapı (r₂):
240 = 3 * r₂²
r₂² = 240 / 3 = 80
r₂ = √80 = √(16 * 5) = 4√5 cm
Adım 3:Yarıçapları oranlayalım.
Soru bizden büyük dairenin yarıçapının küçük dairenin yarıçapına oranını istiyor.
Oran = (Büyük Yarıçap) / (Küçük Yarıçap) = r₂ / r₁
Oran = (4√5) / 4
Burada 4’ler sadeleşir ve geriye sadece √5 kalır.
Sonuç: Büyük dairenin yarıçapının küçük dairenin yarıçapına oranı √5‘tir.
Soru 9: Yandaki ABCD karesinin alanı 288 santimetrekaredir. |AE|, |EF|, |FD| sırasıyla 1, 2 ve 1 sayıları ile orantılıdır. |BG|, |GC| ise sırasıyla 7 ve 5 sayıları ile orantılıdır. Buna göre GEB üçgeninin alanının EGF üçgeninin alanına oranını bulunuz.
Bu geometri sorusu biraz daha dikkat istiyor ama adımları takip edince ne kadar kolay olduğunu göreceksin. Önce karenin kenar uzunluğunu, sonra da parçaların uzunluklarını bulacağız. En son da üçgenlerin alanlarını hesaplayıp oranlayacağız.
Adım 1:Karenin bir kenar uzunluğunu bulalım.
Alan = 288 cm² ise, bir kenar = √288’dir.
√288 = √(144 * 2) = 12√2 cm. Demek ki karenin tüm kenarları 12√2 cm.
Adım 2:Kenarlar üzerindeki parçaların uzunluklarını bulalım.
- AD kenarı için: |AE|:|EF|:|FD| oranı 1:2:1 verilmiş. Yani toplamda 1+2+1=4 parça var.
Kenar uzunluğunu (12√2) 4’e bölelim: (12√2)/4 = 3√2. Bu, 1 oranına karşılık gelen uzunluktur.
|AE| = 1 * 3√2 = 3√2 cm
|EF| = 2 * 3√2 = 6√2 cm
|FD| = 1 * 3√2 = 3√2 cm
- BC kenarı için: |BG|:|GC| oranı 7:5 verilmiş. Yani toplamda 7+5=12 parça var.
Kenar uzunluğunu (12√2) 12’ye bölelim: (12√2)/12 = √2. Bu, 1 oranına karşılık gelen uzunluktur.
|BG| = 7 * √2 = 7√2 cm
|GC| = 5 * √2 = 5√2 cm
Adım 3:Üçgenlerin alanlarını hesaplayalım.
Üçgenin alanı Alan = (Taban * Yükseklik) / 2 formülüyle bulunur.
- GEB Üçgeninin Alanı:
Bu üçgenin tabanı olarak |BG|’yi alabiliriz. Yüksekliği ise E noktasından BC kenarına inen dikmedir. Bu dikme, karenin |AB| kenarına eşittir.
Taban = |BG| = 7√2 cm
Yükseklik = |AB| = 12√2 cm
Alan(GEB) = (7√2 * 12√2) / 2 = (84 * 2) / 2 = 84 cm²
- EGF Üçgeninin Alanı:
Bu üçgenin tabanı olarak |EF|’yi alabiliriz. Yüksekliği ise G noktasından AD kenarına inen dikmedir. Bu dikme de yine karenin |AB| kenarına eşittir.
Taban = |EF| = 6√2 cm
Yükseklik = |AB| = 12√2 cm
Alan(EGF) = (6√2 * 12√2) / 2 = (72 * 2) / 2 = 72 cm²
Adım 4:Alanları oranlayalım.
Bizden istenen oran: Alan(GEB) / Alan(EGF)
Oran = 84 / 72
Bu kesri sadeleştirelim. Her iki taraf da 12’ye bölünür.
84 / 12 = 7
72 / 12 = 6
Oran = 7/6
Sonuç: GEB üçgeninin alanının EGF üçgeninin alanına oranı 7/6‘dır.
Umarım çözümlerim anlaşılır olmuştur. Gördüğün gibi, soruları adımlara ayırınca her şey daha kolay hale geliyor. Çalışmalarında başarılar dilerim