Merhaba sevgili öğrencilerim,
Matematik dersimize hoş geldiniz! Bugün sizlerle birlikte doğrusal denklemlerle ilgili çok güzel sorular çözeceğiz. Bu konular, koordinat sistemini ve denklemleri daha iyi anlamanıza yardımcı olacak. Hazırsanız, kalemleriniz ve defterleriniz yanınızdaysa, haydi başlayalım!
—
Soru 13:
I. 2x – 3y = 0
II. x + 5y = 0
III. 3x – 4y – 6 = 0
IV. x = 2y
Yukarıdaki doğrusal denklemlerin belirttiği doğruların kaç tanesi orijinden geçer?
Çözüm:
Arkadaşlar, bir doğrunun orijinden geçmesi ne demek, önce onu hatırlayalım. Orijin, koordinat sistemindeki (0, 0) noktasıdır. Yani hem x’in hem de y’nin sıfır olduğu yer. Bir doğrunun bu noktadan geçebilmesi için, denklemde x yerine 0 ve y yerine 0 yazdığımızda denklemin sağlanması gerekir.
Bunun pratik bir yolu da var: Eğer bir doğrusal denklemde (ax + by + c = 0 şeklindeki) sabit terim, yani yanında x veya y olmayan tek başına duran bir sayı (c) yoksa veya sıfırsa, o doğru kesinlikle orijinden geçer. Haydi şimdi bu bilgiyle denklemleri tek tek inceleyelim.
- I. 2x – 3y = 0
Bu denklemde x’li ve y’li terimler var ama tek başına duran bir sayı (sabit terim) yok. Yani sabit terim 0’dır. Bu yüzden bu doğru orijinden geçer. - II. x + 5y = 0
Aynı şekilde, bu denklemde de sabit terim bulunmuyor. O zaman bu doğru da orijinden geçer. - III. 3x – 4y – 6 = 0
Bakın, burada tek başına duran bir -6 var. Bu sabit terim sıfırdan farklı olduğu için bu doğru orijinden geçmez. İsterseniz deneyelim: x=0 ve y=0 koyarsak, 3(0) – 4(0) – 6 = -6 olur. -6, 0’a eşit olmadığı için denklem sağlanmaz. - IV. x = 2y
Bu denklemi düzenleyip her şeyi bir tarafa toplayalım: x – 2y = 0. Gördüğünüz gibi, bu denklemde de sabit terim yok. Dolayısıyla bu doğru da orijinden geçer.
Sonuç olarak, I, II ve IV numaralı denklemlerin belirttiği doğrular orijinden geçer. Yani toplamda 3 tane doğrumuz orijinden geçiyor.
Doğru Cevap: C) 3
—
Soru 14:
5x – 3y – 15 = 0 denkleminin belirttiği doğrunun koordinat sisteminde eksenleri kestiği noktaların koordinatları toplamı kaçtır?
Çözüm:
Sevgili arkadaşlar, bir doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulmak çok eğlencelidir! Unutmayın, bir doğru;
- x eksenini kestiği zaman o noktanın y değeri 0‘dır.
- y eksenini kestiği zaman o noktanın x değeri 0‘dır.
Şimdi bu bilgileri kullanarak adım adım ilerleyelim.
Adım 1: x eksenini kestiği noktayı bulalım.
Bunun için denklemde y = 0 yazmalıyız.
5x – 3(0) – 15 = 0
5x – 0 – 15 = 0
5x = 15
x = 3
Demek ki doğrumuz x eksenini (3, 0) noktasında kesiyormuş.
Adım 2: y eksenini kestiği noktayı bulalım.
Bunun için de denklemde x = 0 yazmalıyız.
5(0) – 3y – 15 = 0
0 – 3y – 15 = 0
–3y = 15
y = –5
Doğrumuz y eksenini ise (0, –5) noktasında kesiyormuş.
Adım 3: Kestiği noktaların koordinatları toplamını bulalım.
Bulduğumuz noktalar (3, 0) ve (0, -5). Bu noktaların koordinatları 3, 0, 0 ve -5’tir. Soru bizden bu koordinatların hepsini toplamamızı istiyor.
3 + 0 + 0 + (–5) = 3 – 5 = –2
Sonuç olarak, eksenleri kestiği noktaların koordinatları toplamı -2’dir.
Doğru Cevap: A) –2
—
Soru 15:
I. A(2,–2) noktası x – 2y = 6 denkleminin belirttiği doğru üzerindedir.
II. B(0,1) noktası 3x + 4y – 4 = 0 denkleminin belirttiği doğru üzerindedir.
III. C(1,2) noktası –2x + 5y – 10 = 0 denkleminin belirttiği doğru üzerindedir.
Yukarıda verilen ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
Çözüm:
Bir noktanın bir doğru üzerinde olup olmadığını anlamak için, o noktanın koordinatlarını (x ve y değerlerini) denklemde yerine yazarız. Eğer eşitlik doğru çıkarsa, o nokta doğru üzerindedir. Eğer eşitlik yanlış çıkarsa, nokta doğru üzerinde değildir. Hadi hepsini tek tek deneyelim!
I. A(2,–2) noktası ve x – 2y = 6 denklemi
Denklemde x yerine 2, y yerine –2 yazalım.
(2) – 2(–2) = 6
2 + 4 = 6
6 = 6
Eşitlik doğru! O zaman I. ifade doğrudur.
II. B(0,1) noktası ve 3x + 4y – 4 = 0 denklemi
Denklemde x yerine 0, y yerine 1 yazalım.
3(0) + 4(1) – 4 = 0
0 + 4 – 4 = 0
0 = 0
Eşitlik yine doğru! O zaman II. ifade de doğrudur.
III. C(1,2) noktası ve –2x + 5y – 10 = 0 denklemi
Denklemde x yerine 1, y yerine 2 yazalım.
–2(1) + 5(2) – 10 = 0
–2 + 10 – 10 = 0
8 – 10 = 0
–2 = 0
Bu eşitlik yanlış! O zaman III. ifade yanlıştır.
Buna göre, sadece I ve II numaralı ifadeler doğrudur.
Doğru Cevap: B) I – II
—
Soru 16:
A(–6,3) noktası, ay – 3x – 9 = 0 denkleminin belirttiği doğru üzerinde ise a kaçtır?
Çözüm:
Bu soru, bir önceki sorunun mantığıyla çözülüyor. Soru bize A(–6,3) noktasının bu doğru üzerinde olduğunu söylemiş. Bu bizim için harika bir ipucu! Demek ki bu noktanın koordinatlarını denklemde yerine yazdığımızda eşitlik kesinlikle sağlanmak zorunda.
Adım 1: Noktanın koordinatlarını denklemde yerine yazalım.
Noktamız A(–6, 3). Yani x = –6 ve y = 3.
Denklemimiz: ay – 3x – 9 = 0
Şimdi x ve y değerlerini yerlerine koyalım:
a(3) – 3(–6) – 9 = 0
Adım 2: Oluşan denklemi çözerek ‘a’yı bulalım.
3a – (–18) – 9 = 0
İki eksi yan yana gelince artı olur, unutmayın!
3a + 18 – 9 = 0
3a + 9 = 0
Şimdi ‘a’yı yalnız bırakmak için +9’u karşıya atalım. Karşıya geçerken işareti değişir.
3a = –9
Her iki tarafı da 3’e bölelim.
a = –9 / 3
a = –3
İşte bu kadar! ‘a’ değerini –3 olarak bulduk.
Doğru Cevap: C) –3
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, bol bol pratik yaparak bu konularda ustalaşabilirsiniz. Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere, kendinize iyi bakın!