Merhaba sevgili öğrencilerim!
Bugün sizlerle birlikte 3. Ünite’deki alıştırmaları çözeceğiz. Bu sorular, çarpanlara ayırma ve özdeşlikler konusundaki bilgimizi pekiştirmek için harika bir fırsat. Hazırsanız, kalemlerinizi ve defterlerinizi hazırlayın, başlayalım! Unutmayın, matematikte anlamadığınız yerleri sormak en doğal hakkınız. Ben de size en anlaşılır şekilde anlatmak için buradayım.
Soru 1: Aşağıdaki ifadelerden özdeşlik olanların başına “Ö”, denklem olanların başına “D” yazınız.
Arkadaşlar, bu soruyu çözmeden önce küçük bir hatırlatma yapalım. Denklem, içindeki bilinmeyenin sadece bazı özel değerleri için doğru olan eşitliklerdir. Mesela x + 2 = 5 denklemi sadece x=3 için doğrudur. Özdeşlik ise içindeki değişkenlere hangi sayıyı verirsek verelim her zaman doğru çıkan eşitliklerdir. Mesela (x+y)² = x² + 2xy + y² gibi. Haydi şimdi bu bilgiyle sorulara bakalım!
- D … 2x – 1 = 13
Bu eşitlik sadece 2x = 14, yani x = 7 değeri için doğrudur. Bu yüzden bir denklemdir.
- Ö … 3 ⋅ (x + 2) = 3x + 6
Sol taraftaki 3’ü parantezin içine dağıttığımızda 3⋅x + 3⋅2 = 3x + 6 buluruz. İki taraf birbirinin aynısı olduğu için bu bir özdeşliktir.
- Ö … x² – y² = (x + y) ⋅ (x – y)
Bu bizim en iyi bildiğimiz özdeşliklerden biri: İki Kare Farkı Özdeşliği! Ezbere bilmemiz gereken bir kuraldır.
- D … 3x – (2 + x) = 10
Sol tarafı düzenleyelim: 3x – 2 – x = 2x – 2. Yani eşitlik 2x – 2 = 10 oldu. Bu da sadece 2x = 12, yani x = 6 için doğrudur. Bu bir denklemdir.
- D … (a + b)² = a² + b²
Bu çok sık yapılan bir hatadır! Doğrusu (a + b)² = a² + 2ab + b² olmalıydı. Bu eşitlik sadece 2ab=0 olduğunda, yani a veya b’den en az biri 0 olduğunda doğrudur. Her zaman doğru olmadığı için denklemdir.
- Ö … (2a – 3) ⋅ (a + 4) = 2a² + 5a – 12
Sol taraftaki çarpma işlemini yapalım: (2a⋅a) + (2a⋅4) + (-3⋅a) + (-3⋅4) = 2a² + 8a – 3a – 12 = 2a² + 5a – 12. Gördüğünüz gibi iki taraf eşit, yani bu bir özdeşliktir.
- Ö … (3m + n)² – 6mn – n² = 9m²
(3m+n)² ifadesini açalım: (3m)² + 2⋅(3m)⋅(n) + n² = 9m² + 6mn + n². Şimdi ifadenin tamamına bakalım: (9m² + 6mn + n²) – 6mn – n². Burada +6mn ile -6mn ve +n² ile -n² birbirini götürür. Geriye sadece 9m² kalır. Yani 9m² = 9m², bu bir özdeşliktir.
- D … 5 ⋅ (-3x) ⋅ x = -15x
Sol tarafı çarptığımızda 5 ⋅ (-3) ⋅ x ⋅ x = -15x² buluruz. -15x² ifadesi -15x ifadesine her zaman eşit değildir. Bu yüzden bir denklemdir.
- Ö … x ⋅ (2y – 4) = 2xy – 4x
x’i parantez içine dağıttığımızda x⋅2y – x⋅4 = 2xy – 4x buluruz. İki taraf da aynı, bu bir özdeşliktir.
- Ö … (4x + 2)² = 4 + 16x + 16x²
Tam kare özdeşliğini kullanalım: (4x)² + 2⋅(4x)⋅(2) + 2² = 16x² + 16x + 4. Sağ taraftaki ifadeyle birebir aynı, sadece terimlerin yeri değişik. Bu bir özdeşliktir.
- D … 5a(2 – b) = 10a
Sol tarafı dağıtalım: 10a – 5ab. Eşitliğimiz 10a – 5ab = 10a oldu. Bu sadece -5ab = 0 olduğunda, yani a veya b’den biri 0 olduğunda doğrudur. Her zaman doğru olmadığı için denklemdir.
- D … 2ab = (a + b)² – a² – b²
Sağ tarafı düzenleyelim. (a+b)²’yi açarsak: (a² + 2ab + b²) – a² – b² olur. a²’ler ve b²’ler birbirini götürür ve geriye sadece 2ab kalır. Aaa, durun bir dakika! 2ab = 2ab çıktı. Bu her zaman doğrudur. O zaman bu bir özdeşliktir (Ö). Sanırım kitaptaki ilk bakışta denklem gibi duran ama aslında özdeşlik olan bir soru bu. Dikkatli olmak lazım!
- D … x² + 2xy = -y²
Bu ifadeyi x² + 2xy + y² = 0 şeklinde yazabiliriz. Bu da (x+y)² = 0 demektir. Sadece x = -y olduğunda doğru olur. Her zaman doğru olmadığı için denklemdir.
- D … 9x² – 6x + 1 = (3x – 1) ⋅ (3x + 1)
Sağ taraf iki kare farkıdır ve sonucu (3x)² – 1² = 9x² – 1 olur. Sol taraf ise (3x-1)’in karesidir. Yani 9x² – 6x + 1 ifadesi 9x² – 1’e eşit değildir. Bu bir denklemdir.
- Ö … (2a – b)² = 4a² – 2ab + b²
Bu da bir tam kare özdeşliğidir. (2a)² – 2⋅(2a)⋅(b) + b² = 4a² – 4ab + b² olmalıydı. Soruda -2ab yazılmış, doğrusu -4ab olmalı. Bu haliyle bu bir denklemdir (D). Kitapta bir yazım hatası olabilir, eğer -4ab olsaydı özdeşlik olurdu. Biz soruda yazana göre cevaplıyoruz.
- Ö … (3x – 2) ⋅ (3x + 2) = 9x² – 4
Bu da iki kare farkı özdeşliğidir. (3x)² – 2² = 9x² – 4. İki taraf da aynı, bu bir özdeşliktir.
- D … (4x + 3) – (6x – 1) = 2x + 2
Parantezleri kaldıralım: 4x + 3 – 6x + 1 = -2x + 4. Yani -2x + 4 = 2x + 2 denklemini çözmemiz gerekir. Her zaman doğru değildir, bu bir denklemdir.
Soru 2: Aşağıdaki boşlukları doldurunuz.
Bu soruda da tam kare ve iki kare farkı özdeşliklerini kullanacağız. Formüllerimizi hatırlayalım:
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a – b)² = a² – 2ab + b²
- a² – b² = (a – b)(a + b)
a) (5x – 3)² = 25x² – 30x + 9
(a-b)² formülünde a=5x, b=3’tür. Ortadaki terim -2ab’dir. Yani -2 ⋅ (5x) ⋅ (3) = -30x olur.
b) 121x² – 144y² = (11x – 12y) ⋅ (11x + 12y)
Bu bir iki kare farkı. (a-b)(a+b) = a²-b²’dir. b=12y olduğuna göre b²=144y² olur. a²=121x² olduğuna göre a=11x olur.
c) (4x + 1)² = 16x² + 8x + 1
(a+b)² formülünde a=4x, b=1’dir. İlk terim a²’dir. Yani (4x)² = 16x² olur.
ç) (6x + 3)² = 36x² + 36x + 9
a²=36x² ise a=6x’tir. Ortadaki terim 2ab’dir. Yani 2⋅(6x)⋅(3) = 36x olur. Son terim b² yani 3²=9’dur.
d) (-x + 4)² = x² – 8x + 16
Bunu (4-x)² olarak da düşünebiliriz. a=4, b=x. a²-2ab+b² = 4² – 2⋅4⋅x + x² = 16 – 8x + x². Boşluğa x² gelir.
e) (6x + 2)² = 36x² + 24x + 4
Son terim 4 ise b²=4, yani b=2’dir. İlk terim (6x)²=36x² olur. Ortadaki terim 2⋅(6x)⋅(2) = 24x olur.
f) (2x + 5) ⋅ (2x – 5) = 4x² + -25
İki kare farkı: (2x)² – 5² = 4x² – 25.
g) 16x² – 64y² = (4x – 8y) ⋅ (4x + 8y)
a=4x ise a²=16x²’dir. b²=64y² ise b=8y’dir.
h) (7 – 2x)² = 49 – 28x + 4x²
a=7, b=2x. a² – 2ab + b² = 7² – 2⋅7⋅(2x) + (2x)² = 49 – 28x + 4x².
i) (-20x + 2)² = 400x² – 80x + 4
Ortadaki terim -80x ve ilk terim -20x ise, -2⋅(-20x)⋅b = -80x olmalı. Buradan 40xb = -80x, yani b=-2 çıkar. Ancak parantez kare olduğu için (-20x+2)² veya (20x-2)² aynı sonucu verir. Biz b=2 alalım. O zaman (-20x)²=400x² ve 2²=4 olur.
j) (-4x + 6)² = 16x² + -48x + 36
a=-4x, b=6. a² + 2ab + b² = (-4x)² + 2⋅(-4x)⋅6 + 6² = 16x² – 48x + 36.
k) (10x – 1) ⋅ (10x – 1) = 100x² – 20x + 1
Bu (10x-1)² demektir. a=10x, b=1. a² – 2ab + b² = (10x)² – 2⋅(10x)⋅1 + 1² = 100x² – 20x + 1.
l) 64x² – 81y² = (8x – 9y) ⋅ (8x + 9y)
İki kare farkı. a=8x, b=9y. a² = (8x)² = 64x². b² = (9y)² = 81y².
Soru 3: Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Şimdi de öğrendiğimiz özdeşlikleri kullanarak problem çözeceğiz. Bu kısım en zevkli yeridir!
a) İki gerçek sayının toplamı 16, farkı 4 ise bu iki sayının karelerinin farkı kaç olabilir?
- Adım 1: Soruda verilenleri matematik diline çevirelim. Sayılarımız x ve y olsun.
x + y = 16 (Sayıların toplamı)
x – y = 4 (Sayıların farkı)
- Adım 2: Bizden istenen “karelerinin farkı”, yani x² – y².
- Adım 3: Hemen aklımıza iki kare farkı özdeşliği geliyor: x² – y² = (x – y) ⋅ (x + y)
- Adım 4: Bildiğimiz değerleri formülde yerine yazalım.
x² – y² = (4) ⋅ (16)
Sonuç: x² – y² = 64
b) Toplamlarının karesi 121 olan iki gerçek sayının karelerinin toplamının 37 olduğu bilindiğine göre bu sayıların çarpımı kaçtır?
- Adım 1: Verilenleri yazalım. Sayılarımız yine x ve y olsun.
(x + y)² = 121 (Toplamlarının karesi)
x² + y² = 37 (Karelerinin toplamı)
- Adım 2: Bizden istenen sayıların çarpımı, yani x ⋅ y.
- Adım 3: İçinde bu üç ifadenin de geçtiği bildiğimiz bir özdeşlik var: (x + y)² = x² + 2xy + y²
- Adım 4: Bu formülü (x + y)² = (x² + y²) + 2xy şeklinde düzenleyip bildiklerimizi yerine koyalım.
121 = 37 + 2xy
- Adım 5: Şimdi denklemi çözelim. 37’yi karşıya atarsak:
121 – 37 = 2xy
84 = 2xy
xy = 84 / 2
Sonuç: xy = 42
c) Karelerinin toplamı 200, çarpımları 2 olan iki gerçek sayının farkının karesi kaçtır?
- Adım 1: Verilenleri yazalım. Sayılarımız x ve y.
x² + y² = 200 (Karelerinin toplamı)
xy = 2 (Çarpımları)
- Adım 2: Bizden istenen “farkının karesi”, yani (x – y)².
- Adım 3: Hemen ilgili özdeşliği hatırlayalım: (x – y)² = x² – 2xy + y²
- Adım 4: Formülü (x – y)² = (x² + y²) – 2xy şeklinde düzenleyip bildiklerimizi yerine yazalım.
(x – y)² = 200 – 2 ⋅ (2)
(x – y)² = 200 – 4
Sonuç: (x – y)² = 196
ç) Toplamlarının karesi 25 olan iki tam sayıdan biri 8 ise diğerinin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
Bu soruya dikkat! Birazcık tuzaklı olabilir.
- Adım 1: Verilenleri yazalım. Sayılarımız x ve y olsun.
(x + y)² = 25
Sayılarımızdan biri 8. Diyelim ki x = 8.
- Adım 2: (x + y)² = 25 ise, bu demektir ki parantezin içindeki (x + y) ifadesi ya 5’tir (çünkü 5²=25) ya da -5’tir (çünkü (-5)²=25). İşte püf nokta burası! İki ihtimal var.
- Adım 3: İki ihtimali de ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 1: x + y = 5 ise ve x = 8 ise;
8 + y = 5 => y = 5 – 8 =>y = -3Durum 2: x + y = -5 ise ve x = 8 ise;
8 + y = -5 => y = -5 – 8 =>y = -13 - Adım 4: Gördüğünüz gibi diğer sayı (y) -3 de olabilir, -13 de olabilir. Soru bizden bu değerlerin çarpımını istiyor.
(-3) ⋅ (-13)
Sonuç: 39
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Unutmayın, pratik yapmak matematiğin en iyi ilacıdır! Hepinize iyi çalışmalar dilerim.