Merhaba sevgili öğrencilerim! Matematik dersimizden yeni sorularla karşınızdayım. Hazırsanız, bu soruları birlikte adım adım çözelim ve konuyu daha iyi anlayalım.
4. Yandaki şekil bir minderin ön yüzü için hazırlanan kare şeklindeki kumaşı göstermektedir. Alanı 9y² cm² olan bu kumaş, kenarlara ikişer cm uzaklıktaki işaretli bölgelerden katlanıp dikilecektir. Bu kumaşın katlandıktan sonraki alanını veren cebirsel ifadeyi bulup çarpanlarına ayırınız.
Bu soruda bize bir minderin ön yüzü için hazırlanan kare şeklindeki bir kumaş verilmiş. Kumaşın alanı 9y² cm² olarak belirtilmiş. Kumaş kenarlardan 2 cm içeri katlanıp dikilecekmiş. Bizden istenen, katlandıktan sonraki alanı veren cebirsel ifadeyi bulup çarpanlarına ayırmamız.
Adım 1: İlk olarak, kare şeklindeki kumaşın bir kenar uzunluğunu bulalım. Karede alan, bir kenarın karesine eşittir. Yani, bir kenar uzunluğunun karesi 9y²’ye eşitmiş. Hangi sayının veya ifadenin karesi 9y² eder diye düşünelim. 3y’nin karesini alırsak (3y) * (3y) = 9y² olur. O halde, kumaşın bir kenar uzunluğu 3y cm‘dir.
Adım 2: Şimdi kumaşın kenarlarından 2 cm içeri katlanıp dikildiğini düşünelim. Bu durumda, kumaşın her kenarından 2 cm kesilmiş gibi düşünebiliriz. Yani, bir kenardan 2 cm, diğer kenardan da 2 cm eksilecek. Bu da toplamda 4 cm eksilme anlamına gelir (2 cm + 2 cm = 4 cm).
Adım 3: Kumaş katlandıktan sonra oluşan yeni şeklin bir kenar uzunluğunu bulalım. Başlangıçtaki kenar uzunluğu 3y cm idi. 4 cm eksildiğine göre, katlanmış kumaşın bir kenar uzunluğu (3y – 4) cm olur.
Adım 4: Katlanmış kumaşın alanını bulmak için, yeni kenar uzunluğunun karesini almalıyız. Alan = (Kenar Uzunluğu)² = (3y – 4)² olacaktır.
Adım 5: Bizden istenen, bu cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırmamız. (3y – 4)² ifadesi zaten çarpanlarına ayrılmış haldedir. Bu ifade, (3y – 4) * (3y – 4) şeklinde yazılabilir. Bu, (3y – 4) cebirsel ifadesinin karesi anlamına gelir.
Sonuç: Kumaşın katlandıktan sonraki alanını veren cebirsel ifade (3y – 4)²‘dir. Çarpanlarına ayrılmış hali ise (3y – 4) * (3y – 4)‘tür.
5. Aşağıda alanları verilen karelerin bir kenar uzunluklarını bulunuz.
Bu soruda bize üç farklı kare verilmiş ve her birinin alanı cebirsel ifade olarak belirtilmiş. Bizden istenen, bu karelerin birer kenar uzunluklarını bulmak. Bir karenin alanını biliyorsak, bir kenar uzunluğunu bulmak için alanın karekökünü alırız.
a) Alan = 36x² – 12x + 1
Bu ifadeye baktığımızda, tam kare bir ifadeye benziyor. Tam kare ifadeler genellikle (a – b)² = a² – 2ab + b² veya (a + b)² = a² + 2ab + b² şeklinde açılımlara sahiptir.
Adım 1: İfadenin ilk terimi 36x². Bu, (6x)²’ye eşittir. Demek ki, ‘a’ yerine 6x gelebilir.
Adım 2: İfadenin son terimi 1. Bu da (1)²’ye eşittir. Demek ki, ‘b’ yerine 1 gelebilir.
Adım 3: Şimdi ortadaki terime bakalım: -12x. Bu, tam kare açılımındaki -2ab terimine karşılık gelmeli. (6x) ve (1)’i kullanarak -2ab’yi elde etmeye çalışalım: -2 * (6x) * (1) = -12x. Evet, tam olarak uyuyor!
Adım 4: O halde, bu ifade (6x – 1)² şeklinde bir tam kare ifadedir. Karenin bir kenar uzunluğu, alanın karekökü olacağından, √(36x² – 12x + 1) = √( (6x – 1)² ) = |6x – 1| olur. Genellikle bu tür sorularda x’in pozitif bir değer aldığını varsayarak mutlak değer işaretini kaldırabiliriz.
Sonuç: Bir kenar uzunluğu 6x – 1‘dir.
b) Alan = 16 – 16a + 4a²
Bu ifadeyi de tam kare olup olmadığını kontrol edelim. İfadeyi standart hale getirelim: 4a² – 16a + 16.
Adım 1: İfadenin ilk terimi 4a². Bu, (2a)²’ye eşittir. O halde, ‘a’ yerine 2a gelebilir.
Adım 2: İfadenin son terimi 16. Bu da (4)²’ye eşittir. O halde, ‘b’ yerine 4 gelebilir.
Adım 3: Ortadaki terim -16a. Tam kare açılımındaki -2ab terimine bakalım: -2 * (2a) * (4) = -16a. Yine tam olarak uyuyor!
Adım 4: O halde, bu ifade (2a – 4)² şeklinde bir tam kare ifadedir. Karenin bir kenar uzunluğu, alanın karekökü olacağından, √(4a² – 16a + 16) = √( (2a – 4)² ) = |2a – 4| olur.
Sonuç: Bir kenar uzunluğu 2a – 4‘tür.
c) Alan = 49k² – 54k + 9
Bu ifadeye baktığımızda, ilk terim 49k² = (7k)² ve son terim 9 = 3² şeklinde. Ancak ortadaki terim -54k, 2 * (7k) * 3 = 42k’ya yakın olsa da tam olarak uymuyor. Bu durumda, bu ifade bir tam kare ifade olmayabilir. Ancak soruda “karelerin bir kenar uzunluklarını bulunuz” dendiği için, bu ifadenin de bir tam kare olması beklenir. Bir yerde bir hata var mı diye kontrol edelim. Eğer alan 54k yerine 42k olsaydı, (7k – 3)² olurdu. Ya da başka bir durum söz konusu olabilir. Sorudaki sayılarla tekrar kontrol edelim.
Adım 1: İlk terim 49k². Bu, (7k)²’ye eşittir. Demek ki, ilk terim için 7k alabiliriz.
Adım 2: Son terim 9. Bu, (3)²’ye eşittir. Demek ki, son terim için 3 alabiliriz.
Adım 3: Ortadaki terim -54k. Eğer bu bir tam kare ise, -2ab şeklinde olmalı. 2 * (7k) * 3 = 42k. Eğer ifade (7k – 3)² olsaydı, 49k² – 42k + 9 olurdu. Eğer ifade (7k + 3)² olsaydı, 49k² + 42k + 9 olurdu. Eğer ifade (3 – 7k)² olsaydı, 9 – 42k + 49k² olurdu.
Şimdi sorudaki ifadeyi tekrar inceleyelim: 49k² – 54k + 9. Bu ifade, bildiğimiz tam kare açılımlarına tam olarak uymuyor. Acaba soruda bir yazım hatası mı var diye düşünmek gerekir. Ancak verilen ifadeyle devam etmek zorundayız. Eğer bu bir tam kare ise, ilk ve son terimlerin kareköklerini alıp ortadaki terimin işaretine göre bir ifade oluşturmalıyız.
Adım 4: Eğer ifadeyi (7k – 3)² olarak düşünürsek, ortadaki terim -42k olur. Eğer ifadeyi (3 – 7k)² olarak düşünürsek, ortadaki terim -42k olur. İfade (7k + 3)² veya (3 + 7k)² olsaydı, ortadaki terim +42k olurdu.
Soruda verilen -54k terimi, tam kare formülüyle uyuşmuyor. Bu durumda, bu ifadenin çarpanlarına ayrılmış hali (7k – 3)² veya (3 – 7k)² şeklinde bir tam kare değildir. Ancak, eğer sorunun amacı tam kareleri bulmaksa ve buradaki ifadeyi de bir tam kare olarak ele almamız isteniyorsa, ilk ve son terimlerden yola çıkarak en yakın tam kareyi düşünebiliriz. Ancak bu matematiksel olarak doğru bir yaklaşım olmaz.
Önemli Not: Bu tür sorularda, verilen ifadenin gerçekten bir tam kare olup olmadığını kontrol etmek çok önemlidir. Eğer tam kare değilse, o zaman bu soruyu bu şekilde çözemeyiz. Ancak, eğer soruyu hazırlayan kişi bu ifadenin bir tam kare olduğunu varsaymışsa ve bizden sadece o tam kareyi bulmamızı istiyorsa, bu bir hata olur.
Şu an için soruda verilen ifadeyle devam etmek zor olduğu için, eğer bir yazım hatası varsa ve ortadaki terim -42k olsaydı, çözüm şöyle olurdu:
Varsayımsal Adım 4: O halde, bu ifade (7k – 3)² şeklinde bir tam kare ifadedir. Karenin bir kenar uzunluğu, alanın karekökü olacağından, √(49k² – 42k + 9) = √( (7k – 3)² ) = |7k – 3| olur.
Varsayımsal Sonuç: Bir kenar uzunluğu 7k – 3‘tür.
Ancak tekrar belirtmek isterim ki, sorudaki -54k terimi, bu ifadenin bir tam kare olmadığını göstermektedir. Eğer soruyu olduğu gibi ele alırsak, bu ifadenin bir kenar uzunluğunu tam kare formülüyle bulamayız. Bu durumda, sorunun kendisinde bir problem olabilir.
6. Aralarında (4x² + 12xy) metre mesafe olan iki tır saniyede 9y metre birbirinden uzaklaşmaktadır. Bu iki tırın y saniye sonra aralarındaki mesafeyi veren cebirsel ifadeyi yazarak bu ifadeyi çarpanlarına ayırınız.
Bu soruda, iki tırın başlangıçtaki mesafesi ve saniyede ne kadar uzaklaştıkları verilmiş. Bizden istenen, y saniye sonra aralarındaki mesafeyi veren cebirsel ifadeyi bulmak ve sonra bu ifadeyi çarpanlarına ayırmak.
Adım 1: Tırların başlangıçtaki mesafesi (4x² + 12xy) metre.
Adım 2: Tırlar saniyede 9y metre uzaklaşıyorlar.
Adım 3: y saniye sonra tırların ne kadar daha uzaklaşacağını bulalım. Her saniye 9y metre uzaklaşıyorlarsa, y saniye sonra 9y * y = 9y² metre daha uzaklaşırlar.
Adım 4: y saniye sonra aralarındaki toplam mesafeyi bulmak için, başlangıçtaki mesafeye, y saniyede uzaklaştıkları mesafeyi eklemeliyiz.
Toplam Mesafe = Başlangıç Mesafesi + (Saniyede Uzaklaşma Miktarı * Süre)
Toplam Mesafe = (4x² + 12xy) + 9y²
Adım 5: Şimdi bu cebirsel ifadeyi çarpanlarına ayırmamız gerekiyor. İfadeyi düzenleyelim: 4x² + 12xy + 9y².
Bu ifadeye baktığımızda, yine bir tam kare ifadeye benziyor. Tam kare ifadeler (a + b)² = a² + 2ab + b² şeklinde açılımlara sahiptir.
Adım 6: İfadenin ilk terimi 4x². Bu, (2x)²’ye eşittir. Demek ki, ‘a’ yerine 2x gelebilir.
Adım 7: İfadenin son terimi 9y². Bu da (3y)²’ye eşittir. Demek ki, ‘b’ yerine 3y gelebilir.
Adım 8: Şimdi ortadaki terime bakalım: +12xy. Bu, tam kare açılımındaki +2ab terimine karşılık gelmeli. (2x) ve (3y)’yi kullanarak +2ab’yi elde etmeye çalışalım: 2 * (2x) * (3y) = 12xy. Evet, tam olarak uyuyor!
Adım 9: O halde, bu ifade (2x + 3y)² şeklinde bir tam kare ifadedir.
Sonuç: y saniye sonra aralarındaki mesafeyi veren cebirsel ifade 4x² + 12xy + 9y²‘dir. Bu ifadenin çarpanlarına ayrılmış hali ise (2x + 3y)²‘dir.
7. Bir yüzü kırmızı, bir yüzü mavi renkte olan aşağıdaki kâğıdın kenar uzunlukları 16y ve 9y’dir. Dikdörtgen şeklindeki bu kâğıt, işaretli noktalardan arkadan öne doğru katlandığında oluşan kırmızı bölgenin alanını veren cebirsel ifadenin çarpanlarına ayrılmış hâlini yazınız.
Bu soruda bize bir dikdörtgen şeklinde kâğıt verilmiş. Kâğıdın kenar uzunlukları 16y ve 9y. Kırmızı ve mavi yüzleri var. İşaretli noktalardan katlama yapılacak ve bizden kırmızı bölgenin alanını veren cebirsel ifadenin çarpanlarına ayrılmış halini bulmamız isteniyor.
Adım 1: Kırmızı bölgenin alanını bulabilmek için, öncelikle dikdörtgenin tamamının alanını bulmalıyız.
Dikdörtgen Alanı = Uzun Kenar * Kısa Kenar
Dikdörtgen Alanı = 16y * 9y
Dikdörtgen Alanı = 144y²
Adım 2: Katlama şekline baktığımızda, kâğıdın üst kısmındaki mavi bölgenin, kırmızı bölgenin üzerine katlandığını görüyoruz. Dikkatli bakarsak, katlanan mavi bölgenin bir yamuk olduğunu ve bu yamuğun alanının da hesaplanması gerektiğini düşünebiliriz. Ancak soruda doğrudan kırmızı bölgenin alanını veren ifade soruluyor.
Adım 3: Kırmızı bölgenin boyutlarına bakalım. Kırmızı bölgenin alt kenarı 16y’dir. Üst kenarı ise, katlanan kısımlar nedeniyle daha kısadır. Üst kenarın uzunluğu, 16y – 4x – 4x = 16y – 8x olarak görünmektedir. Kırmızı bölgenin yüksekliği ise 9y’dir.
Bu durumda, kırmızı bölge bir yamuktur. Yamuğun alanı şu formülle bulunur:
Yamuk Alanı = (Alt Taban + Üst Taban) * Yükseklik / 2
Yamuğun Alt Tabanı = 16y
Yamuğun Üst Tabanı = 16y – 8x
Yamuğun Yüksekliği = 9y
Adım 4: Şimdi bu değerleri yamuk alanı formülünde yerine koyalım:
Kırmızı Bölge Alanı = (16y + (16y – 8x)) * 9y / 2
Adım 5: Parantez içini toplayalım:
(16y + 16y – 8x) = 32y – 8x
Adım 6: Şimdi formülde yerine koymaya devam edelim:
Kırmızı Bölge Alanı = (32y – 8x) * 9y / 2
Adım 7: (32y – 8x) ifadesinden ortak çarpan olan 8’i dışarı alabiliriz: 8(4y – x).
Kırmızı Bölge Alanı = 8(4y – x) * 9y / 2
Adım 8: Sadeleştirme yapalım. 8’i 2’ye bölersek 4 kalır.
Kırmızı Bölge Alanı = 4 * (4y – x) * 9y
Adım 9: Çarpma işlemlerini yapalım:
Kırmızı Bölge Alanı = (16y – 4x) * 9y
Şimdi bu ifadeyi çarpanlarına ayırmamız gerekiyor. Zaten şu an çarpanlarına ayrılmış halde. İfade: 4 * (4y – x) * 9y. Hepsini bir çarpan haline getirelim.
Adım 10: Çarpanları birleştirelim:
Kırmızı Bölge Alanı = 4 * 9y * (4y – x)
Kırmızı Bölge Alanı = 36y * (4y – x)
Bu ifade zaten çarpanlarına ayrılmış haldedir.
Sonuç: Kırmızı bölgenin alanını veren cebirsel ifadenin çarpanlarına ayrılmış hali 36y(4y – x)‘dir.
Umarım bu çözümler anlaşılır olmuştur sevgili öğrencilerim. Anlamadığınız yerleri lütfen tekrar sormaktan çekinmeyin. Başarılar dilerim!