Harika bir soru! Merhaba sevgili öğrencim, ben senin 8. Sınıf Matematik öğretmeninim. Gel, şimdi bu “Sıra Sizde” sorusunu birlikte, adım adım ve anlayarak çözelim. Bu konu, yani özdeşlikler, matematiğin en keyifli ve en önemli konularından biridir. Görseldeki modelleme yöntemi de konuyu somutlaştırmak için harika bir yoldur.
Sıra Sizde 1: (2y + 1) · (2y + 1) özdeşliğini cebir karoları ile modelleyiniz.
Bu soruyu çözmek için, tıpkı yukarıdaki örnekte olduğu gibi, kenar uzunlukları (2y + 1) olan büyük bir kare hayal edeceğiz. Bu karenin alanını hesapladığımızda, aslında ifadenin açılımını bulmuş olacağız. Unutma, (2y + 1) · (2y + 1) demek, (2y + 1)² demektir.
Hadi başlayalım!
- Adım 1: Büyük Kareyi Oluşturalım
Öncelikle kenar uzunluğu (2y + 1) olan bir kare çizdiğimizi düşünelim. Bu kenarı daha basit parçalara ayırabiliriz. (2y + 1) uzunluğunu, y, y ve 1 birimlik üç parçanın toplamı olarak düşünebiliriz. Yani karenin hem yatay hem de dikey kenarını bu üç parçaya ayıralım.
Hayali karenin üst kenarı: y, y, 1 parçalarından oluşsun.
Hayali karenin sol kenarı: y, y, 1 parçalarından oluşsun.Böylece elimizde 3×3’lük bir tablo gibi bir şekil oluşacak. Şimdi bu şeklin içindeki küçük parçaların alanlarını tek tek bulacağız.
- Adım 2: İç Parçaların Alanlarını Hesaplayalım
Şimdi tablomuzun içindeki her bir küçük karenin veya dikdörtgenin alanını, kenar uzunluklarını çarparak bulalım. Tıpkı bir bulmaca gibi!
- Sol üst köşedeki 4 tane büyük kare: Bunların her birinin kenarları y‘ye y‘dir. Alanları ne olur? Tabii ki y · y = y². Elimizde tam 4 tane y²‘lik karo oldu.
- Sağdaki iki dikey dikdörtgen: Bunların kenarları y‘ye 1‘dir. Alanları y · 1 = y olur. Elimizde 2 tane y‘lik karo burada var.
- Alttaki iki yatay dikdörtgen: Bunların da kenarları 1‘e y‘dir. Alanları 1 · y = y olur. Elimizde 2 tane y‘lik karo da burada var.
- Sağ alt köşedeki minik kare: Bunun kenarları 1‘e 1‘dir. Alanı ise 1 · 1 = 1 olur. Elimizde 1 tane 1‘lik karo oldu.
- Adım 3: Tüm Parçaları Toplayalım
Şimdi modelimizde oluşan tüm bu küçük alanları (cebir karolarını) bir araya getirelim. Bu, büyük karenin toplam alanını, yani aradığımız özdeşliğin sonucunu verecektir.
Nelerimiz vardı? Sayalım:
- Dört tane y² karosu: y² + y² + y² + y² = 4y²
- Dört tane y karosu: y + y + y + y = 4y
- Bir tane 1 karosu:1
Şimdi hepsini birleştirelim: 4y² + 4y + 1
Sonuç
Cebir karoları ile yaptığımız bu modelleme sonucunda gördük ki, kenar uzunluğu (2y + 1) olan bir karenin alanı, içindeki parçaların alanları toplamına eşittir.
Yani, (2y + 1) · (2y + 1) = (2y + 1)² = 4y² + 4y + 1‘dir.
Bu aynı zamanda “İki Terimin Toplamının Karesi” özdeşliğinin bir uygulamasıdır. Hatırlayalım kuralı: (a + b)² = a² + 2ab + b². Bizim sorumuzda a=2y ve b=1 idi.
Birincinin karesi: (2y)² = 4y²
Birinci ile ikincinin çarpımının iki katı: 2 · (2y) · 1 = 4y
İkincinin karesi: 1² = 1
Gördüğün gibi hem modelleme ile hem de formülle aynı sonuca ulaştık. Harikasın!