Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencim, ben senin 8. Sınıf Matematik öğretmeninim. Gönderdiğin bu güzel soruları birlikte, adım adım ve anlayacağın bir dille çözeceğiz. Unutma, matematikte her sorunun bir mantığı vardır ve biz bu mantığı yakaladığımızda her şey çok daha kolay olur. Haydi başlayalım!
6. Soru: Tuba Hanım, elindeki 35 metrelik ipin √250 metresini kullanmıştır. Geriye kalan ipin uzunluğunun metre cinsinden değerinin hangi doğal sayıya daha yakın olduğunu bulunuz.
Çözüm:
Adım 1: Öncelikle Tuba Hanım’ın ne kadar ip kullandığını tam olarak anlamamız gerekiyor. Soru bize √250 metre ip kullandığını söylüyor. √250 tam bir sayı değil, bu yüzden önce bu sayının hangi iki tam sayı arasında olduğunu ve hangisine daha yakın olduğunu bulalım.
- Bildiğimiz tam kare sayıları düşünelim: 15’in karesi 15 x 15 = 225‘tir. 16’nın karesi ise 16 x 16 = 256‘dır.
- Gördüğün gibi, 250 sayısı, 225 ile 256 arasındadır. Yani √250 sayısı da √225 ile √256 arasında, yani 15 ile 16 arasındadır.
- Peki hangisine daha yakın? Bunu bulmak için 250’nin 225’e ve 256’ya olan uzaklıklarına bakalım:
- 250 – 225 = 25
- 256 – 250 = 6
- 250 sayısı 256’ya çok daha yakın olduğu için, √250 sayısı da 16’ya daha yakındır. Yaklaşık olarak 15,8 gibi bir değer düşünebiliriz.
Adım 2: Şimdi geriye kalan ip miktarını bulalım. Toplam ip 35 metreydi ve yaklaşık 16 metresi kullanıldı.
- Kalan ip = Toplam ip – Kullanılan ip
- Kalan ip = 35 – √250
- √250 yerine 16’ya yakın bir değer olduğunu bulmuştuk. İşlemimizi bu yakın değerle yapalım: 35 – 15,8 = 19,2 metre.
Adım 3: Son olarak, bulduğumuz 19,2 metre sonucunun hangi doğal sayıya daha yakın olduğunu bulalım.
- 19,2 sayısı, 19 ile 20 arasındadır ve 19’a çok daha yakındır.
Sonuç:
Geriye kalan ipin uzunluğu 19 metreye daha yakındır.
7. Soru: Akif’in mekanik kaleminin ucunun boyu √91 santimetredir. Bir saatte ortalama 1,5 santimetre uç kullanan Akif’in 3 saat sonra kaleminde kalan ucun boyunun santimetre cinsinden hangi doğal sayıya daha yakın olduğunu bulunuz.
Çözüm:
Adım 1: İlk olarak Akif’in 3 saatte toplam ne kadar uç kullandığını hesaplayalım.
- Akif saatte 1,5 cm uç kullanıyorsa, 3 saatte: 3 x 1,5 = 4,5 cm uç kullanır.
Adım 2: Şimdi kalemin başlangıçtaki ucunun boyunu tahmin edelim. Boyu √91 cm imiş.
- √91 sayısının hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulalım. 9’un karesi 9 x 9 = 81‘dir. 10’un karesi ise 10 x 10 = 100‘dür.
- Demek ki √91 sayısı, 9 ile 10 arasındadır.
- Hangisine daha yakın olduğuna bakalım:
- 91 – 81 = 10
- 100 – 91 = 9
- 91 sayısı 100’e daha yakın olduğu için, √91 sayısı da 10’a daha yakındır. Yaklaşık 9,5 gibi düşünebiliriz.
Adım 3: Kalan uç miktarını bulalım.
- Kalan Uç = Başlangıçtaki Uç – Kullanılan Uç
- Kalan Uç = √91 – 4,5
- √91 yerine yaklaşık değerini (9,5) yazarak işlem yapalım: 9,5 – 4,5 = 5 cm.
Sonuç:
Kaleminde kalan ucun boyu 5 santimetreye daha yakındır.
8. Soru: Zehra’nın silgisinin boyu 5 ile 6 santimetre arasında olup 6 santimetreye daha yakındır. Buna göre Zehra’nın silgisinin boyunun santimetre cinsinden hangi doğal sayıların karekökü olarak ifade edilebileceğini bulunuz.
Çözüm:
Adım 1: Soruyu kareköklü sayılar diline çevirelim.
- Silginin boyu 5 cm ile 6 cm arasında ise, bu sayıyı karekök olarak ifade ettiğimizde √25 ile √36 arasında olmalıdır. (Çünkü 5 = √25 ve 6 = √36)
Adım 2: “6 santimetreye daha yakın” ifadesinin ne anlama geldiğini düşünelim.
- Bir sayının 5’e mi yoksa 6’ya mı daha yakın olduğunu bulmak için bu iki sayının tam ortasındaki değeri buluruz. Bu değer 5,5’tir.
- Eğer silginin boyu 5,5 cm’den büyükse 6’ya, küçükse 5’e daha yakındır.
- Şimdi bu mantığı kareköklü sayılara uygulayalım. √25 ile √36’nın tam ortasındaki sayıyı bulalım. Bunun için kök içindeki sayıların ortalamasını alırız: (25 + 36) / 2 = 61 / 2 = 30,5.
- Demek ki, karekök içindeki sayı 30,5’ten büyükse, bu sayı √36’ya (yani 6’ya) daha yakındır.
Adım 3: Bu şartı sağlayan doğal sayıları bulalım.
- Silginin boyu √x olsun. x, 25 ile 36 arasında olmalı ve 30,5’ten büyük olmalı.
- Bu şartları sağlayan doğal sayılar: 31, 32, 33, 34, 35’tir.
Sonuç:
Zehra’nın silgisinin boyu √31, √32, √33, √34 veya √35 santimetre olabilir.
9. Soru: Dairenin alanı π . r² formülü ile bulunur. Yukarıda verilen merkezleri aynı doğru üzerinde olan üç dairenin alanı küçükten büyüğe doğru sırasıyla 75 cm², 108 cm² ve 144 cm² dir. Buna göre A noktası ile C noktası arasındaki mesafenin cm cinsinden hangi doğal sayıya daha yakın olduğunu bulunuz. (π = 3 alınız.)
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için önce her bir dairenin yarıçapını (r) bulmalıyız. A ile C noktaları arasındaki mesafe, A’nın yarıçapı, B’nin çapı (yani 2 yarıçapı) ve C’nin yarıçapının toplamıdır.
Unutma: Mesafe (A’dan C’ye) = rA + 2rB + rC
Adım 1: Her dairenin yarıçapını tek tek bulalım. Alan = 3 . r² formülünü kullanacağız.
- A Dairesi: Alanı 75 cm².
75 = 3 . rA²
rA² = 75 / 3 = 25
rA = √25 = 5 cm
- B Dairesi: Alanı 108 cm².
108 = 3 . rB²
rB² = 108 / 3 = 36
rB = √36 = 6 cm
- C Dairesi: Alanı 144 cm².
144 = 3 . rC²
rC² = 144 / 3 = 48
rC = √48 cm
Adım 2: A ve C noktaları arasındaki toplam mesafeyi hesaplayalım.
- Mesafe = A’nın yarıçapı + B’nin çapı + C’nin yarıçapı
- Mesafe = rA + (2 * rB) + rC
- Mesafe = 5 + (2 * 6) + √48
- Mesafe = 5 + 12 + √48 = 17 + √48 cm
Adım 3: √48’in yaklaşık değerini bulup toplama işlemini tamamlayalım.
- √48 hangi tam sayılar arasında? 6’nın karesi 36, 7’nin karesi 49’dur.
- Demek ki √48, 6 ile 7 arasındadır.
- 48 sayısı 49’a çok çok yakın olduğu için, √48 de 7’ye çok yakındır. Yaklaşık 6,9 gibi düşünebiliriz.
- Şimdi toplam mesafeyi bulalım: 17 + 6,9 = 23,9 cm.
Adım 4: 23,9 cm’nin hangi doğal sayıya daha yakın olduğunu bulalım.
- 23,9 sayısı, 23 ile 24 arasındadır ve açıkça 24’e daha yakındır.
Sonuç:
A ile C noktaları arasındaki mesafe 24 cm’ye daha yakındır.
10. Soru: 1bc üç basamaklı ve 1c iki basamaklı doğal sayıdır. √1bc + √1c işleminin sonucu tam sayıdır. Buna göre √b + c ifadesinin değerinin hangi tam sayıya daha yakın olduğunu bulunuz.
Çözüm:
Adım 1: Sorunun kilit noktasını anlayalım. İki kareköklü ifadenin toplamının bir tam sayı olabilmesi için genellikle bu iki ifadenin de kök dışına tam olarak çıkabilmesi, yani tam kare sayılar olması gerekir.
Adım 2: Şartlara uyan tam kare sayıları bulalım.
- √1c: Bu sayı 10 ile 19 arasında bir tam kare sayı olmalı. Bu aralıktaki tek tam kare sayı 16‘dır. (4² = 16).
- Bu durumda c = 6 olduğunu kesin olarak bulduk!
- √1bc: Bu sayı 100 ile 199 arasında bir tam kare sayı olmalı ve son rakamı (yani c) 6 olmalı.
- 10² = 100
- 11² = 121
- 12² = 144
- 13² = 169
- 14² = 196<– İşte aradığımız sayı bu! Sonu 6 ile bitiyor.
- Demek ki 1bc sayısı 196‘dır. Bu durumda b = 9 ve c = 6 olur.
Adım 3: Bulduğumuz b ve c değerleri için bizden istenen ifadeyi hesaplayalım.
- İstenen ifade: √b + c
- Değerleri yerine yazalım: √9 + 6
Dikkat et, burada kök sadece b’nin üzerinde değil, b+c toplamının üzerinde. Soruyu tekrar okuyalım. Evet, ifade √(b+c) şeklinde yazılmış.Öğretmen olarak kendime not: Görseli tekrar kontrol ettim. İfade √b+c değil, √(b+c) şeklinde. Öğrencinin kafasını karıştırmayayım. Sevgili öğrencim, görseldeki ifadeye dikkatlice bakalım: √b + c değil, √b + c. Yani kök işareti sadece b ve c’nin toplamını kapsıyor. Bu çok önemli bir ayrıntı!- Doğru ifade: √(b + c)
- Şimdi değerleri yerine koyalım: √(9 + 6) = √15
Adım 4: √15’in hangi tam sayıya daha yakın olduğunu bulalım.
- 3’ün karesi 9, 4’ün karesi 16’dır.
- √15 sayısı, √9 ile √16 arasında, yani 3 ile 4 arasındadır.
- 15 sayısı 16’ya mı daha yakın, 9’a mı?
- 16 – 15 = 1
- 15 – 9 = 6
- 15, 16’ya çok daha yakın olduğu için √15 de 4’e daha yakındır.
Sonuç:
√b + c ifadesinin değeri 4‘e daha yakındır.