Harika bir alıştırma sayfası! Merhaba sevgili öğrenciler, ben 8. sınıf matematik öğretmeniniz. Gelin bu koni sorularını birlikte, adım adım ve anlayarak çözelim. Unutmayın, geometri aslında şekillerle konuşma sanatıdır. Hazırsanız başlayalım!
Soru 1: Aşağıdaki dik konilerin ana doğru uzunluklarını bulunuz.
Çözüm:
Arkadaşlar, bir dik koninin içinde her zaman gizli bir dik üçgen bulunur. Bu üçgenin dik kenarları koninin yüksekliği (h) ve taban yarıçapı (r), hipotenüsü ise bizden istenen ana doğru (a) uzunluğudur. Bu gizli üçgeni fark ettiğimizde, hemen aklımıza en yakın arkadaşımız Pisagor Teoremi gelmeli: r² + h² = a²
a)
Bu konide bize yükseklik 4 cm, yarıçap ise 3 cm olarak verilmiş.
Adım 1: Verilenleri Pisagor teoremindeki yerlerine yazalım.
r = 3 cm
h = 4 cm
3² + 4² = a²Adım 2: Karelerini alıp toplayalım.
9 + 16 = a²
25 = a²Adım 3: Şimdi “Hangi sayının karesi 25’tir?” diye soruyoruz. Tabii ki 5! Bu size meşhur 3-4-5 özel dik üçgenini hatırlattı, değil mi? İşte bu kadar!
Sonuç: Ana doğru uzunluğu (a) 5 cm‘dir.
b)
Bu konide ise yükseklik 15 cm, yarıçap 8 cm olarak verilmiş.
Adım 1: Yine Pisagor teoremini kullanıyoruz.
r = 8 cm
h = 15 cm
8² + 15² = a²Adım 2: Sayıların karelerini alalım ve toplayalım.
64 + 225 = a²
289 = a²Adım 3: “Hangi sayının karesi 289’dur?” diye düşündüğümüzde cevabı 17 olarak buluruz. Bu da bir başka özel üçgenimiz olan 8-15-17 üçgenidir. Bu özel üçgenleri bilmek size sınavlarda çok zaman kazandırır!
Sonuç: Ana doğru uzunluğu (a) 17 cm‘dir.
Soru 2: Yandaki dik dairesel koni açınımında taban yarıçapının uzunluğunun kaç santimetre olduğunu bulunuz. (π’yi 3 alınız.)
Çözüm:
Sevgili arkadaşlar, bir koniyi açtığımızda bir daire dilimi (yanal yüzey) ve bir daire (taban) elde ederiz. Buradaki en önemli kural şudur: Daire diliminin yay uzunluğu, tabandaki dairenin çevresine eşittir. Çünkü koniyi kapatırken bu kenarlar birbirine yapışır.
Bu tür soruları çözmek için çok pratik bir formülümüz var:
(Taban Yarıçapı / Ana Doğru) = (Merkez Açı / 360°) yani kısaca r / a = α / 360°
Adım 1: Şekildeki bilgileri formül için hazırlayalım.
- Açınımın yanal yüzeyi bir yarım daire. Çapı 22 cm olarak verilmiş. Bu büyük dairenin yarıçapı, bizim konimizin ana doğrusu (a) olur. Dolayısıyla a = 22 / 2 = 11 cm‘dir.
- Yarım dairenin merkez açısı (α) 180°‘dir.
- Bizden istenen ise taban yarıçapı, yani r.
Adım 2: Şimdi bu bilgileri sihirli formülümüze yerleştirelim.
r / 11 = 180° / 360°
Adım 3: İşlemi sadeleştirelim. 180/360, tam olarak 1/2’ye eşittir.
r / 11 = 1 / 2
Adım 4: İçler dışlar çarpımı yaparak r’yi kolayca bulabiliriz.
2 * r = 11 * 1
2r = 11
r = 11 / 2 = 5,5
Not: Bu soruda π=3 almamız istenmiş ama kullandığımız formül sayesinde π’yi kullanmamıza bile gerek kalmadı!
Sonuç: Taban yarıçapı (r) 5,5 cm‘dir.
Soru 3: Taban yarıçapı 3 cm olan yandaki dik dairesel koni açınımında ana doğrunun uzunluğunun kaç santimetre olduğunu bulunuz. (π’yi 3 alınız.)
Çözüm:
Bu soru da bir önceki sorunun çok benzeri. Yine aynı formülü kullanacağız, sadece bu sefer bize farklı bilgiler verilmiş ve farklı bir şey isteniyor.
Yine formülümüzü hatırlayalım: r / a = α / 360°
Adım 1: Şekilden ve sorudan bilgileri toplayalım.
- Taban yarıçapı (r) = 3 cm olarak verilmiş.
- Yanal yüzeyi oluşturan daire diliminin tepe açısında bir dik açı işareti (küçük bir kare) var. Bu, merkez açının (α) 90° olduğu anlamına gelir.
- Bu sefer bizden istenen ana doğru (a).
Adım 2: Bildiklerimizi formülde yerlerine koyalım.
3 / a = 90° / 360°
Adım 3: Önce kesri sadeleştirelim. 90/360, 1/4’e eşittir.
3 / a = 1 / 4
Adım 4: İçler dışlar çarpımı ile sonuca ulaşalım.
a * 1 = 3 * 4
a = 12
Sonuç: Ana doğru uzunluğu (a) 12 cm‘dir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Gördüğünüz gibi doğru formülü ve mantığı bildiğimizde sorular ne kadar da kolaylaşıyor. Harika iş çıkardınız, bir sonraki alıştırmada görüşmek üzere!