Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle olasılık konusundaki bu güzel soruları birlikte çözeceğiz. Unutmayın, olasılık aslında ne kadar ihtimal olduğunu sayılarla ifade etme sanatıdır. Hadi, hiç vakit kaybetmeden sorulara geçelim ve adım adım her birini anlayarak çözelim!
4. Soru: Aşağıdaki boşlukları “daha az”, “daha fazla” ve “eşit” kelimelerinden uygun olanlarla doldurunuz.
a) 2 sarı, 5 mavi ve 3 yeşil bilyenin bulunduğu torbadan rastgele çekilen bilyenin mavi olması sarı olmasına göre …………………….olasılıklıdır.
Çözüm:
Arkadaşlar, bu soruda bir torbadaki bilyeleri düşünüyoruz. Olasılık, istediğimiz durumun sayısının toplam duruma bölünmesiydi. Ama burada sadece karşılaştırma yapmamız isteniyor. Bir şeyin sayısı ne kadar çoksa, onu çekme ihtimalimiz de o kadar yüksektir.
Adım 1: Torbadaki bilye sayılarına bakalım.
- Sarı Bilye Sayısı: 2
- Mavi Bilye Sayısı: 5
- Yeşil Bilye Sayısı: 3
Adım 2: Mavi ve sarı bilye sayılarını karşılaştıralım.
Mavi bilye sayısı (5), sarı bilye sayısından (2) daha çoktur. Bu yüzden torbadan rastgele bir bilye çektiğimizde mavi gelme ihtimali, sarı gelme ihtimalinden daha fazladır.
Sonuç:daha fazla
b) Bir haftanın günlerininin kartlara yazılıp atıldığı torbadan rastgele çekilen bir kartta pazartesi yazması cuma yazmasına göre …………………….olasılıklıdır.
Çözüm:
Şimdi de haftanın günlerini düşünüyoruz. Bir haftada kaç gün var ve her günden kaç tane var? Bu sorunun cevabı bizi doğru sonuca götürecek.
Adım 1: Bir haftadaki günleri ve sayılarını düşünelim.
Bir haftada 7 gün vardır ve her günden (Pazartesi, Salı, …, Pazar) sadece bir tane bulunur.
Adım 2: Pazartesi ve Cuma günlerinin sayılarını karşılaştıralım.
Torbanın içinde 1 tane “Pazartesi” yazan kart ve 1 tane de “Cuma” yazan kart vardır. Sayıları aynı olduğu için bu iki günü çekme şansımız da birbirine eşittir.
Sonuç:eşit
5. Soru: Aşağıdaki tabloda bir sınıftaki öğrencilerden müzik ve voleybol kursuna gidenlerin cinsiyete göre dağılımları verilmiştir. Her öğrenci yalnız bir kursa gittiğine göre aşağıdaki boşlukları “daha az”, “daha fazla” ve “eşit” kelimelerinden uygun olanlarla doldurunuz.
a) Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin müzik kursuna giden kız öğrenci olması, voleybol kursuna giden erkek öğrenci olması olasılığına göre ……………………. olasılıklıdır.
Çözüm:
Bu sorularda tabloyu doğru okumak çok önemli. Önce tüm sınıftaki toplam öğrenci sayısını bularak işe başlayalım. Bu bizim “tüm durumlarımız” olacak.
Adım 1: Toplam öğrenci sayısını bulalım.
Müzik kursuna gidenler: 3 kız + 5 erkek = 8 öğrenci
Voleybol kursuna gidenler: 12 kız + 10 erkek = 22 öğrenci
Toplam öğrenci: 8 + 22 = 30 kişi.
Adım 2: Soruda istenen grupların sayılarını bulalım.
Müzik kursuna giden kız öğrenci sayısı: 3
Voleybol kursuna giden erkek öğrenci sayısı: 10
Adım 3: Bu sayıları karşılaştıralım.
3 sayısı 10 sayısından küçük olduğu için, müzik kursuna giden bir kızı seçme olasılığımız, voleybol kursuna giden bir erkeği seçme olasılığımızdan daha azdır.
Sonuç:daha az
b) Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız öğrenci olması, erkek öğrenci olması olasılığına göre ……………………. olasılıklıdır.
Çözüm:
Şimdi de sınıftaki toplam kız ve toplam erkek sayılarını karşılaştırmamız gerekiyor.
Adım 1: Sınıftaki toplam kız ve erkek sayılarını bulalım.
Toplam Kız Öğrenci Sayısı: 3 (müzik) + 12 (voleybol) = 15
Toplam Erkek Öğrenci Sayısı: 5 (müzik) + 10 (voleybol) = 15
Adım 2: Sayıları karşılaştıralım.
Toplam kız öğrenci sayısı ile toplam erkek öğrenci sayısı birbirine eşit (15 = 15). Bu yüzden rastgele seçilen bir öğrencinin kız ya da erkek olma olasılıkları eşittir.
Sonuç:eşit
c) Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin voleybol kursuna giden bir öğrenci olması, müzik kursuna giden bir öğrenci olması olasılığına göre ……………………. olasılıklıdır.
Çözüm:
Bu sefer de kurslara giden toplam öğrenci sayılarını karşılaştıracağız.
Adım 1: Her kursa giden toplam öğrenci sayısını bulalım.
Voleybol kursuna giden toplam öğrenci sayısı: 12 kız + 10 erkek = 22
Müzik kursuna giden toplam öğrenci sayısı: 3 kız + 5 erkek = 8
Adım 2: Sayıları karşılaştıralım.
Voleybola gidenlerin sayısı (22), müziğe gidenlerin sayısından (8) daha fazla olduğu için voleybol kursundan bir öğrenci seçme olasılığı daha fazladır.
Sonuç:daha fazla
6. Soru: 1’den n’ye kadar doğal sayılardan asal olanlar arasından rastgele seçilen bir sayının 17 olma olasılığı 1/10 ise n’nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
Bu soru biraz daha düşünmeyi gerektiriyor ama aslında çok mantıklı. Olasılık formülünü hatırlayalım: İstenen Durum Sayısı / Tüm Durumların Sayısı
Adım 1: Olasılık formülünü soruya uygulayalım.
İstenen durum: Seçilen sayının 17 olması. Bu sadece bir tane durumdur. Yani payımız 1.
Tüm durumlar: 1’den n’ye kadar olan asal sayılar.
Olasılık = 1 / (1’den n’ye kadar olan asal sayıların adedi) = 1/10
Bu eşitlikten anlıyoruz ki, 1’den n’ye kadar olan sayılar içinde tam olarak 10 tane asal sayı olmalı.
Adım 2: Asal sayıları sırayla yazarak 10. asal sayıyı bulalım.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Gördüğünüz gibi 10. asal sayı 29’dur. Seçtiğimiz 17 sayısı da bu listenin içinde, demek ki doğru yoldayız.
Adım 3: n’nin en büyük değerini bulalım.
Eğer n = 29 olsaydı, 1’den 29’a kadar 10 tane asal sayı olurdu ve şart sağlanırdı.
Peki n daha büyük olabilir mi? n = 30 olsa, 1’den 30’a kadar olan asal sayılar yine aynılarıdır (2, 3, …, 29), çünkü 30 asal değildir. Yani n=30 için de 10 tane asal sayı vardır ve şart yine sağlanır.
Peki n = 31 olsa ne olur? Bir sonraki asal sayı 31’dir. Eğer n=31 olursa, 1’den 31’e kadar olan asal sayıların sayısı 11 olur. O zaman olasılık 1/11 olurdu. Bu, soruda verilen 1/10 olasılığına uymaz.
Demek ki n, bir sonraki asal sayı olan 31’e ulaşmamalı. Alabileceği en büyük doğal sayı değeri 30’dur.
Sonuç:30
7. Soru: Bir matematik öğretmeni, her 1 birimlik kısmı işaretlenmiş hâlde ve yeterli uzunlukta kurdele ile sınıfa giriyor. Bu kurdeleden alanı 36 birimkare ve kenarları birim cinsinden tam sayı olacak şekilde dikdörtgenler oluşturmak istiyor. Öğretmenin elde edeceği dikdörtgenlerin çevrelerinin 25 birim ile 50 birim arasında olma olasılığının çıktı sayısı kaç olur? (Kurdelenin kalınlığını dikkate almayınız.)
Çözüm:
Harika bir soru! Hem geometri hem de olasılık bir arada. Sorunun sonundaki “çıktı sayısı” ifadesine dikkat edelim. Bu, bizden olasılık değerini (kesir olarak) değil, istediğimiz şarta uyan durumların sayısını istiyor.
Adım 1: Alanı 36 birimkare olan tüm olası dikdörtgenleri bulalım.
Bunun için çarpımları 36 olan tam sayı çiftlerini bulmalıyız. (Unutmayın, kare de özel bir dikdörtgendir!)
- 1 birim x 36 birim
- 2 birim x 18 birim
- 3 birim x 12 birim
- 4 birim x 9 birim
- 6 birim x 6 birim
Toplamda 5 farklı dikdörtgen oluşturabiliriz. Bu bizim “tüm durumlarımızın” sayısıdır.
Adım 2: Her dikdörtgenin çevresini hesaplayalım.
Çevre formülü: 2 x (kısa kenar + uzun kenar)
- 1×36’lık dikdörtgenin çevresi: 2 x (1 + 36) = 2 x 37 = 74 birim
- 2×18’lik dikdörtgenin çevresi: 2 x (2 + 18) = 2 x 20 = 40 birim
- 3×12’lik dikdörtgenin çevresi: 2 x (3 + 12) = 2 x 15 = 30 birim
- 4×9’luk dikdörtgenin çevresi: 2 x (4 + 9) = 2 x 13 = 26 birim
- 6×6’lık karenin çevresi: 2 x (6 + 6) = 2 x 12 = 24 birim
Adım 3: Çevresi 25 ile 50 birim arasında (25 ve 50 dahil) olanları bulalım.
Hesapladığımız çevreleri kontrol edelim:
- 74 birim → Bu aralıkta değil.
- 40 birim → Evet, 25 ile 50 arasındadır. (1. uygun durum)
- 30 birim → Evet, 25 ile 50 arasındadır. (2. uygun durum)
- 26 birim → Evet, 25 ile 50 arasındadır. (3. uygun durum)
- 24 birim → Bu aralıkta değil.
İstediğimiz şarta uyan toplam 3 tane dikdörtgen bulduk.
Sonuç: Soruda bizden istenen “olasılığın çıktı sayısı”, yani istenen duruma uyanların sayısıdır. Bu sayı 3‘tür.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Matematik, adım adım ve sabırla yaklaştığımızda aslında çok keyifli bir derstir. Başarılar dilerim