Harika bir istek! Merhaba sevgili öğrencim, 8. Sınıf Matematik öğretmenin olarak gönderdiğin görseldeki soruları senin için adım adım, en anlaşılır şekilde çözeceğim. Geometri gözünü korkutmasın, mantığını kavradığımızda ne kadar keyifli olduğunu göreceksin. Hadi başlayalım!
Sıra Sizde 1
Aşağıda kareli zemin üzerinde bulunan üçgenlerin birer kenarına ait yüksekliklerini cetvel kullanarak çiziniz.
Bu soruda bizden üçgenlerin yüksekliklerini çizmemiz isteniyor. Unutma, yükseklik, bir köşeden karşısındaki kenara (veya kenarın uzantısına) indirilen dik doğru parçasıdır. Yani 90 derecelik bir açı oluşturması gerekir. Kareli zemin bu işi çok kolaylaştırır!
- ABC Üçgeni: A köşesinden [BC] kenarına ait yüksekliği çizelim. A köşesinden başlayıp, kareli zeminin dikey çizgilerini takip ederek [BC] kenarına tam dik bir şekilde inen doğru parçasını çizeriz. Bu çizgi, [BC] kenarı ile 90 derecelik bir açı yapacaktır.
- DEF Üçgeni: D köşesinden [EF] kenarına ait yüksekliği çizelim. Dikkat edersen bu bir dik üçgen! [DE] kenarı, [EF] kenarına zaten dik. Bu yüzden D köşesinden [EF] kenarına inen yükseklik, [DE] kenarının kendisidir.
- GHI Üçgeni: G köşesinden [HI] kenarına ait yüksekliği çizelim. Bu üçgen geniş açılı bir üçgen olduğu için G köşesinden ineceğimiz dikme, [HI] kenarının üzerine değil, uzantısının üzerine düşer. Yani önce [HI] kenarını H tarafından sola doğru düz bir çizgiyle uzatmalıyız. Sonra G köşesinden bu uzattığımız çizgiye dik bir şekilde inen doğru parçasını çizeriz. İşte bu da GHI üçgeninin [HI] kenarına ait yüksekliğidir.
Çözümlü Örnek 1
Bir ABC üçgeninde [AD], [BC]’na ait yüksekliktir. m(Ĉ) = 50° ve [AD], A açısının açıortayı olduğuna göre B açısının ölçüsünü bulalım.
Haydi bu soruyu birlikte parçalara ayırarak çözelim. Elimizdeki bilgilere bakalım:
1. [AD], [BC]’ye ait yükseklik. Bu demek oluyor ki [AD] ile [BC] arasında 90°’lik bir açı var. Yani m(ADC) = 90° ve m(ADB) = 90°.
2. C açısı 50°.
3. [AD], A açısının açıortayı. Bu da A açısını iki eş parçaya böldüğü anlamına gelir. Yani m(CAD) = m(BAD).
Şimdi çözüme geçebiliriz:
Adım 1
Önce sağ taraftaki ADC dik üçgenine odaklanalım. Üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180°’dir, değil mi? Bu üçgende bildiğimiz açılar: m(ADC) = 90° ve m(C) = 50°. Bilmediğimiz DAC açısını bulalım.
m(DAC) + 90° + 50° = 180°
m(DAC) + 140° = 180°
m(DAC) = 180° – 140° = 40°
Adım 2
Soruda bize [AD]’nin aynı zamanda açıortay olduğu söylenmişti. Bu, A açısını iki eşit parçaya böldüğü anlamına geliyordu. Biz bir parçasını (DAC açısını) 40° bulduk. O zaman diğer parçası olan BAD açısı da ona eşit olmalı.
m(BAD) = m(DAC) = 40°
Adım 3
Şimdi de sol taraftaki ADB dik üçgenine bakalım. Bu üçgenin de iç açıları toplamı 180° olmalı. Bildiğimiz açılar: m(ADB) = 90° ve az önce bulduğumuz m(BAD) = 40°. Aradığımız B açısını şimdi kolayca bulabiliriz.
m(B) + m(ADB) + m(BAD) = 180°
m(B) + 90° + 40° = 180°
m(B) + 130° = 180°
m(B) = 180° – 130° = 50°
Sonuç
B açısının ölçüsü 50°‘dir.
Öğretmeninin Notu:Fark ettin mi? C açısı 50° idi, B açısını da 50° bulduk. Bu demek oluyor ki ABC üçgeni aslında bir ikizkenar üçgenmiş!
Çözümlü Örnek 2
Yandaki ABC üçgeninde |AB| = |BC|’dur. [BH], [AC]’na ait yükseklik ve aynı zamanda B açısına ait açıortaydır. m(HCB) = 2 ∙ m(HBC) olduğuna göre A açısının ölçüsünün kaç derece olduğunu bulalım.
Bu soruda da verilenleri doğru anlamak çok önemli. Hadi adım adım ilerleyelim.
1. |AB| = |BC| ise bu bir ikizkenar üçgendir. İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki taban açıları da birbirine eşittir. Yani m(Â) = m(Ĉ).
2. [BH], [AC]’ye ait yükseklik. Demek ki m(BHC) = 90°.
3. Bize bir eşitlik verilmiş: m(HCB) = 2 ∙ m(HBC). Yani C köşesindeki açı, B köşesindeki küçük parçanın 2 katıymış.
Adım 1
Çözümü kolaylaştırmak için bilinmeyen açılara harf verelim. Küçük olan açıya, yani m(HBC)’ye x diyelim.
Bu durumda, verilen eşitliğe göre m(HCB) açısı 2x olur.
Adım 2
Şimdi sadece BHC dik üçgenine bakalım. Bu üçgenin iç açıları toplamı 180° olmalı. Açıları yerine yazarak bir denklem kuralım:
m(HBC) + m(HCB) + m(BHC) = 180°
x + 2x + 90° = 180°
Adım 3
Şimdi bu denklemi çözelim.
3x + 90° = 180°
3x = 180° – 90°
3x = 90°
x = 90° / 3
x = 30°
Adım 4
x’i bulduğumuza göre artık açıları bulabiliriz. Bizden A açısı isteniyordu. A açısının C açısına eşit olduğunu en başta söylemiştik (çünkü üçgen ikizkenar). C açısı ise m(HCB) açısının ta kendisidir.
m(Ĉ) = m(HCB) = 2x
m(Ĉ) = 2 ∙ 30° = 60°
Adım 5
İkizkenar üçgen kuralından dolayı m(Â) = m(Ĉ) idi.
O halde m(Â) = 60° olur.
Sonuç
A açısının ölçüsü 60 derecedir.
Öğretmeninin Notu:Harika bir sonuç! A açısı 60°, C açısı 60° ise, B açısı kaç derece olur? Tabii ki o da 60° (180-60-60=60). Yani bu üçgen sadece ikizkenar değil, aynı zamanda bir eşkenar üçgenmiş! Gördüğün gibi, geometride bilgiler birbiriyle ne kadar bağlantılı.
Umarım açıklamalarım faydalı olmuştur. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!