Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencim! Bugün birlikte bu alıştırmaları çözeceğiz. Matematik dersinde olasılık konusunu ve grafik yorumlamayı pekiştireceğiz. Hazırsan başlayalım!
1. Sorunun Çözümü
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların başına “D”, yanlış olanların başına “Y” yazınız.
* **15 kırmızı, 5 mavi topun olduğu torbadan rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı %25’tir.**
Bu ifade yanlıştır. Torbada toplam 15 + 5 = 20 top var. Mavi top olma olasılığı $frac{5}{20}$’dir. Bunu sadeleştirirsek $frac{1}{4}$ olur. Yüzdeye çevirmek için 100 ile çarparız: $frac{1}{4} times 100 = 25$. Yani mavi top olma olasılığı %25’tir. Ama soruda “olasılığı %25’tir” diyor. Bu ifade doğru. D olmalı.
*Düşünelim:* Soruda bir hata olmuş gibi görünüyor. “Mavi olma olasılığı %25’tir” ifadesi doğrudur. Eğer “kırmızı olma olasılığı %25’tir” denseydi yanlış olurdu. Bu nedenle bu ifadeyi doğru kabul ediyorum.
* **Bir olayın olma olasılığı $frac{5}{3}$ olabilir.**
Bu ifade yanlıştır. Olasılık her zaman 0 ile 1 arasında bir değer alır. $frac{5}{3}$ sayısı 1’den büyüktür. Bu nedenle bir olayın olma olasılığı bu değerde olamaz.
*Y*
* **Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 2’dir.**
Bu ifade yanlıştır. Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı her zaman 1’dir.
*Y*
* **2 kuzusu, 6 tavşanı olan Sedef’in hayvanlarından rastgele seçilen bir hayvanın dört ayaklı olması kesin olaydır.**
Bu ifade doğrudur. Kuzular ve tavşanlar dört ayaklı hayvanlardır. Bu nedenle rastgele seçilen bir hayvanın dört ayaklı olması kesin olaydır.
*D*
* **Bir olayın olma olasılığı $frac{3}{8}$ ise olmama olasılığı $frac{5}{8}$’tir.**
Bu ifade doğrudur. Bir olayın olma olasılığı P(A) ise, olmama olasılığı P(A’) = 1 – P(A) olur. Burada $frac{3}{8} + frac{5}{8} = frac{8}{8} = 1$’dir. Bu nedenle bu ifade doğrudur.
*D*
2. Sorunun Çözümü
Bir sepetteki renkleri farklı olan özdeş 4 mavi, 2 yeşil ve 6 mor çoraptan rastgele seçilen bir çorabın olasılıklarını hesaplayalım.
Öncelikle sepetteki toplam çorap sayısını bulalım:
Toplam çorap sayısı = Mavi çorap sayısı + Yeşil çorap sayısı + Mor çorap sayısı
Toplam çorap sayısı = 4 + 2 + 6 = 12 çorap
Şimdi istenen olasılıkları hesaplayalım:
* **a) Mavi olma olasılığını hesaplayınız.**
Mavi çorap sayısı = 4
Toplam çorap sayısı = 12
Mavi olma olasılığı = $frac{text{Mavi çorap sayısı}}{text{Toplam çorap sayısı}} = frac{4}{12}$
Bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem pay hem de payda 4’e bölünebilir:
$frac{4 div 4}{12 div 4} = frac{1}{3}$
Yani mavi çorap çekme olasılığı $frac{1}{3}$’tür.
* **b) Yeşil olma olasılığını hesaplayınız.**
Yeşil çorap sayısı = 2
Toplam çorap sayısı = 12
Yeşil olma olasılığı = $frac{text{Yeşil çorap sayısı}}{text{Toplam çorap sayısı}} = frac{2}{12}$
Bu kesri de sadeleştirebiliriz. Hem pay hem de payda 2’ye bölünebilir:
$frac{2 div 2}{12 div 2} = frac{1}{6}$
Yani yeşil çorap çekme olasılığı $frac{1}{6}$’dır.
* **c) Mor olmama olasılığını hesaplayınız.**
Mor olmama olasılığını iki yoldan hesaplayabiliriz.
**Yol 1: Mor olmayan çorapları sayarak.**
Sepette mor olmayan çoraplar mavi ve yeşil çoraplardır.
Mor olmayan çorap sayısı = Mavi çorap sayısı + Yeşil çorap sayısı = 4 + 2 = 6 çorap
Toplam çorap sayısı = 12
Mor olmama olasılığı = $frac{text{Mor olmayan çorap sayısı}}{text{Toplam çorap sayısı}} = frac{6}{12}$
Bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem pay hem de payda 6’ya bölünebilir:
$frac{6 div 6}{12 div 6} = frac{1}{2}$
**Yol 2: Mor olma olasılığını bulup 1’den çıkararak.**
Önce mor olma olasılığını bulalım:
Mor çorap sayısı = 6
Toplam çorap sayısı = 12
Mor olma olasılığı = $frac{text{Mor çorap sayısı}}{text{Toplam çorap sayısı}} = frac{6}{12} = frac{1}{2}$
Bir olayın olmama olasılığı, 1’den o olayın olma olasılığının çıkarılmasıyla bulunur.
Mor olmama olasılığı = 1 – (Mor olma olasılığı)
Mor olmama olasılığı = $1 – frac{1}{2} = frac{1}{2}$
Her iki yoldan da mor olmama olasılığının $frac{1}{2}$ olduğunu bulduk.
3. Sorunun Çözümü
Bir sınıftaki öğrencilerin çaldıkları müzik aletlerinin dağılımını gösteren sütun grafiği verilmiş. Her öğrenci yalnızca bir müzik aleti çalıyor ve bu sınıfta müzik aleti çalmayan öğrenci olmadığına göre, bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin ud çalma olasılığı yüzde kaçtır?
Grafiğe baktığımızda hangi müzik aletini kaç öğrencinin çaldığını görebiliriz:
* Tambur çalan öğrenci sayısı: 8
* Bağlama çalan öğrenci sayısı: 12
* Ud çalan öğrenci sayısı: 4
* Ney çalan öğrenci sayısı: 16
Şimdi sınıftaki toplam öğrenci sayısını bulalım. Grafikte müzik aleti çalmayan öğrenci olmadığı belirtilmiş.
Toplam öğrenci sayısı = Tambur çalan + Bağlama çalan + Ud çalan + Ney çalan
Toplam öğrenci sayısı = 8 + 12 + 4 + 16 = 40 öğrenci
Bizden istenen, rastgele seçilen bir öğrencinin **ud çalma olasılığının yüzde kaç olduğudur**.
Ud çalan öğrenci sayısı = 4
Toplam öğrenci sayısı = 40
Ud çalma olasılığı = $frac{text{Ud çalan öğrenci sayısı}}{text{Toplam öğrenci sayısı}} = frac{4}{40}$
Bu kesri sadeleştirelim:
$frac{4 div 4}{40 div 4} = frac{1}{10}$
Şimdi bu olasılığı yüzdeye çevirelim. Yüzdeye çevirmek için kesri 100 ile çarparız:
$frac{1}{10} times 100 = 10$
Yani ud çalma olasılığı %10’dur.
4. Sorunun Çözümü
Bir sınıfta bulunan kız öğrencilerin sayısı, erkek öğrencilerin sayısının 2 katından 4 fazladır. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olma olasılığı $frac{1}{5}$ ise bu sınıfta kaç kız öğrenci vardır?
Bu soruyu çözmek için biraz denklem kurmamız gerekecek.
Sınıftaki erkek öğrenci sayısına $E$ diyelim.
Kız öğrenci sayısı ise erkek öğrenci sayısının 2 katından 4 fazla olduğu için $2E + 4$ olur.
Sınıftaki toplam öğrenci sayısı ise erkek ve kız öğrencilerin toplamıdır: $E + (2E + 4) = 3E + 4$.
Soruda bize rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olma olasılığının $frac{1}{5}$ olduğu verilmiş.
Olasılık formülünü hatırlayalım: Olasılık = $frac{text{İstenen durum sayısı}}{text{Tüm durum sayısı}}$
Burada istenen durum erkek öğrenci sayısı, tüm durum ise toplam öğrenci sayısıdır.
Yani: $frac{E}{3E + 4} = frac{1}{5}$
Şimdi bu denklemi çözelim. İçler dışlar çarpımı yapabiliriz:
$5 times E = 1 times (3E + 4)$
$5E = 3E + 4$
$E$’leri bir tarafa toplayalım. 3E’yi eşitliğin sol tarafına atarsak işaret değiştirir:
$5E – 3E = 4$
$2E = 4$
Şimdi E’yi bulmak için her iki tarafı 2’ye bölelim:
$E = frac{4}{2}$
$E = 2$
Yani sınıfta 2 erkek öğrenci varmış.
Soru bizden **kaç kız öğrenci** olduğunu istiyor. Kız öğrenci sayısını $2E + 4$ olarak bulmuştuk.
Kız öğrenci sayısı = $2 times (2) + 4$
Kız öğrenci sayısı = $4 + 4$
Kız öğrenci sayısı = 8
Bu sınıfta 8 kız öğrenci vardır.
5. Sorunun Çözümü
İfadesi bir ondalık gösterimin birler, onda birler ve yüzde birler basamaklarını göstermektedir. Ondalık gösterimin birler basamağına gelecek rakam kaç seçilirse karekök dışına çıkma olasılığı en fazla olur?
Bu soru biraz kafa karıştırıcı olabilir ama aslında çok basit. Bize verilen ifade $sqrt{…}$ şeklinde ve bu ifadenin karekök dışına çıkmasını istiyoruz. Bir sayının karekökünün tam sayı olması için, o sayının bir tam sayının karesi olması gerekir.
Şimdi ondalık gösterimin basamaklarını hatırlayalım:
Örneğin, 3.14 sayısında:
* 3: Birler basamağı
* 1: Onda birler basamağı
* 4: Yüzde birler basamağı
Bize soruda ondalık gösterimin birler basamağına gelecek rakamın ne olacağını soruyor ve bu rakamın seçilmesiyle karekök dışına çıkma olasılığının en fazla olmasını istiyor. Karekök dışına çıkması demek, sayının tam kare olması demek. Yani $sqrt{X}$ şeklinde bir sayımız var ve biz X’i öyle bir sayı yapmalıyız ki karekökü tam sayı çıksın.
Burada bir sayının karekökünün tam çıkması için o sayının ne olması gerektiğini düşünmemiz gerekiyor.
Örneğin:
$sqrt{1} = 1$
$sqrt{4} = 2$
$sqrt{9} = 3$
$sqrt{16} = 4$
$sqrt{25} = 5$
$sqrt{36} = 6$
$sqrt{49} = 7$
$sqrt{64} = 8$
$sqrt{81} = 9$
$sqrt{100} = 10$
Soruda “ondalık gösterimin birler basamağına gelecek rakam kaç seçilirse karekök dışına çıkma olasılığı en fazla olur?” deniyor. Bu ifade, aslında o sayının tam kare olmasını sağlayan bir rakam seçmekle ilgili.
Burada “olasılık” kelimesi biraz yanıltıcı olabilir. Aslında soru şunu soruyor: “Birler basamağına hangi rakamı koyarsak, bu sayının tam kare olma ihtimali en yüksek olur?”
Eğer birler basamağına 0, 1, 4, 5, 6, 9 gibi rakamlar koyarsak, o sayının tam kare olabilme ihtimali daha fazla olur. Çünkü tam kare sayıların son rakamları bunlardan oluşur.
Ancak, soruda birler basamağına “kaç seçilirse” olasılığının en fazla olacağı soruluyor. Bu, aslında birler basamağına koyacağımız rakamın, sayıyı bir tam kare yapma potansiyelini artırması anlamına geliyor.
Şimdi seçenekleri düşünelim. Birler basamağına gelebilecek rakamlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9’dur.
Bir sayının tam kare olup olmadığını anlamak için son rakamına bakabiliriz. Tam kare sayıların son rakamları şunlardır: 0, 1, 4, 5, 6, 9.
Eğer birler basamağına 0 koyarsak, sayının 10, 20, 30… gibi olması beklenir. Bu sayılar tam kare değildir.
Eğer birler basamağına 1 koyarsak, sayının 1, 11, 21, 31… gibi olması beklenir. 1 tam karedir.
Eğer birler basamağına 4 koyarsak, sayının 4, 14, 24, 34… gibi olması beklenir. 4 tam karedir.
Eğer birler basamağına 5 koyarsak, sayının 5, 15, 25, 35… gibi olması beklenir. 25 tam karedir.
Eğer birler basamağına 6 koyarsak, sayının 6, 16, 26, 36… gibi olması beklenir. 16 ve 36 tam karedir.
Eğer birler basamağına 9 koyarsak, sayının 9, 19, 29, 39… gibi olması beklenir. 9 tam karedir.
Soruda “olasılığı en fazla olur” ifadesi, aslında o rakamın birler basamağı olarak seçildiğinde, sayının tam kare olma ihtimalinin en yüksek olması anlamına geliyor. Bu durumda, birler basamağına gelebilecek rakamlar içinde, tam kare sayılara en çok benzeyen veya tam kare sayılarda en çok rastlanan rakamları düşünmeliyiz.
Aslında bu soru, olasılıktan çok sayıların özellikleriyle ilgili.
Eğer birler basamağına **6** rakamını koyarsak, bu sayının 16, 36, 196 gibi bir tam kare olma ihtimali daha yüksek olabilir. Çünkü tam karelerin son rakamları 0, 1, 4, 5, 6, 9 olabilir. Bu rakamlar içinde **6**, hem 16 hem de 36 gibi yaygın tam karelerin son rakamıdır.
Bu sorunun en doğru yorumu şudur: Bir sayının karekökünün tam sayı çıkabilmesi için sayının kendisinin tam kare olması gerekir. Tam kare sayıların birler basamakları 0, 1, 4, 5, 6, 9 olabilir. Bu seçenekler arasında, birler basamağına hangi rakamı koyarsak, sayının tam kare olma ihtimali en fazla olur?
Eğer birler basamağına 6 koyarsak, bu sayının 16, 36 gibi tam kareler olabileceğini düşünebiliriz. Bu durumda, bu rakamın seçilmesiyle sayının karekökünün tam sayı çıkma olasılığı en fazla olur.
Sonuç olarak, birler basamağına **6** rakamı seçilirse, sayının tam kare olma olasılığı en fazla olur.
Umarım bu çözümlerimiz anlaşılır olmuştur. Anlamadığın yer olursa çekinmeden sorabilirsin! Başarılar dilerim!