Merhaba sevgili öğrencim, gönderdiğin görseldeki soruları senin için adım adım çözeceğim. Matematikte olasılık ve EBOB gibi konular bazen kafa karıştırıcı olabilir ama adım adım gidince ne kadar kolay olduğunu göreceksin. Hadi başlayalım!
Çözümlü Örnek 2
Aşağıda farklı renklerde özdeş topların bulunduğu kutular gösterilmiştir. Kutulardan rastgele bir top seçildiğinde seçilen topun;
- a) Mor renkli olma olasılığı daha fazla olan kutuyu,
- b) Sarı renkli olma olasılığı daha fazla olan kutuyu,
- c) Yeşil renkli olma olasılığı daha fazla olan kutuları,
- ç) Mor renkli olma olasılığı en az olan kutuları,
- d) Mor renkli olma olasılığının, sarı renkli olma olasılığına eşit olduğu kutuları bulalım.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için olasılığın temel mantığını kullanacağız. Bir olayın olma olasılığı, istediğimiz durumların sayısının tüm olası durumların sayısına bölünmesiyle bulunur. Ama burada bir kolaylık var! Dikkat edersen, her kutuda toplam 8 tane top var. Toplam sayıları eşit olduğu için, bir rengin gelme olasılığının daha fazla olması demek, o renkten en çok sayıda topun o kutuda olması demektir. Aynı şekilde en az olasılık da en az top demektir. Şimdi bu bilgiyle şıkları tek tek inceleyelim.
Önce her kutudaki top sayılarını bir yazalım ki işimiz kolaylaşsın:
- Kutu 1: 5 Mor, 2 Sarı, 1 Yeşil (Toplam 8 top)
- Kutu 2: 3 Mor, 1 Sarı, 4 Yeşil (Toplam 8 top)
- Kutu 3: 2 Mor, 5 Sarı, 1 Yeşil (Toplam 8 top)
- Kutu 4: 1 Mor, 2 Sarı, 5 Yeşil (Toplam 8 top)
- Kutu 5: 1 Mor, 1 Sarı, 6 Yeşil (Toplam 8 top)
a) Mor renkli olma olasılığı daha fazla olan kutuyu bulalım.
Mor topların sayılarına bakıyoruz. En çok mor top hangi kutuda? 1. kutuda 5 tane var ve bu en yüksek sayı. O zaman mor top çekme olasılığı en fazla 1 numaralı kutudadır.
b) Sarı renkli olma olasılığı daha fazla olan kutuyu bulalım.
Şimdi de sarı topların sayılarına bakalım. 3. kutuda 5 tane sarı top var. Diğer kutularda bu kadar sarı top yok. Bu yüzden sarı top çekme olasılığı en fazla 3 numaralı kutudadır.
c) Yeşil renkli olma olasılığı daha fazla olan kutuları bulalım.
Yeşil topların sayılarını inceliyoruz. 5. kutuda tam 6 tane yeşil top var! Bu, diğer kutulardaki yeşil top sayısından çok daha fazla. Dolayısıyla yeşil top çekme olasılığı en fazla 5 numaralı kutudadır.
ç) Mor renkli olma olasılığı en az olan kutuları bulalım.
Mor topların sayılarına tekrar dönelim ve bu sefer en az olanı arayalım. 4. kutuda 1 tane, 5. kutuda da 1 tane mor top var. İkisinde de en az sayıda mor top bulunduğu için, mor top çekme olasılığı en az olan kutular 4 ve 5 numaralı kutulardır.
d) Mor renkli olma olasılığının, sarı renkli olma olasılığına eşit olduğu kutuları bulalım.
Olasılıkların eşit olması için, o kutudaki mor ve sarı top sayılarının da eşit olması gerekir. Kutuları tek tek kontrol ettiğimizde, 5 numaralı kutuda 1 mor ve 1 sarı top olduğunu görüyoruz. Sayıları eşit olduğu için olasılıkları da eşittir.
Sıra Sizde 1
Yanda her bir bölmesi 1 cm’lik karesel parçalardan oluşan tablet çikolata verilmiştir. Bu tablet çikolata 1 cm’lik parçalar kırılmadan, karesel parçalara bölünerek hiç artmadan çocuklara dağıtılacaktır. Çocuklara dağıtılan çikolataların alanlarının özdeş ve eşit olasılıklı olması isteniyorsa bu çikolata en az kaç parçaya ayrılmalıdır?
Çözüm:
Harika bir soru! Bu soruda hem geometri hem de EBOB (En Büyük Ortak Bölen) bilgimizi kullanacağız. Hadi adım adım ilerleyelim.
Adım 1: Problemi Anlayalım
Soruda bizden çikolatayı karesel parçalara ayırmamız isteniyor. Bu parçaların hepsi “özdeş” olacakmış, yani hepsi aynı büyüklükte kareler olacak. “En az kaç parçaya ayrılmalıdır?” diye sorduğu için, bizim de bu kareleri mümkün olan en büyük boyutta yapmamız gerekiyor. Ne kadar büyük kareler yaparsak, o kadar az sayıda parça elde ederiz, değil mi?
Adım 2: Çikolatanın Boyutlarını Bulalım
Görseldeki çikolatayı sayalım. Çikolatanın kısa kenarı 4 tane küçük kareden, uzun kenarı ise 6 tane küçük kareden oluşuyor. Her bir küçük kare 1 cm olduğuna göre, çikolatamız 4 cm‘ye 6 cm‘lik bir dikdörtgendir.
Adım 3: En Büyük Ortak Böleni (EBOB) Bulalım
Çikolatayı eş kare parçalara ayıracağımız için, bu karenin bir kenar uzunluğu hem 4’ü hem de 6’yı tam olarak bölmelidir. En büyük kareyi bulmak için de 4 ve 6’nın bölünebildiği en büyük sayıyı, yani En Büyük Ortak Bölen’i (EBOB) bulmalıyız.
- 4’ün bölenleri: 1, 2, 4
- 6’nın bölenleri: 1, 2, 3, 6
Gördüğün gibi, ikisinin de ortak olan en büyük böleni 2‘dir. Yani, EBOB(4, 6) = 2.
Bu demektir ki, oluşturabileceğimiz en büyük kare parçaların bir kenarı 2 cm olmalıdır.
Adım 4: Toplam Parça Sayısını Hesaplayalım
Artık kaç parçaya ayıracağımızı bulabiliriz. Bunu iki yolla yapabiliriz:
1. Yol: Alanları Bölerek
Büyük çikolatanın alanı: 6 cm x 4 cm = 24 cm²
Oluşturacağımız bir kare parçanın alanı: 2 cm x 2 cm = 4 cm²
Toplam parça sayısı = (Büyük Çikolatanın Alanı) / (Bir Parçanın Alanı) = 24 / 4 = 6 parça
2. Yol: Kenarları Bölerek
6 cm’lik uzun kenardan 2 cm’lik kaç parça çıkar? 6 / 2 = 3 parça
4 cm’lik kısa kenardan 2 cm’lik kaç parça çıkar? 4 / 2 = 2 parça
Toplam parça sayısı = 3 x 2 = 6 parça
Sonuç:
Her iki yolla da aynı sonuca ulaştık. Çocuklara dağıtılacak çikolataların alanlarının özdeş ve eşit olasılıklı olması için bu çikolata en az 6 parçaya ayrılmalıdır.