Merhaba sevgili öğrencilerim,
Umarım hepiniz iyisinizdir. Bana gönderdiğiniz görseldeki soruları sizin için inceledim ve şimdi adım adım, hepimizin anlayacağı bir şekilde çözeceğiz. Matematik aslında bir bulmaca gibidir, doğru adımları izlediğimizde çözüme ulaşmak çok keyifli olur. Haydi başlayalım!
Soru 7: Aşağıda uzun kenar uzunluğu 5 cm ve kısa kenar uzunluğu 3 cm olan özdeş dikdörtgenler kullanılarak oluşturulan bir zemin verilmiştir. Buna göre A noktası ile hangi noktanın birleşmesiyle oluşacak doğru parçasının eğimi –3⁄5 olur?
Bu soruyu çözmek için öncelikle eğim kavramını hatırlamalıyız. Eğim, bir doğrunun ne kadar dik olduğunu gösteren bir ölçüdür ve formülü şöyledir:
Eğim = Dikey Uzunluk / Yatay Uzunluk
Unutmayın, eğer doğru parçası soldan sağa doğru yukarı yönlü ise eğim pozitif (+), aşağı yönlü ise eğim negatif (-) olur.
Soruda bizden eğimin –3⁄5 olması isteniyor. Bu, doğru parçasının aşağı yönlü (veya sola doğru yukarı yönlü) olacağı anlamına gelir. Paydaki 3 dikey değişimi, paydadaki 5 ise yatay değişimi temsil eder. Ama dikkat! Zeminimiz birim karelerden değil, kısa kenarı 3 cm ve uzun kenarı 5 cm olan dikdörtgenlerden oluşuyor. Yani her dikey hareketimiz 3 cm’nin katları, her yatay hareketimiz ise 5 cm’nin katları şeklinde olacak.
Şimdi A noktasından diğer noktalara giderek eğimi hesaplayalım:
- A’dan C’ye gidelim:
Adım 1: A noktasından C noktasına ulaşmak için yatayda sola doğru 2 birim gitmemiz gerekiyor. Her bir yatay birim 5 cm olduğu için yataydaki değişim: 2 x 5 = 10 cm olur. Sola gittiğimiz için bunu -10 olarak düşünebiliriz.
Adım 2: Sonra dikeyde yukarı doğru 2 birim çıkmamız gerekiyor. Her bir dikey birim 3 cm olduğu için dikeydeki değişim: 2 x 3 = 6 cm olur. Yukarı çıktığımız için bu +6’dır.
Adım 3: Şimdi eğimi hesaplayalım: Eğim = Dikey Değişim / Yatay Değişim = (+6) / (-10) = –6⁄10
Adım 4: Bu kesri sadeleştirdiğimizde (hem payı hem paydayı 2’ye bölersek): –3⁄5 sonucunu buluruz.
Gördüğünüz gibi, A ile C noktalarını birleştirdiğimizde istenen eğimi elde ediyoruz. Diğer şıkları denediğimizde bu sonucu bulamayız.
Sonuç: A noktası C noktası ile birleşirse doğru parçasının eğimi –3⁄5 olur.
Soru 8: Depo görevlisi olan Pelin ve Mehmet; kitapları, yükseklikleri 400 cm olan eş kitaplıklara yerleştireceklerdir. Ardışık iki raf arası mesafeleri eşit olan kitaplıklara merdivenleri aşağıdaki gibi uzatmışlardır. I. merdivenin eğimi, II. merdivenin eğiminin 1⁄3‘i kadardır. |KL| = 485 cm ve |AB| = 110 cm olduğuna göre B noktasının L noktasına olan uzaklığı kaç santimetredir?
Bu soruda da yine eğimden faydalanacağız. Merdivenlerin dayandığı kitaplıkların yüksekliği bize dikey uzunluğu veriyor. Yere değdikleri noktalar arasındaki mesafeler ise yatay uzunlukları oluşturuyor.
Adım 1: Önce soruda verilen bilgileri matematiksel olarak yazalım. Merdivenlerin dayandığı yükseklik 400 cm. Bu, her iki merdivenin de oluşturduğu dik üçgenin “dikey kenarıdır”.
- I. merdivenin yatay uzunluğu: |KA|
- II. merdivenin yatay uzunluğu: |BL|
Adım 2: Merdivenlerin eğimlerini formüle göre yazalım.
- I. Merdivenin Eğimi = Dikey Uzunluk⁄Yatay Uzunluk = 400⁄|KA|
- II. Merdivenin Eğimi = Dikey Uzunluk⁄Yatay Uzunluk = 400⁄|BL|
Adım 3: Soruda bize “I. merdivenin eğimi, II. merdivenin eğiminin 1⁄3‘i kadardır.” deniyor. Bu bilgiyi kullanarak bir denklem kuralım.
(I. Merdivenin Eğimi) = 1⁄3 x (II. Merdivenin Eğimi)
400⁄|KA| = 1⁄3 x 400⁄|BL|
Bu denklemde her iki taraftaki 400’leri sadeleştirebiliriz. Geriye şu kalır:
1⁄|KA| = 1⁄3 x |BL|
Buradan da |KA| = 3 x |BL| sonucuna ulaşırız. Yani, I. merdivenin yatay uzunluğu, II. merdivenin yatay uzunluğunun 3 katıymış. Bilinmeyenlerle uğraşmayı kolaylaştırmak için |BL| = x diyelim. O zaman |KA| = 3x olur.
Adım 4: Şimdi de |KL| uzunluğunu kullanalım. Şekle baktığımızda |KL| uzunluğunun, |KA|, |AB| ve |BL| uzunluklarının toplamı olduğunu görüyoruz.
|KL| = |KA| + |AB| + |BL|
Bildiğimiz değerleri ve bilinmeyenleri yerine yazalım:
485 = (3x) + 110 + (x)
Adım 5: Bu denklemi çözelim.
485 = 4x + 110
110’u karşıya eksi olarak atalım:
485 – 110 = 4x
375 = 4x
Her iki tarafı 4’e bölelim:
x = 375⁄4 = 93,75 cm
Soru bizden B noktasının L noktasına olan uzaklığını, yani |BL|’yi istiyordu. Biz de zaten |BL|’ye x demiştik.
Sonuç: B noktasının L noktasına olan uzaklığı 93,75 cm‘dir.
Soru 9: İzicilik, … Bülent ve arkadaşları, izcilik kampına katılıp orada çadırlarını aşağıdaki gibi kurmuşlardır. Çadırı tam orta noktasından dengede tutan çubuğun uzunluğu (|AD|) 6 m’dir. Çadırın yan kenarlarındaki çubukların uzunlukları birbirine eşit ve eğimleri 3⁄4‘tür. Bülent, çadırın kurulumunu yaparken yan kenarlardaki çubuklardan birini (AC) kırmış ve bu kırık noktaya Şekil II’deki gibi kısa bir çubuğu (KL) destek olarak çadırın zeminine dik şekilde yerleştirmiştir. Desteğin uzunluğu 1,5 m olduğuna göre L noktasının C noktasına olan uzaklığı kaç metredir?
Bu soru biraz uzun gibi görünse de aslında çözümü oldukça basit. Burada hem eğim bilgisini hem de üçgenlerdeki benzerlik konusunu kullanacağız.
Adım 1: Önce Şekil I’deki bilgileri kullanarak çadırın taban genişliğini bulalım. Çadır, bir ikizkenar üçgen şeklinde. |AD| yüksekliği 6 metre ve yan kenarların (AC ve AB) eğimi 3⁄4 olarak verilmiş.
AC kenarının eğimini, ADC dik üçgenine bakarak hesaplayabiliriz:
Eğim = Dikey Uzunluk⁄Yatay Uzunluk = |AD|⁄|DC|
Bildiğimiz değerleri yerine koyalım:
3⁄4 = 6⁄|DC|
Bu orantıyı çözmek için içler-dışlar çarpımı yapalım:
3 x |DC| = 4 x 6
3 x |DC| = 24
|DC| = 24 / 3 = 8 metre.
Yani çadırın tabanının yarısı 8 metreymiş.
Adım 2: Şimdi Şekil II’ye geçelim. Kırılan AC kenarına KL desteği konulmuş. Bu destek yere dik, yani KLC bir dik üçgen oluşturuyor. Bu yeni KLC üçgeni ile az önce kullandığımız büyük ADC üçgeni arasında bir ilişki var mı, bir bakalım.
- Hem ADC üçgeninde hem de KLC üçgeninde birer tane 90 derecelik açı var (D ve L köşeleri).
- C açısı ise her iki üçgen için de ortak bir açıdır.
Eğer iki üçgenin ikişer açısı aynı ise, bu üçgenler benzer üçgenlerdir. Yani, KLC üçgeni ~ ADC üçgeni.
Adım 3: Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Bizden istenen |LC| uzunluğu. Bu kenara karşılık gelen büyük üçgendeki kenar ise |DC|’dir. Bildiğimiz diğer kenarlar ise yükseklikler, yani |KL| ve |AD|.
Oranımızı yazalım:
Küçük üçgenin yüksekliği⁄Büyük üçgenin yüksekliği = Küçük üçgenin tabanı⁄Büyük üçgenin tabanı
|KL|⁄|AD| = |LC|⁄|DC|
Adım 4: Bildiğimiz sayıları yerlerine yazarak denklemi çözelim.
|KL| = 1,5 m
|AD| = 6 m
|DC| = 8 m
1,5⁄6 = |LC|⁄8
İşlemi kolaylaştırmak için 1,5 / 6 kesrini sadeleştirelim. 1,5, 6’nın dörtte biridir (1,5 x 4 = 6). Yani 1,5⁄6 = 1⁄4.
1⁄4 = |LC|⁄8
Şimdi içler-dışlar çarpımı yapalım:
4 x |LC| = 1 x 8
4 x |LC| = 8
|LC| = 8 / 4 = 2 metre.
Sonuç: L noktasının C noktasına olan uzaklığı 2 metredir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, bir soruyu çözemediğinizde pes etmeyin, farklı bir yoldan tekrar düşünmeyi deneyin. Başarılar dilerim