Merhaba sevgili öğrencim,
Gönderdiğin görseldeki konuyu ve soruyu birlikte inceleyelim. Bu sayfa bize **Gerçek Sayılar** konusunu, özellikle de rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki farkı çok güzel bir şekilde anlatıyor. Hadi gel, bu sayfadaki soruları adım adım çözümleyelim.
Öncelikle metnin içinde geçen ve konunun özünü anlamamızı sağlayan o kilit soruyu ele alalım:
Soru: Sizce devirli ondalık gösterimler irrasyonel sayı mıdır?
Çözüm:
Bu soruyu cevaplamak için önce rasyonel ve irrasyonel sayıların ne olduğunu kısaca hatırlamamız gerekiyor.
- Rasyonel Sayılar: İki tam sayının birbirine bölümü şeklinde, yani a/b (b sıfır olmamak şartıyla) olarak yazılabilen sayılardır. Örneğin 5 (çünkü 5/1), -3/4, 0.7 (çünkü 7/10) gibi sayılar rasyoneldir.
- İrrasyonel Sayılar: İki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayılardır. Bu sayıların ondalık kısmı sonsuza kadar gider ama belirli bir düzen içinde tekrar etmez. En meşhur örnekleri π (pi) sayısı ve √2, √3 gibi tam kare olmayan sayıların karekökleridir.
Şimdi asıl sorumuza dönelim: Devirli ondalık sayılar bu gruplardan hangisine girer? Bunu anlamanın en iyi yolu, aşağıdaki “Birlikte Öğrenelim” kısmındaki örneği çözmektir. Eğer devirli bir sayıyı kesir olarak yazabilirsek, onun rasyonel olduğunu kanıtlamış oluruz.
Birlikte Öğrenelim Sorusu: 2,6 (6 devreden) devirli ondalık gösteriminin rasyonel sayı mı irrasyonel sayı mı olduğunu inceleyelim.
Çözüm:
Haydi bu devirli sayıyı kesre çevirmeye çalışalım. Eğer başarırsak, onun rasyonel olduğunu ispatlarız!Adım 1:
Öncelikle sayımıza bir isim verelim, mesela “k” diyelim. Devirli demek, o rakamın sonsuza kadar tekrar ettiği anlamına gelir.
k = 2,666…Adım 2:
Şimdi amacımız, virgülden sonraki o sonsuza dek tekrar eden kısımdan kurtulmak. Bunun için çok zekice bir yöntemimiz var. Sayının devreden kısmı sadece bir basamak (sadece ‘6’ rakamı) olduğu için, eşitliğin her iki tarafını 10 ile çarpalım. Bu, virgülün bir basamak sağa kaymasını sağlar.
10 ∙ k = 26,666…Adım 3:
Şimdi elimizde iki tane eşitlik var. Bu iki eşitliği alt alta yazıp birbirinden çıkaralım. Göreceksin ki virgülden sonraki o sonsuz kısımlar sihirli bir şekilde yok olacak!10k = 26,666…
– k = 2,666…
9k = 24Gördüğün gibi, çıkarma işlemi sayesinde ondalık kısımlar birbirini götürdü ve elimizde basit bir denklem kaldı.
Adım 4:
Şimdi “k” değerini, yani en baştaki sayımızı bulmak için denklemi çözelim. Eşitliğin her iki tarafını da 9’a bölüyoruz.
9k = 24
k = 24 / 9Adım 5:
Bulduğumuz kesri en sade haline getirelim. Hem 24 hem de 9, 3’e bölünebilir.
k = (24 ÷ 3) / (9 ÷ 3) = 8/3Sonuç ve Açıklama:
Başlangıçtaki 2,6 (6 devreden) sayısını, yaptığımız işlemlerle 8/3 kesrine dönüştürmeyi başardık!Rasyonel sayıların tanımı neydi? İki tam sayının bölümü şeklinde yazılabilen sayılardı. 8/3 de tam olarak bu tanıma uyuyor. Bu nedenle, 2,6 (6 devreden) sayısı bir irrasyonel sayı değildir, tam aksine bir rasyonel sayıdır.
Bu örnek bize çok önemli bir şey öğretiyor: Bütün devirli ondalık gösterimler, bu yöntem kullanılarak bir kesre dönüştürülebildiği için rasyonel sayılardır. Unutma, irrasyonel sayıların ondalık kısmı da sonsuza kadar gider ama asla belirli bir düzende tekrar etmez!