Harika bir çalışma! Sevgili öğrencim, gönderdiğin bu görseldeki soruları bir 8. Sınıf Matematik öğretmenin olarak senin için adım adım, tane tane çözeceğim. Hadi başlayalım!
Soru 8: Bir fotoğrafçı, fotoğraf makinesiyle bir kenarı (x – 3) cm olan kare şeklinde bir biyometrik fotoğraf çekip daha sonra bu çektiği fotoğrafı kenar uzunlukları fotoğraf makinesindekinin 2 katı olacak şekilde baskı makinesinden çıkartmaktadır. Çıkan fotoğraflardan birini yanda gösterildiği gibi kenar uzunlukları (2x + 1) cm ve (3x – 1) cm olan dikdörtgen şeklindeki mukavva bir fotoğrafılığa koyup müşterisine hediye ediyor. Fotoğraftaki gri çerçevenin alanını veren cebirsel ifadeyi yazınız.
Merhaba! Bu soruyu çözmek için büyük dikdörtgenin alanından içindeki fotoğrafın alanını çıkarmamız gerekiyor. Tıpkı bir simidin alanını bulmak gibi, değil mi? Hadi adımları takip edelim.
Adım 1: Baskı yapılan fotoğrafın boyutlarını ve alanını bulalım.
İlk çekilen fotoğraf kare şeklinde ve bir kenarı (x – 3) cm. Baskı yapılırken bu kenar uzunlukları 2 katına çıkarılıyor.
O halde basılan fotoğrafın bir kenar uzunluğu:
2 * (x – 3) = 2x – 6 cm olur.
Bu fotoğraf kare olduğu için alanı, bir kenarının karesine eşittir.
Fotoğrafın Alanı = (2x – 6) * (2x – 6) = (2x – 6)²
Bu tam kare ifadeyi açalım: (Birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katı, ikincinin karesi)
(2x)² – 2 * (2x) * (6) + (6)² = 4x² – 24x + 36
Adım 2: Mukavvanın (büyük dikdörtgenin) alanını bulalım.
Mukavvanın kenar uzunlukları bize soruda verilmiş: (2x + 1) cm ve (3x – 1) cm.
Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır.
Mukavvanın Alanı = (2x + 1) * (3x – 1)
Şimdi bu iki ifadeyi çarparken terimleri birbiriyle dağıtalım:
(2x * 3x) + (2x * -1) + (1 * 3x) + (1 * -1)
= 6x² – 2x + 3x – 1
Benzer terimleri birleştirelim:
= 6x² + x – 1
Adım 3: Gri çerçevenin alanını bulalım.
Çerçevenin alanı, mukavvanın alanından fotoğrafın alanını çıkararak bulunur.
Gri Çerçevenin Alanı = (Mukavvanın Alanı) – (Fotoğrafın Alanı)
= (6x² + x – 1) – (4x² – 24x + 36)
Çok önemli bir nokta: Parantezin önündeki eksi (-) işareti, parantezin içindeki her terimin işaretini değiştirir. Bunu sakın unutma!
= 6x² + x – 1 – 4x² + 24x – 36
Şimdi benzer terimleri kendi aralarında toplayıp çıkaralım:
(6x² – 4x²) + (x + 24x) + (–1 – 36)
= 2x² + 25x – 37
Sonuç: Fotoğraftaki gri çerçevenin alanını veren cebirsel ifade 2x² + 25x – 37‘dir.
Soru 9: Kenar uzunlukları a cm ve (a – 6) cm olan dikdörtgen şeklindeki masanın görünümü aşağıdaki gibidir. Masayı ortalayacak şekilde örtülen masa örtüsünün kısa kenarlarından ikişer, uzun kenarlarından da birer cm’lik kısmı aşağı doğru sarkmaktadır. Buna göre bu masa örtüsünün alanını veren cebirsel ifade nedir?
Bu soruda masanın değil, masadan sarkan daha büyük bir örtünün alanını bulacağız. Örtünün yeni kenar uzunluklarını hesaplayarak işe başlayalım.
Adım 1: Masa örtüsünün yeni kenar uzunluklarını bulalım.
Masanın uzun kenarı a cm imiş. Örtü bu kenardan her iki taraftan da 1’er cm sarkıyor.
Örtünün yeni uzun kenarı = a + 1 + 1 = a + 2 cmMasanın kısa kenarı (a – 6) cm imiş. Örtü bu kenardan her iki taraftan da 2’şer cm sarkıyor.
Örtünün yeni kısa kenarı = (a – 6) + 2 + 2 = a – 6 + 4 = a – 2 cm
Adım 2: Masa örtüsünün alanını hesaplayalım.
Örtümüz artık kenarları (a + 2) cm ve (a – 2) cm olan bir dikdörtgen. Alanını bulmak için bu iki ifadeyi çarpacağız.
Masa Örtüsünün Alanı = (a + 2) * (a – 2)
Bu çarpma işlemi sana bir yerden tanıdık geldi mi? Evet, bu meşhur iki kare farkı özdeşliği! Yani (x+y)(x-y) = x² – y².
Bu özdeşliği kullanarak işlemi çok daha hızlı yapabiliriz.
(a)² – (2)² = a² – 4
Sonuç: Masa örtüsünün alanını veren cebirsel ifade a² – 4‘tür.
Soru 10: Aşağıda bazı şekillerin ifade ettikleri cebirsel ifade ve işlemler verilmiştir. Buna göre aşağıdaki şekilleri temsil eden cebirsel ifadeyi yazınız.
Bu soru adeta bir şifre çözme oyunu gibi! Yukarıda bize verilen anahtarları kullanarak aşağıdaki şekillerin ne anlama geldiğini bulacağız ve bir cebirsel ifade oluşturacağız.
Adım 1: Şekillerin ne anlama geldiğini listeleyelim.
- İki pembe daire (içinde a yazan) = 2a
- Sarı üçgen = + (Toplama işlemi)
- Kırmızı 5 köşeli yıldız = 5
- Mavi ters üçgen = – (Çıkarma işlemi)
- Tek pembe daire (içinde a yazan) = a
- Kırmızı 6 köşeli yıldız = 6
Adım 2: Aşağıdaki şekil dizisini cebirsel ifadeye çevirelim.
Şekilleri soldan sağa doğru sırasıyla okuyup matematik diline çevirelim:
[İki pembe daire] [Sarı üçgen] [Kırmızı 5 köşeli yıldız] [Mavi ters üçgen] [Tek pembe daire] [Sarı üçgen] [Kırmızı 6 köşeli yıldız]
Bu dizinin cebirsel karşılığı şöyledir:
2a + 5 – a + 6
Adım 3: Oluşturduğumuz cebirsel ifadeyi sadeleştirelim.
İfadeyi daha sade bir hale getirmek için benzer terimleri (yani ‘a’ içerenleri kendi arasında, sayıları kendi arasında) toplayıp çıkaralım.
(2a – a) + (5 + 6)
= a + 11
Sonuç: Şekilleri temsil eden cebirsel ifade a + 11‘dir.