Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün geometri sorularıyla karşınızdayım. Gelin birlikte bu soruları adım adım çözelim ve mantığını iyice anlayalım.
**Soru 9**
ABC üçgeninde AC kenarına ait kenarortay, üçgen içerisinde bulunan hangi noktadan geçer?
Sevgili arkadaşlar, kenarortayı bulmak için öncelikle AC kenarının orta noktasını bulmamız gerekiyor. AC kenarı, üçgenin yatay tabanını oluşturuyor ve A noktasından C noktasına kadar ilerliyor. Bu kenarın üzerinde A’dan C’ye doğru ilerlediğimizde tam ortada hangi noktanın olduğunu görebiliriz. Gördüğümüz gibi, A’dan C’ye kadar olan mesafe 4 birim. Dolayısıyla orta nokta, A’dan 2 birim uzaklıkta olacaktır.
Şimdi bu orta noktadan, AC kenarının karşısındaki B köşesine doğru bir doğru parçası çizmeliyiz. Bu doğru parçası, AC kenarının orta noktasını B köşesine birleştiren kenarortayımız olacaktır.
Şimdi şıklara göz atalım:
a) G
b) H
c) E
d) F
Şimdi çizdiğimiz kenarortayın hangi noktadan geçtiğini dikkatlice inceleyelim. Gördüğünüz gibi, kenarortayımız tam olarak E noktasından geçiyor.
Sonuç: E noktası.
**Soru 10**
Ali, yukarıdaki gibi eş aralıklı çıkıntılardan oluşan bir geometri tahtası yaparak tahtadaki çıkıntıları isimlendirmiştir. Ali, bir lastiği bu çıkıntılardan bazılarının etrafına gerdirerek bir üçgen oluşturmak istiyor. Oluşturacağı üçgenin iki köşe noktası T ve L noktası olacağına göre üçüncü köşe noktası olarak hangi noktayı seçerse oluşan üçgenin herhangi bir kenarına çizilen yükseklik hem açıortay hem de kenarortay olur?
Bu soruda bizden istenen şey, çizilecek üçgenin özel bir üçgen olması. Bir üçgenin herhangi bir kenarına çizilen yüksekliğin aynı zamanda açıortay ve kenarortay olması, o üçgenin ikizkenar veya eşkenar üçgen olduğunu gösterir. Soruda T ve L noktalarının iki köşe olacağı belirtilmiş. Bu iki noktayı birleştirdiğimizde oluşan kenarın, aynı zamanda hem yükseklik hem açıortay hem de kenarortay olduğu bir durum arıyoruz. Bu da demek oluyor ki, bu kenara ait yükseklik, açıortay ve kenarortay çakışıyor. Bu durum sadece ikizkenar üçgenlerde ve eşkenar üçgenlerde olur. Özellikle, bu kenarın kendisi ikizkenar üçgenin eş kenarlarından biri olmalıdır.
Şimdi T ve L noktalarını birleştiren bir kenar düşünelim. Bu kenara ait yüksekliğin, açıortayın ve kenarortayın çakışması için, üçüncü köşe noktasının T ve L’ye olan uzaklıklarının eşit olması gerekir.
Şimdi şıklara bakalım ve T ile L noktasına olan uzaklıkları eşit olan noktayı bulalım:
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
f) F
g) H
h) I
ı) N
j) P
k) Q
l) R
m) S
n) J
o) K
p) M
Sevgili öğrenciler, bu tür sorularda geometri tahtasındaki mesafeleri saymak bize çok yardımcı olur. T ve L noktaları arasındaki mesafeye bakalım. T’den L’ye gitmek için önce 1 birim sola, sonra 2 birim yukarı gitmeliyiz. Şimdi üçüncü köşe noktası olarak şıklardaki her bir noktadan T ve L’ye olan mesafeleri tahmin edelim veya sayalım.
Adım 1: T ve L noktalarının konumlarını belirleyelim. L’nin üstünde K, K’nin üstünde J var. T’nin solunda S, S’nin solunda R, R’nin solunda Q, Q’nun solunda P var. T’nin altında ise başka nokta yok.
Adım 2: İstenen durum, üçüncü köşe noktasının T ve L’ye eşit uzaklıkta olmasıdır. Bu, oluşan üçgenin ikizkenar üçgen olacağı anlamına gelir. T ve L’yi birleştirdiğimiz kenara ait yükseklik, açıortay ve kenarortay çakışıyorsa, bu kenar ikizkenar üçgenin eş kenarlarından biri olmalıdır.
Adım 3: Şıklardaki noktalardan T ve L’ye olan mesafeleri karşılaştıralım. Noktaların koordinatlarını düşünerek hareket edebiliriz. L’yi (0, 2) gibi düşünürsek, T’yi (2, 0) gibi düşünebiliriz. Bu durumda T ile L arasındaki mesafe $sqrt{(2-0)^2 + (0-2)^2} = sqrt{4+4} = sqrt{8}$ olur.
Şimdi diğer noktalara bakalım:
Adım 4: Nokta I‘ya bakalım. I noktasından T’ye olan mesafeyi ve I noktasından L’ye olan mesafeyi hesaplayalım. I noktasını (1, 1) olarak düşünürsek, T (2, 0) ve L (0, 2) olur.
I’dan T’ye mesafe: $sqrt{(2-1)^2 + (0-1)^2} = sqrt{1^2 + (-1)^2} = sqrt{1+1} = sqrt{2}$.
I’dan L’ye mesafe: $sqrt{(0-1)^2 + (2-1)^2} = sqrt{(-1)^2 + 1^2} = sqrt{1+1} = sqrt{2}$.
Adım 5: Gördüğümüz gibi, I noktasının T ve L noktalarına olan uzaklıkları eşit ($sqrt{2}$). Bu durumda T, L ve I noktalarını birleştirdiğimizde bir ikizkenar üçgen oluşur ve TL kenarına ait yükseklik, açıortay ve kenarortay aynı zamanda I noktasından geçer. Soruda istenen durum budur.
Diğer şıklar için de benzer hesaplamalar yaparsak, hiçbir noktanın hem T’ye hem de L’ye eşit uzaklıkta olmadığını görürüz.
Sonuç: I noktası.