Merhaba sevgili öğrencilerim,
Ben 8. Sınıf Matematik öğretmeniniz. Gönderdiğiniz görseldeki soruları sizin için adım adım, kolayca anlayacağınız bir dille çözeceğim. Hazırsanız başlayalım!
***
Çözümlü Örnek 5: Yandaki dik üçgen dik prizma modelinde tüm ayrıtların uzunluklarını belirleyerek prizmanın açınımını çizelim.
Bu soruda bizden bir dik üçgen prizmanın bütün kenar uzunluklarını bulmamız ve sonra da bu prizmayı bir karton gibi açtığımızda nasıl görüneceğini, yani açınımını çizmemiz isteniyor. Haydi birlikte yapalım.
Adım 1: Elimizdeki Bilgileri Belirleyelim
Şekle baktığımızda prizmanın tabanının bir dik üçgen olduğunu görüyoruz. Bu dik üçgenin dik kenarlarının uzunlukları bize verilmiş:
- Birinci dik kenar (AC kenarı): 12 cm
- İkinci dik kenar (BC kenarı): 5 cm
- Prizmanın yüksekliği (CD kenarı gibi): 20 cm
Ancak tabandaki üçgenin bir kenarını, yani en uzun kenarı olan hipotenüsü (AB kenarı) bilmiyoruz. Açınımı çizebilmek için tüm kenar uzunluklarını bilmemiz gerekir.
Adım 2: Eksik Kenarı Bulalım (Pisagor Bağıntısı)
Dik üçgenlerde eksik bir kenarı bulmak için kullandığımız süper bir yardımcımız vardı: Pisagor Bağıntısı! Neydi bu kural? “Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir.”
Hemen uygulayalım:
|AB|² = 5² + 12²
|AB|² = 25 + 144
|AB|² = 169
Şimdi “Hangi sayının karesi 169’dur?” diye düşünüyoruz. Tabii ki 13! O halde, bulmamız gereken eksik kenar:
|AB| = 13 cm
Adım 3: Prizmanın Açınımını Çizelim
Artık tüm kenar uzunluklarını biliyoruz: Taban kenarları 5 cm, 12 cm, 13 cm ve yükseklik 20 cm. Bir üçgen prizmayı açtığımızda ne elde ederiz? İki tane üçgen (alt ve üst tabanlar) ve üç tane dikdörtgen (yan yüzeyler).
- Bu dikdörtgenlerin hepsinin bir kenarı prizmanın yüksekliği olan 20 cm’dir.
- Diğer kenarları ise tabandaki üçgenin kenar uzunluklarıdır: 5 cm, 12 cm ve 13 cm.
Yani açınımımızda şu şekiller olacak:
- 5 cm x 20 cm boyutunda bir dikdörtgen
- 12 cm x 20 cm boyutunda bir dikdörtgen
- 13 cm x 20 cm boyutunda bir dikdörtgen
- Kenarları 5, 12, 13 cm olan iki tane eş dik üçgen
Bu şekilleri birleştirdiğimizde, çözümde gösterilen açınımı elde ederiz.
***
Sıra Sizde 2: Yandaki dikdörtgenler prizması modelinin tüm ayrıt uzunluklarını belirleyerek açınımını çiziniz.
Şimdi de bu soruya bakalım. Bu soruda bize kenar uzunlukları cebirsel ifadelerle, yani içinde ‘x’ olan ifadelerle verilmiş bir dikdörtgenler prizması var. Gelin bu ‘x’in ne olduğunu bularak işe başlayalım.
Adım 1: Kuralı Hatırlayalım
Bir dikdörtgenler prizmasında en temel kurallardan biri şudur: Karşılıklı ayrıtların (kenarların) uzunlukları birbirine eşittir. Bu kural, özellikle prizmanın yüksekliğini oluşturan tüm dikey kenarların aynı uzunlukta olması gerektiği anlamına gelir.
Adım 2: Sorudaki Püf Noktasını Görelim
Şekle dikkatlice baktığımızda, prizmanın yüksekliği için bize iki farklı ifade verildiğini görüyoruz:
- Bir yükseklik ayrıtı (x – 1) cm
- Diğer yükseklik ayrıtı (2x – 1) cm
Az önce hatırladığımız kurala göre bu iki uzunluğun birbirine eşit olması gerekir. İşte ‘x’i bulmamızı sağlayacak denklem de tam olarak bu!
Adım 3: Denklemi Çözelim
Hemen bu iki ifadeyi birbirine eşitleyelim:
x – 1 = 2x – 1
Denklemi çözmek için bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım. Her iki tarafa da 1 eklersek, -1’ler birbirini götürür:
x = 2x
Şimdi soldaki x’i sağ tarafa atalım (yani her iki taraftan x çıkaralım):
0 = 2x – x
x = 0
Adım 4: Sonucu Yorumlayalım
Harika, x’in değerini 0 olarak bulduk! Şimdi bu değeri yerine koyarak prizmanın kenar uzunluklarını hesaplayalım:
- Yükseklik: x – 1 = 0 – 1 = -1 cm
- Taban Kenarı 1: x + 1 = 0 + 1 = 1 cm
- Taban Kenarı 2: x + 2 = 0 + 2 = 2 cm
Dur bir dakika! Bir gariplik var. Yüksekliği -1 cm bulduk. Sizce bir uzunluk negatif olabilir mi? Tabii ki hayır!
Sonuç ve Açıklama:
Matematiksel olarak denklemi doğru çözdük ancak bulduğumuz sonuç, geometrik olarak imkansız bir durumu ortaya çıkardı. Bir cismin kenar uzunluğu negatif olamaz. Bu, bize verilen soruda bir baskı hatası olduğunu gösteriyor. Sorudaki değerlerle böyle bir dikdörtgenler prizması çizmek mümkün değildir.
Dolayısıyla, bu prizmanın gerçek ayrıt uzunluklarını belirleyemediğimiz için açınımını da çizemeyiz.
Unutmayın, bazen en doğru cevap, sorunun hatalı olduğunu fark etmektir. Aferin size!