Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle birlikte cebirsel ifadeler ve özdeşlikler konusunu geometrik şekiller üzerinden pekiştireceğiz. Görseldeki soruları adım adım, hep birlikte çözeceğiz. Unutmayın, matematiğin en güzel yanı, adımları doğru takip ettiğinizde her zaman doğru sonuca ulaşmaktır. Hazırsanız başlayalım!
***
Çözümlü Örnek 1
Aşağıda kenar uzunlukları belirtilmiş geometrik şekillerin alanlarını özdeşlik olarak ifade edelim.
a) Kenar uzunlukları x – 3 ve x + 3 olan dikdörtgen
Merhaba arkadaşlar, bir dikdörtgenin alanını bulmak için kısa kenarı ile uzun kenarını çarpmamız gerektiğini biliyoruz, değil mi? Haydi, bu kuralı sorumuza uygulayalım.
- Adım 1: Alan formülünü yazalım: Alan = (Kısa Kenar) × (Uzun Kenar)
- Adım 2: Bize verilen kenar uzunluklarını formülde yerine koyalım: Alan = (x – 3) ⋅ (x + 3)
- Adım 3: Bu ifade size bir yerden tanıdık geldi mi? Evet, bu tam olarak iki kare farkı özdeşliği! Yani (a – b)(a + b) = a² – b² formülünü kullanacağız. Burada ‘a’ yerine ‘x’, ‘b’ yerine ise ‘3’ gelmiş.
- Adım 4: Özdeşliği uygulayalım: (x)² – (3)² = x² – 9
Sonuç: Dikdörtgenin alanı x² – 9 olarak bulunur. Gördüğünüz gibi özdeşlikler, uzun çarpma işlemleri yapmaktan bizi kurtarıyor!
b) Dik kenar uzunlukları 2x + 4 olan dik üçgen
Şimdi de bir dik üçgenimiz var. Üçgenin alan formülünü hatırlayalım: Taban çarpı yükseklik bölü iki. Dik üçgenlerde dik kenarlar birbirinin tabanı ve yüksekliği sayılır. Bu çok işimize yarayacak!
- Adım 1: Üçgenin alan formülü: Alan = (Taban × Yükseklik) / 2
- Adım 2: Kenar uzunluklarını yerine yazalım: Alan = [(2x + 4) ⋅ (2x + 4)] / 2. Bu da (2x + 4)² / 2 demektir.
- Adım 3: Önce pay kısmındaki (2x + 4)² ifadesini açalım. Bu bir tam kare özdeşliğidir. (a + b)² = a² + 2ab + b² formülünü kullanalım.
- Adım 4: Formülü uyguluyoruz: (2x)² + 2⋅(2x)⋅(4) + (4)² = 4x² + 16x + 16
- Adım 5: Şimdi bulduğumuz bu sonucu formül gereği 2’ye bölmeliyiz: (4x² + 16x + 16) / 2
- Adım 6: Her bir terimi tek tek 2’ye bölelim: (4x²/2) + (16x/2) + (16/2) = 2x² + 8x + 8
Sonuç: Üçgenimizin alanı 2x² + 8x + 8‘dir. Harikasınız!
c) Taban uzunluğu 5x + 3 ve bu tabana ait yüksekliği 4 olan paralelkenar
Paralelkenarın alanı, tıpkı dikdörtgen gibi, taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpılmasıyla bulunur.
- Adım 1: Paralelkenar alan formülü: Alan = Taban × Yükseklik
- Adım 2: Değerleri yerine koyalım: Alan = (5x + 3) ⋅ 4
- Adım 3: Burada çarpma işleminin dağılma özelliğini kullanacağız. Yani 4’ü parantez içindeki her bir terimle ayrı ayrı çarpacağız.
- Adım 4: İşlemi yapalım: (4 ⋅ 5x) + (4 ⋅ 3) = 20x + 12
Sonuç: Paralelkenarın alanı 20x + 12‘dir. Bu oldukça basitti, değil mi?
ç) Bir kenar uzunluğu 3x + 1 olan kare
Karenin bütün kenarları eşittir ve alanı bir kenarının kendisiyle çarpımıyla, yani karesi alınarak bulunur.
- Adım 1: Karenin alan formülü: Alan = (Kenar)²
- Adım 2: Kenar uzunluğunu yerine yazalım: Alan = (3x + 1)²
- Adım 3: Yine karşımıza bir tam kare özdeşliği çıktı! (a + b)² = a² + 2ab + b² formülünü hatırlayalım.
- Adım 4: Formülü uygulayalım: (3x)² + 2⋅(3x)⋅(1) + (1)² = 9x² + 6x + 1
Sonuç: Karenin alanı 9x² + 6x + 1 olarak ifade edilir. İşte bu kadar!
***
Sıra Sizde 1
Aşağıdaki ifadelerden hangilerinin denklem, hangilerinin özdeşlik olduklarını belirleyiniz.
Bu soruya geçmeden önce küçük bir hatırlatma yapalım.
Denklem: Değişkenin (yani x gibi harflerin) sadece bazı değerleri için doğru olan eşitliklerdir. Amacımız o değeri bulmaktır.
Özdeşlik: Değişkene vereceğiniz bütün gerçek sayı değerleri için doğru olan eşitliklerdir. Eşitliğin iki tarafı aslında birbirinin aynısıdır, sadece farklı yazılmıştır.
1. ifade: 2x – 3 = x + 1
Eşitliğin iki tarafını birbirine benzetmeye çalışalım ya da x’i bulmaya çalışalım. Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa atalım.
x, sol tarafa -x olarak; -3, sağ tarafa +3 olarak geçer.
2x – x = 1 + 3
x = 4
Bu eşitlik sadece x=4 için doğrudur. Bu yüzden bu bir Denklem‘dir.
2. ifade: 3 ⋅ (x + 10) = 3x + 30
Sol taraftaki parantezi dağılma özelliğini kullanarak açalım.
3 ⋅ x + 3 ⋅ 10 = 3x + 30
Sol taraf 3x + 30 oldu. Sağ taraf da 3x + 30.
İki taraf birbirinin tıpatıp aynısı oldu! Bu demektir ki x yerine ne yazarsak yazalım bu eşitlik her zaman doğru olacaktır. Bu bir Özdeşlik‘tir.
3. ifade: 4x² – 4x + 4 = (2x – 2)²
Sağ taraftaki tam kare ifadeyi açalım. (a – b)² = a² – 2ab + b² formülünü kullanacağız.
(2x)² – 2⋅(2x)⋅(2) + (2)² = 4x² – 8x + 4
Şimdi iki tarafı karşılaştıralım:
Sol Taraf: 4x² – 4x + 4
Sağ Taraf: 4x² – 8x + 4
Gördüğünüz gibi ortadaki terimler (-4x ve -8x) birbirinden farklı. O zaman bu eşitlik her zaman doğru olamaz. Bu bir Denklem‘dir.
4. ifade: 3x – 5 = 2x + 4
Yine x’i bulmaya çalışalım. 2x’i sola, -5’i sağa atalım.
3x – 2x = 4 + 5
x = 9
Bu eşitlik de yalnızca x=9 değeri için sağlandığından bu bir Denklem‘dir.
5. ifade: (3x + 1)² = 9x² + 6x + 1
Sol taraftaki tam kare ifadeyi açalım. (a + b)² = a² + 2ab + b² formülü ile…
(3x)² + 2⋅(3x)⋅(1) + (1)² = 9x² + 6x + 1
Sol tarafı açınca 9x² + 6x + 1 bulduk. Sağ taraf da zaten 9x² + 6x + 1.
İki taraf birbirinin aynısı olduğu için bu bir Özdeşlik‘tir.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, bol bol pratik yaparak bu konuları çok daha kolay hale getirebilirsiniz. Başarılar dilerim!