Harika sorular! Hadi gel, bu soruları birlikte adım adım, tane tane çözelim. Unutma, geometri aslında bir bulmaca gibidir ve her adım bizi doğru sonuca götürür.
9. Soru: Aşağıda kırmızı doğrularla oluşturulmuş bir koordinat sistemi ve bu koordinat sistemi üzerinde (3, -4) noktası orijin olacak şekilde mor doğrularla oluşturulmuş ikinci bir koordinat sistemi verilmiştir. A noktasına önce kırmızı doğrularla oluşturulmuş koordinat sisteminde, y eksenine göre yansıma ve x eksenine göre yansıma dönüşümleri art arda uygulanıyor. Elde edilen görüntüye mor doğrularla oluşturulmuş koordinat sisteminde, y eksenine göre yansıma ve x eksenine göre yansıma dönüşümleri art arda uygulanıyor. Son durumda elde edilen görüntünün bu iki koordinat sistemindeki koordinatlarını bulunuz.
Merhaba sevgili öğrencim, bu soru biraz uzun görünebilir ama aslında iki aşamalı basit bir dönüşüm sorusu. Sakin kalarak adım adım ilerleyelim.
Aşama 1: Kırmızı Koordinat Sistemindeki İşlemler
Adım 1: A noktasının koordinatlarını bulalım.
Grafiğe baktığımızda A noktasının x ekseninde -4’e, y ekseninde ise 3’e denk geldiğini görüyoruz. Yani A noktasının kırmızı sistemdeki koordinatları A(-4, 3)‘tür.
Adım 2: A noktasına y eksenine göre yansıma uygulayalım.
Bir noktanın y eksenine göre yansımasını alırken x koordinatının işareti değişir, y koordinatı aynı kalır. Kuralımız: (x, y) → (-x, y)
A(-4, 3) noktasının y eksenine göre yansıması ( -(-4), 3 ) yani (4, 3) olur. Bu yeni noktamıza A’ diyelim.
Adım 3: Elde ettiğimiz yeni noktaya (A’) x eksenine göre yansıma uygulayalım.
Bir noktanın x eksenine göre yansımasını alırken bu sefer de y koordinatının işareti değişir, x koordinatı aynı kalır. Kuralımız: (x, y) → (x, -y)
A'(4, 3) noktasının x eksenine göre yansıması ( 4, -3 ) olur. Bu noktamıza da B diyelim. B(4, -3).
Harika! İlk aşamayı tamamladık. Şimdi elimizdeki B(4, -3) noktasıyla mor koordinat sisteminde çalışacağız.
Aşama 2: Mor Koordinat Sistemindeki İşlemler
Adım 4: Mor sistemin ne anlama geldiğini anlayalım.
Mor sistemin orijini (yani (0,0) noktası), kırmızı sistemdeki (3, -4) noktasıymış. Bu demek oluyor ki mor sistem, kırmızı sisteme göre 3 birim sağa ve 4 birim aşağıya kaydırılmış.
Adım 5: B noktasının mor sistemdeki koordinatlarını bulalım.
B noktasının kırmızı sistemdeki koordinatı (4, -3) idi. Bu noktanın mor sistemdeki yerini bulmak için kayma miktarını çıkaracağız.
- Mor x koordinatı = (Kırmızı x) – (Kayma x) = 4 – 3 = 1
- Mor y koordinatı = (Kırmızı y) – (Kayma y) = -3 – (-4) = -3 + 4 = 1
Demek ki B noktasının mor sistemdeki koordinatları (1, 1) imiş.
Adım 6: Şimdi bu noktaya (1, 1) mor sisteme göre yansımaları uygulayalım.
Önce y eksenine göre yansıma: (1, 1) → (-1, 1)
Sonra bu yeni noktaya x eksenine göre yansıma: (-1, 1) → (-1, -1)
Süper! Son noktamızın mor sistemdeki koordinatlarını bulduk: (-1, -1).
Adım 7: Son noktanın kırmızı sistemdeki koordinatlarını bulalım.
Mor sistemdeki (-1, -1) noktasının kırmızı sistemde nereye geldiğini bulmak için bu sefer kayma miktarını ekleyeceğiz.
- Kırmızı x koordinatı = (Mor x) + (Kayma x) = -1 + 3 = 2
- Kırmızı y koordinatı = (Mor y) + (Kayma y) = -1 + (-4) = -5
Son noktamızın kırmızı sistemdeki koordinatları da (2, -5) oldu.
Sonuç:
Son durumda elde edilen görüntünün koordinatları:
- Kırmızı koordinat sistemine göre: (2, -5)
- Mor koordinat sistemine göre: (-1, -1)
10. Soru: Aşağıdaki koordinat sistemindeki şeklin, x eksenine göre yansıtıldığında oluşan görüntüsünün 6 birim sola ötelenmesi sonucu oluşacak görüntüsünü çiziniz.
Haydi bu dönüşüm geometrisi sorusunu da beraber halledelim. Bu tür sorularda en kolay yol, şeklin köşe noktalarını tek tek dönüştürmektir. Sonra bu yeni noktaları birleştirerek şekli çizebiliriz.
Adım 1: Şeklin köşe noktalarının koordinatlarını belirleyelim.
Şeklimizin 6 tane önemli köşe noktası var. Bunları yazalım:
- (1, -3)
- (1, -5)
- (2, -4)
- (4, -3)
- (4, -5)
- (5, -4)
Adım 2: Bu noktaların x eksenine göre yansımasını alalım.
Bir noktanın x eksenine göre yansımasını alırken x değeri aynı kalır, y değerinin işareti değişir. Kuralımız: (x, y) → (x, -y)
(1, -3) → (1, 3)
(1, -5) → (1, 5)
(2, -4) → (2, 4)
(4, -3) → (4, 3)
(4, -5) → (4, 5)
(5, -4) → (5, 4)
Şu an şeklimizin x eksenine göre yansıtılmış halinin köşe noktaları elimizde. Bu şekil koordinat sisteminin üst tarafında (1. bölgede) yer alıyor.
Adım 3: Şimdi bu yeni noktaları 6 birim sola öteleyelim.
Bir noktayı sola ötelemek demek, x koordinatından o kadar birim çıkarmak demektir. y koordinatı ise değişmez. Kuralımız (6 birim sola): (x, y) → (x-6, y)
(1, 3) → (1-6, 3) = (-5, 3)
(1, 5) → (1-6, 5) = (-5, 5)
(2, 4) → (2-6, 4) = (-4, 4)
(4, 3) → (4-6, 3) = (-2, 3)
(4, 5) → (4-6, 5) = (-2, 5)
(5, 4) → (5-6, 4) = (-1, 4)
Sonuç:
İşte bu kadar! Sorunun bizden istediği son şeklin köşe noktalarının koordinatları bunlardır. Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyip birleştirdiğinde, sorunun istediği son görüntüyü çizmiş olursun.
Çizilecek şeklin köşe noktaları: (-5, 3), (-5, 5), (-4, 4), (-2, 3), (-2, 5) ve (-1, 4)‘tür.