Harika sorular, sevgili öğrencim! Haydi birlikte bu soruları adım adım, anlayarak çözelim. Ben de sana bir 8. Sınıf Matematik öğretmenin olarak en anlaşılır şekilde anlatacağım.
Soru 3: Yandaki asfalt düzeltme makinesinin dik dairesel silindir biçimindeki tamburunun uzunluğu 4 m ve yarıçapı 1 m’dir. Bu asfalt düzeltme makinesinin tamburu 15 tam tur döndüğünde kaç metrekarelik asfaltı düzeltir? (π’yi 3 alınız.)
Bu soruda, asfalt silindirinin bir tam tur döndüğünde ne kadar alan kapladığını bulmamız gerekiyor. Silindirin bir tam turu, aslında onun yan yüzeyinin alanı, yani yanal alanı kadardır. Düşünsene, bir konserve kutusunun etiketini kesip açtığında bir dikdörtgen elde edersin. İşte o dikdörtgenin alanı, silindirin yanal alanıdır.
- Adım 1: Öncelikle silindirin bir tam turda düzelttiği alanı, yani yanal alanını bulalım.
Silindirin Yanal Alan Formülü: 2 * π * r * h
Burada;
- r (yarıçap) = 1 m
- h (yükseklik/uzunluk) = 4 m
- π (pi sayısı) = 3
Şimdi formülde bu değerleri yerlerine koyalım:
Yanal Alan = 2 * 3 * 1 * 4 = 24 m²
Bu, silindirin sadece bir tam tur döndüğünde düzelttiği asfalt miktarıdır.
- Adım 2: Soru bizden 15 tam turda ne kadar alan düzeltileceğini istiyor. O zaman bulduğumuz sonucu 15 ile çarpmamız yeterli.
Toplam Alan = 24 m² * 15
Toplam Alan = 360 m²
Sonuç: Asfalt düzeltme makinesi 15 tam turda 360 metrekarelik asfaltı düzeltir.
Soru 4: Kare dik prizmanın üzerine dik dairesel silindir yerleştirilerek oluşturulan yapının tüm yüzeyleri boyanacaktır. Dik dairesel silindirin taban çapı, kare dik prizmanın taban ayrıtının uzunluğuna eşittir. Buna göre boyanacak yüzey kaç santimetrekaredir? (π’yi 3 alınız.)
Çok güzel bir yüzey alanı sorusu! Bu tür birleşik cisimlerde dikkat etmemiz gereken en önemli şey, birbirine değen yüzeylerin boyanmayacağıdır. Haydi bu şeklin boyanacak kısımlarını tek tek düşünelim.
Önce sorudaki bilgileri netleştirelim:
- Silindirin taban çapı 10 cm ise, yarıçapı (r) 5 cm‘dir.
- Silindirin çapı, kare prizmanın taban ayrıtına eşitmiş. Demek ki kare prizmamızın taban ayrıtları 10 cm’ye 10 cm’dir. Yani bu bir küp! Kenar uzunluğu (a) 10 cm‘dir.
- Silindirin yüksekliği (h) de 10 cm olarak verilmiş.
Şimdi boyanacak alanı en kolay yoldan nasıl buluruz, ona bakalım.
- Adım 1: Önce alttaki küpün tüm yüzey alanını hesaplayalım. Sanki üzerinde hiçbir şey yokmuş gibi.
Küpün Yüzey Alanı Formülü: 6 * a²
Küpün Alanı = 6 * (10 * 10) = 6 * 100 = 600 cm²
- Adım 2: Şimdi silindiri düşünelim. Silindirin alt tabanı küpün üzerine yapışık olduğu için orayı boyayamayız. Küpün üst yüzeyinde de silindirin kapladığı dairesel bir alanı boyayamayız. Ama neyse ki silindirin üst tabanı da aynı alana sahip bir daire! Yani küpten kaybettiğimiz alanı, silindirin üst kapağı ile geri kazanıyoruz. Bu durumda, boyanacak alana eklememiz gereken tek şey silindirin yan yüzeyi, yani yanal alanı.
Silindirin Yanal Alan Formülü: 2 * π * r * h
Silindirin Yanal Alanı = 2 * 3 * 5 * 10 = 300 cm²
- Adım 3: Boyanacak toplam alanı bulmak için küpün toplam yüzey alanı ile silindirin yanal alanını toplamamız yeterli olacaktır.
Toplam Boyanacak Alan = Küpün Alanı + Silindirin Yanal Alanı
Toplam Boyanacak Alan = 600 + 300 = 900 cm²
Sonuç: Bu yapının boyanacak yüzeyi toplam 900 santimetrekaredir.
Soru 5: 1. dik dairesel silindirin hacminin 2. dik dairesel silindirin hacmine oranı kaçtır?
Bu soruda da silindirlerin hacimlerini bulup birbirine bölmemiz (oranlamamız) isteniyor. Hemen silindirin hacim formülünü hatırlayalım.
Silindirin Hacim Formülü: V = π * r² * h
- Adım 1: 1. Dik Dairesel Silindirin hacmini (V₁) hesaplayalım.
- Yarıçap (r₁) = 4 cm
- Yükseklik (h₁) = 18 cm
V₁ = π * (4)² * 18
V₁ = π * 16 * 18
V₁ = 288π cm³
(Burada π’yi yerine koymamıza gerek yok çünkü oranlama yaparken sadeleşecek.)
- Adım 2: 2. Dik Dairesel Silindirin hacmini (V₂) hesaplayalım.
- Dikkat! Burada çap 6 cm verilmiş. Yarıçap (r₂) çapın yarısıdır, yani 3 cm.
- Yükseklik (h₂) = 8 cm
V₂ = π * (3)² * 8
V₂ = π * 9 * 8
V₂ = 72π cm³
- Adım 3: Şimdi 1. silindirin hacmini 2. silindirin hacmine oranlayalım. Yani V₁’i V₂’ye bölelim.
Oran = V₁ / V₂ = (288π) / (72π)
Gördüğün gibi, paydaki ve paydadaki π’ler birbirini götürür.
Oran = 288 / 72
288’i 72’ye böldüğümüzde sonucu 4 buluruz.
Oran = 4
Sonuç: 1. silindirin hacminin 2. silindirin hacmine oranı 4‘tür.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!