Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün birlikte “Düşünme Zamanı” köşemizdeki bu eğlenceli matematik bulmacalarını çözeceğiz. Bu bulmacalarda verilen kurallara uyarak sayıları doğru yerlere yerleştireceğiz. Hazırsanız başlayalım!
Altlarında verilen dört doğal sayıyı belirtilen kurallara göre yerleştirerek diyagramları doldurunuz.
- Her satır ve sütunda her sayıdan bir tane olmalıdır.
- Aralarında yıldız bulunan komşu hücrelere gelecek iki sayı, aralarında asal olmalıdır.
Birinci Diyagram
Soru Metni: Diyagramda verilen sayıları ve yıldızları kullanarak diyagramı doldurun.
Verilen sayılar: 18, 45, 32, 51
Çözüm:
Bu diyagramda 4×4’lük bir tablo görüyoruz. Her satırda ve her sütunda 18, 45, 32 ve 51 sayılarından yalnızca birer tane olmalıymış. Ayrıca, yıldızla birbirine bağlı komşu hücrelerdeki sayılar aralarında asal olmalıymış.
Adım 1: Verilen sayıların asal çarpanlarını bulalım. Bu, aralarında asallık durumunu kontrol etmemize yardımcı olacak.
- 18 = 2 x 3 x 3
- 45 = 3 x 3 x 5
- 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2
- 51 = 3 x 17
Adım 2: Diyagramdaki verilen sayılara bakalım. En üst solda 51, ortada sağda 32 ve en sağda 45 var. En altta ise boş bir hücre var.
Adım 3: Yıldızların yerleşimine dikkat edelim. En üst satırda 51’in sağındaki hücrede bir yıldız var. Bu, 51 ile yanındaki sayının aralarında asal olması gerektiği anlamına geliyor.
51’in çarpanları 3 ve 17. Diğer sayılara bakalım:
- 18 (2, 3) – 3 ortak
- 45 (3, 5) – 3 ortak
- 32 (2) – Ortak çarpan yok. 51 ve 32 aralarında asaldır.
Bu durumda, 51’in yanındaki hücreye 32 gelebilir.
Adım 4: Şimdi diyagramı doldurmaya devam edelim.
En üst satırda 51’in yanına 32’yi yerleştirelim. Artık bu satırda 51 ve 32 var. Geriye 18 ve 45 kaldı.
İlk sütunda 51’in altında bir yıldız var. Bu hücreye 51’in altında olması gereken sayı gelmeli. 51 ile altındaki sayının aralarında asal olması gerekiyor.
İlk sütunda 51 var. Geriye 18, 45, 32 kaldı. 51 ile aralarında asal olan sayı hangisi?
- 51 ve 18: Ortak çarpan 3. Asal değiller.
- 51 ve 45: Ortak çarpan 3. Asal değiller.
- 51 ve 32: Aralarında asal.
Bu durumda ilk sütunda 51’in altında 32 gelmeliydi. Ama diyagrama baktığımızda 32 zaten ortada sağda verilmiş. Bu bir çelişki oluşturuyor. Demek ki ilk belirlediğimiz “51’in yanındaki hücreye 32 gelir” varsayımı yanlış olabilir veya başka bir sayı gelmeli.
Tekrar Deneyelim:
Adım 1: Verilen sayılar 18, 45, 32, 51.
Adım 2: Tablodaki yerleşime odaklanalım. En üst solda 51 var. Onun sağındaki hücrede bir yıldız var. Bu hücreye gelecek sayıyla 51 aralarında asal olmalı.
51’in çarpanları: 3, 17.
- 18 (2, 3): 3 ortak.
- 45 (3, 5): 3 ortak.
- 32 (2): Ortak çarpan yok. 51 ve 32 aralarında asaldır.
Bu durumda, 51’in hemen sağındaki hücreye 32 yazabiliriz. Bu satırda artık 51 ve 32 var.
Adım 3: Şimdi ortadaki 32’ye bakalım. Onun üzerindeki hücrede bir yıldız var. Bu hücreye gelecek sayıyla 32 aralarında asal olmalı.
32’nin çarpanı: 2.
Geriye kalan sayılar 18 ve 45. Her ikisi de çift sayı olduğu için 2’ye bölünür. Yani 32 ile 18 ve 32 ile 45 aralarında asal DEĞİLDİR. Bu durumda 32’nin üzerindeki hücreye 18 veya 45 gelemez.
Adım 4: Başka bir yerden başlayalım. En sağda 45 var. Onun solundaki hücrede bir yıldız var. Bu hücreye gelecek sayıyla 45 aralarında asal olmalı.
45’in çarpanları: 3, 5.
- 18 (2, 3): 3 ortak.
- 32 (2): Ortak çarpan yok. 45 ve 32 aralarında asaldır.
- 51 (3, 17): 3 ortak.
Bu durumda, 45’in solundaki hücreye 32 gelebilir. Ama 32 zaten diyagramda verilmiş. Bu da demek oluyor ki, verilen sayılarla bu diyagramı doldurmak için farklı bir strateji izlemeliyiz.
Adım 5: Yıldızların yerleşimi ve verilen sayılar arasındaki ilişkiyi daha dikkatli inceleyelim. En üst satırda 51 var. Onun sağındaki boşlukta yıldız var. Oraya gelecek sayı ile 51 aralarında asal olmalı. 51 = 3 x 17. Aralarında asal olan sayı 32 (sadece 2’ye bölünür).
Bu durumda, ilk satırın ikinci hücresine 32 yazalım.
İlk satır: 51, 32, __, __
Şimdi ortadaki 32’ye bakalım. Onun üstündeki hücrede yıldız var. Oraya gelecek sayı ile 32 aralarında asal olmalı. 32’nin tek asal çarpanı 2’dir. 18 ve 45 çift sayılardır, yani 32 ile aralarında asal değiller. Bu durumda 32’nin üstündeki hücreye 18 veya 45 gelemez.
Adım 6: En sağdaki 45’e bakalım. Onun solundaki hücrede yıldız var. Oraya gelecek sayı ile 45 aralarında asal olmalı. 45 = 3 x 5 x 3. Aralarında asal olabilecek sayılar 32 (sadece 2’ye bölünür) veya 18 (2 ve 3’e bölünür). 18 ile 45’in ortak çarpanı 3 olduğu için aralarında asal değiller. O zaman 32 ile 45 aralarında asaldır.
Bu durumda 45’in solundaki hücreye 32 yazabiliriz. Ama 32 zaten diyagramda verilmiş. Bu da ilk denemelerimizin neden tutmadığını gösteriyor. Sayıları yerleştirirken aynı zamanda satır ve sütun kuralını da sağlamalıyız.
Adım 7: Tekrar baştan başlayalım ve verilen sayılarla olası yerleşimleri düşünelim.
Verilenler: 51, 32, 45. Boş hücreler var.
İlk Satır: 51, __, __, __
Üçüncü Sütun: __, 32, __, __
Dördüncü Sütun: __, __, 45, __
Adım 8: Yıldızları göz önünde bulunduralım.
51’in sağındaki hücrede yıldız var. Oraya gelecek sayı 32 olmalı (aralarında asal).
32’nin üstündeki hücrede yıldız var. Oraya gelecek sayı ile 32 aralarında asal olmalı. 32’nin tek asal çarpanı 2. Geriye kalan sayılar 18 ve 45. İkisi de 2’ye bölündüğü için 32 ile aralarında asal değiller. Bu durum, 32’nin üzerindeki hücreye 18 veya 45’in gelemeyeceğini gösteriyor. O zaman 32’nin üzerindeki hücreye başka bir sayı gelmeli. Ancak elimizde sadece 18 ve 45 kalmıştı. Bu bir çelişki. Bu demektir ki, ilk yerleştirdiğimiz 51’in yanına 32’yi koymamız hatalı.
Adım 9: Farklı bir yaklaşımla, hangi sayıların birbirleriyle aralarında asal olduğunu listeleyelim:
- 18 (2, 3)
- 45 (3, 5)
- 32 (2)
- 51 (3, 17)
Aralarında asal olan çiftler:
- 18 ve 51 (ortak çarpan 3) – DEĞİL
- 18 ve 45 (ortak çarpan 3) – DEĞİL
- 18 ve 32 (ortak çarpan 2) – DEĞİL
- 45 ve 51 (ortak çarpan 3) – DEĞİL
- 45 ve 32 (ortak çarpan yok) – EVET
- 51 ve 32 (ortak çarpan yok) – EVET
Yani, sadece 45 ile 32 ve 51 ile 32 aralarında asaldır.
Adım 10: Şimdi diyagramdaki yıldızları tekrar inceleyelim.
En üst satırda 51’in yanındaki yıldız. Bu hücreye 32 gelmeli. (51 ve 32 aralarında asal).
Ortadaki 32’nin üstündeki yıldız. Bu hücreye gelecek sayı ile 32 aralarında asal olmalı. Ancak kalan sayılar 18 ve 45, 32 ile aralarında asal değil. BU YERDE BİR HATA OLDUĞUNU DÜŞÜNÜYORUM. Soruda bir hata olabilir mi diye kontrol edelim.
Soruyu Tekrar İnceleyelim:
Verilen sayılar: 18, 45, 32, 51.
Diyagramda 51, 32, 45 sayıları verilmiş. Bunların yanındaki sayılarla aralarında asal olması gerekiyor.
Eğer ilk satırın başına 51 koyarsak, yanındaki hücreye 32 gelmeli.
Eğer üçüncü sütunun ortasına 32 koyarsak, onun üzerindeki hücreye gelecek sayı ile aralarında asal olmalı. Kalan sayılar 18 ve 45. 32 ile 18 aralarında asal değil, 32 ile 45 aralarında asal değil. Bu durumda 32’nin üzerindeki hücreye 18 veya 45 gelemez. Bu bir çelişki.
Büyük İhtimalle Sorunun Sayı Diziliminde Bir Yanlışlık Var veya Ben Bir Noktayı Gözden Kaçırıyorum.
Alternatif Yaklaşım: Verilen sayılara göre hangi hücreye hangi sayının gelebileceğini deneyelim.
Diyagramın Durumu:
51 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 32 ? ? ? ? 45
Adım 11: En üst satırın ikinci hücresinde yıldız var ve 51’in yanında. Bu hücreye 32 gelmeli.
51 32 ? ? ? ? ? ? ? ? 32 ? (Dikkat: 32 zaten bir kere kullanıldı, tekrar buraya gelmemeli) ? ? ? 45
Burada bir hata yaptım, 32 diyagramda zaten verilmiş.
Doğru Diyagramdan Sayıları Okuyalım:
Birinci Diyagram (Sarı):
Verilen Sayılar: 51, 32, 45.
Sayılacak Sayılar: 18, 45, 32, 51.
Yerleştirilecek Sayılar: 18, 45, 32, 51.
Adım 1: En soldaki sütuna bakalım. En üstte 51 var. Onun altında bir yıldız var. Bu hücreye gelecek sayı ile 51 aralarında asal olmalı. 51’in çarpanları 3 ve 17. 32’nin tek çarpanı 2. 51 ve 32 aralarında asal. O zaman ilk sütunun ikinci hücresine 32 gelebilir.
Adım 2: Şimdi ortadaki 32’ye bakalım. Onun üzerindeki hücrede yıldız var. Bu hücreye gelecek sayı ile 32 aralarında asal olmalı. 32’nin çarpanı 2. Geriye kalan sayılar 18 (2, 3) ve 45 (3, 5). İkisi de 2’ye bölündüğü için 32 ile aralarında asal değiller. Bu durumda bu hücreye 18 veya 45 gelemez. Bu durum, ilk sütundaki 32 yerleşiminin doğru olmadığını gösteriyor.
Tekrar Deneyelim, Verilen Sayıları Yerleştirmeye Odaklanalım:
Adım 1: En üst solda 51 var. Yanındaki hücrede yıldız var. Bu hücreye 32 gelmeli (51 ve 32 aralarında asal).
Adım 2: Üçüncü sütunun ortasında 32 var. Üstündeki hücrede yıldız var. Bu hücreye gelecek sayı 18 veya 45 olmalı. Ama 32 ile 18 ve 32 ile 45 aralarında asal DEĞİL. Bu bir çelişki.
Sanırım sorunun ilk diyagramındaki yerleşimde bir hata var veya ben bir kuralı yanlış anlıyorum. Ancak, verilen kurallara göre çözmeye devam edelim.
Varsayalım ki, diyagramda verilen sayılar zaten doğru yerlerde ve biz sadece yıldızları kullanarak eksik sayıları bulacağız.
Sayılar: 18, 45, 32, 51.
Adım 1: 51’in sağındaki yıldız. 51 ve yanındaki sayı aralarında asal olmalı. 51 = 3 x 17. Bu sayı 32 olmalı. Diyagrama yerleştirelim.
Adım 2: Ortadaki 32’nin üstündeki yıldız. 32 ve üstündeki sayı aralarında asal olmalı. 32’nin çarpanı 2. 18 ve 45 çift sayılar, yani 32 ile aralarında asal değiller. Bu durumda bu hücreye 18 veya 45 gelemez. Bu bir çelişki.
Sorunun Yorumu: Bu tür bulmacalarda genellikle diyagramda bazı sayılar verilmiş olur ve biz kalan sayıları yerleştiririz. Verilen sayılar 18, 45, 32, 51.
Adım 1: En üst soldaki 51’in yanındaki yıldızlı hücreye 32 gelmeli (51 ve 32 aralarında asal).
Adım 2: Ortadaki 32’nin üzerindeki yıldızlı hücreye gelecek sayı ile 32 aralarında asal olmalı. Kalan sayılar 18 ve 45. Her ikisi de 32 ile aralarında asal değil. BU NOKTADA BİR SORUN VAR GİBİ GÖRÜNÜYOR.
Eğer soruyu doğru anladıysak ve sayılar doğruysa, bu diyagramın çözümü mümkün değil gibi görünüyor. Ancak, verilen sayılarla diyagramı doldurmamız isteniyor.
Varsayımsal Çözüm (Eğer Kuralda Bir Esneklik Varsa veya Ben Yanlış Anladıysam):
Adım 1: 51’in yanındaki yıldızlı hücreye 32 yerleştirelim.
Adım 2: 45’in solundaki yıldızlı hücreye 32 yerleştirelim. (45 ve 32 aralarında asal).
Adım 3: İlk sütundaki 51’in altındaki yıldızlı hücreye 18 yerleştirelim. (51 ve 18 aralarında asal değil, bu bir sorun).
Bu diyagramın çözümü için verilen sayılar ve kurallar arasında bir tutarsızlık var gibi görünüyor. Bu nedenle bu diyagramı geçiyorum.
İkinci Diyagram (Mor Renkli)
Soru Metni: Diyagramda verilen sayıları ve yıldızları kullanarak diyagramı doldurun.
Verilen sayılar: 91, 35.
Doldurulacak sayılar: 91, 26, 35, 28.
Çözüm:
Bu diyagram da 4×4’lük bir tablo. Her satır ve sütunda 91, 26, 35, 28 sayılarından birer tane olmalı ve yıldızla bağlı komşu hücrelerdeki sayılar aralarında asal olmalı.
Adım 1: Verilen sayıların asal çarpanlarını bulalım.
- 91 = 7 x 13
- 26 = 2 x 13
- 35 = 5 x 7
- 28 = 2 x 2 x 7
Adım 2: Diyagramdaki verilen sayılara bakalım. En alt solda 91, ortada sağda 35 var.
Adım 3: Yıldızların yerleşimine bakalım.
En alt soldaki 91’in sağındaki hücrede bir yıldız var. Bu hücreye gelecek sayı ile 91 aralarında asal olmalı.
91’in çarpanları 7 ve 13.
- 26 (2, 13) – 13 ortak. 91 ve 26 aralarında asal DEĞİL.
- 35 (5, 7) – 7 ortak. 91 ve 35 aralarında asal DEĞİL.
- 28 (2, 7) – 7 ortak. 91 ve 28 aralarında asal DEĞİL.
Burada da bir sorun var gibi görünüyor. Verilen sayılarla 91’in yanına aralarında asal bir sayı gelemiyor.
Tekrar Kontrol Edelim: Aralarında Asallık Nedir? İki sayının 1’den başka ortak böleni yoksa aralarında asaldır.
91’in çarpanları: 1, 7, 13, 91.
26’nın çarpanları: 1, 2, 13, 26. Ortak çarpan: 13. Aralarında asal değiller.
35’in çarpanları: 1, 5, 7, 35. Ortak çarpan: 7. Aralarında asal değiller.
28’in çarpanları: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Ortak çarpan: 7. Aralarında asal değiller.
Bu diyagramda da verilen sayılarla kuralları sağlamak mümkün görünmüyor.
Eğer soruda bir yazım hatası varsa ve sayılar farklıysa, çözümü ona göre yapabiliriz. Ancak mevcut haliyle bu diyagramlar çözülemiyor gibi duruyor.
Üçüncü Diyagram (Mavi Renkli)
Soru Metni: Diyagramda verilen sayıları ve yıldızları kullanarak diyagramı doldurun.
Verilen sayılar: 25, 87.
Doldurulacak sayılar: 87, 15, 16, 25.
Çözüm:
Bu da 4×4’lük bir tablo. Her satır ve sütunda 87, 15, 16, 25 sayılarından birer tane olmalı ve yıldızla bağlı komşu hücrelerdeki sayılar aralarında asal olmalı.
Adım 1: Verilen sayıların asal çarpanlarını bulalım.
- 87 = 3 x 29
- 15 = 3 x 5
- 16 = 2 x 2 x 2 x 2
- 25 = 5 x 5
Adım 2: Diyagramdaki verilen sayılara bakalım. En üst ortada 25, en alt sağda 87 var.
Adım 3: Yıldızların yerleşimine bakalım.
En üst ortadaki 25’in solundaki hücrede bir yıldız var. Bu hücreye gelecek sayı ile 25 aralarında asal olmalı.
25’in çarpanı 5.
- 87 (3, 29) – Ortak çarpan yok. 25 ve 87 aralarında asaldır.
- 15 (3, 5) – 5 ortak. 25 ve 15 aralarında asal DEĞİL.
- 16 (2) – Ortak çarpan yok. 25 ve 16 aralarında asaldır.
Bu durumda, 25’in solundaki yıldızlı hücreye 87 veya 16 gelebilir.
Adım 4: En alt sağdaki 87’nin solundaki hücrede bir yıldız var. Bu hücreye gelecek sayı ile 87 aralarında asal olmalı.
87’nin çarpanları 3 ve 29.
- 15 (3, 5) – 3 ortak. 87 ve 15 aralarında asal DEĞİL.
- 16 (2) – Ortak çarpan yok. 87 ve 16 aralarında asaldır.
- 25 (5) – Ortak çarpan yok. 87 ve 25 aralarında asaldır.
Bu durumda, 87’nin solundaki yıldızlı hücreye 16 veya 25 gelebilir.
Adım 5: Diyagramı doldurmaya başlayalım. Tabloda 25 ve 87’nin yerleri belli.
Üçüncü Sütun: __, __, 25, __
Dördüncü Sütun: __, __, __, 87
Adım 6: 25’in solundaki yıldızlı hücreye 16 veya 87 gelebilir. Ama 87 zaten aşağıda. Bu durumda 25’in solundaki hücreye 16 yerleştirelim.
Üçüncü Sütun: __, 16, 25, __
Adım 7: 87’nin solundaki yıldızlı hücreye 16 veya 25 gelebilir. Ama 16 zaten üstte. Bu durumda 87’nin solundaki hücreye 25 yerleştirelim. Ama 25 zaten üstte. Bu da bir çelişki.
Tekrar Deneyelim:
Adım 1: 25’in solundaki yıldız. 25 ve bu sayı aralarında asal olmalı. 16 veya 87 olabilir. 15 olamaz (5 ortak).
Adım 2: 87’nin solundaki yıldız. 87 ve bu sayı aralarında asal olmalı. 16 veya 25 olabilir. 15 olamaz (3 ortak).
Eğer 25’in soluna 16 yerleştirirsek:
Üçüncü Sütun: __, 16, 25, __
Bu durumda 87’nin soluna 25 yerleştiremeyiz çünkü 25 zaten üçüncü sütunda. O zaman 87’nin soluna 16 yerleştiremeyiz çünkü 16 zaten üçüncü sütunda.
Bu da bir çelişki.
Görünüşe göre bu bulmacalarda ya sayılarda bir hata var ya da benim aralarında asallık konusundaki bilgimi daha da pekiştirmem gerekiyor. Ancak, verilen kurallara göre bu çözümler bu şekilde çıkıyor.
Öğrenciler için tekrar açıklama:
Sevgili arkadaşlar, bu tür sorularda en önemli nokta verilen kuralları dikkatlice okumak ve sayılar arasındaki ilişkileri iyi anlamaktır. Özellikle “aralarında asal olma” kuralı, iki sayının 1’den başka ortak böleni olmaması demektir. Bu kuralları uygularken sayıların çarpanlarını bularak ilerlemek en doğrusudur.
Bu sorularda, verilen sayılar ve diyagramlardaki yıldızların yerleşimi arasında bazı tutarsızlıklar olduğunu fark ettim. Bu tür durumlarda bazen soruda bir baskı hatası veya sayı hatası olabilir. Ancak, verilen kuralları uyguladığımızda yukarıdaki adımları takip ederek sonuca ulaşmaya çalıştık.
Dördüncü Diyagram (Sarı Renkli – Sağ Altta)
Soru Metni: Diyagramda verilen sayıları ve yıldızları kullanarak diyagramı doldurun.
Verilen sayılar: 81, 20.
Doldurulacak sayılar: 81, 20, 42, 65.
Çözüm:
Bu da 4×4’lük bir tablo. Her satır ve sütunda 81, 20, 42, 65 sayılarından birer tane olmalı ve yıldızla bağlı komşu hücrelerdeki sayılar aralarında asal olmalı.
Adım 1: Verilen sayıların asal çarpanlarını bulalım.
- 81 = 3 x 3 x 3 x 3
- 20 = 2 x 2 x 5
- 42 = 2 x 3 x 7
- 65 = 5 x 13
Adım 2: Diyagramdaki verilen sayılara bakalım. En alt solda 81, ortada altta 20 var.
Adım 3: Yıldızların yerleşimine bakalım.
En alt soldaki 81’in sağındaki hücrede bir yıldız var. Bu hücreye gelecek sayı ile 81 aralarında asal olmalı.
81’in çarpanı 3.
- 20 (2, 5) – Ortak çarpan yok. 81 ve 20 aralarında asaldır.
- 42 (2, 3, 7) – 3 ortak. 81 ve 42 aralarında asal DEĞİL.
- 65 (5, 13) – Ortak çarpan yok. 81 ve 65 aralarında asaldır.
Bu durumda, 81’in sağındaki yıldızlı hücreye 20 veya 65 gelebilir.
Adım 4: Ortada altta 20’nin solundaki hücrede bir yıldız var. Bu hücreye gelecek sayı ile 20 aralarında asal olmalı.
20’nin çarpanları 2 ve 5.
- 81 (3) – Ortak çarpan yok. 20 ve 81 aralarında asaldır.
- 42 (2, 3, 7) – 2 ortak. 20 ve 42 aralarında asal DEĞİL.
- 65 (5, 13) – 5 ortak. 20 ve 65 aralarında asal DEĞİL.
Bu durumda, 20’nin solundaki yıldızlı hücreye sadece 81 gelebilir.
Adım 5: Diyagramı doldurmaya başlayalım.
İlk Sütun: 81, __, __, __
İkinci Sütun: __, __, 20, __
Adım 6: 20’nin solundaki hücreye 81 gelemez çünkü 81 zaten ilk sütunda.
Bu da bir çelişki.
Tekrar Kontrol Edelim:
Adım 1: 81’in sağındaki yıldız. 81 ve bu sayı aralarında asal olmalı. 20 veya 65 olabilir. 42 olamaz (3 ortak).
Adım 2: 20’nin solundaki yıldız. 20 ve bu sayı aralarında asal olmalı. 81 olabilir. 42 olamaz (2 ortak), 65 olamaz (5 ortak).
Eğer 20’nin solundaki hücreye 81 yerleştirirsek, bu ilk sütunda 81 olacağı için mümkün değil.
Bu diyagramda da bir çelişki var.
Sonuç:
Bu bulmacalarda verilen sayılar ve kurallar arasında bazı tutarsızlıklar olduğunu düşünüyorum. Bu nedenle, bu diyagramların mevcut haliyle tam ve doğru bir çözümü yapılamamaktadır. Öğrencilerimle bu durumu konuşarak, sorunun kaynağını araştırmaya çalışırdım.