Harika bir “Düşünme Zamanı” etkinliği! Merhaba sevgili öğrencim, ben senin 8. Sınıf Matematik Öğretmeninim. Bu soruları birlikte, adım adım ve kolayca anlayacağın bir dille çözeceğiz. Hazırsan başlayalım!
Öncelikle sorunun bizden ne istediğini tam olarak anlayalım. Elimizde dikdörtgen şeklinde kartonlar var ve bunları kıvırarak silindirler oluşturacağız. Bir dikdörtgeni iki farklı şekilde kıvırabiliriz: ya uzun kenarı etrafında ya da kısa kenarı etrafında. Bu da bize iki farklı silindir ve dolayısıyla iki farklı hacim verir. Soru bizden, her bir dikdörtgen için oluşturabileceğimiz en büyük hacimli silindiri bulmamızı istiyor. Silindirin hacim formülünü hatırlayalım: V = π * r² * h (π çarpı yarıçapın karesi çarpı yükseklik). Soruda π’yi 3 almamız istenmiş.
Öğretmeninin Notu: Sevgili öğrencim, burada bir püf noktası var! Bir dikdörtgenden en büyük hacimli silindiri elde etmek istiyorsan, her zaman uzun olan kenarı silindirin taban çevresi olarak kullanmalısın. Bu sayede yarıçap daha büyük olur ve yarıçapın karesini aldığımız için hacim de daha büyük çıkar. Bütün soruları bu pratik bilgiyle çözeceğiz.
Soru: Aşağıdaki dikdörtgenler altı farklı silindirin açınımındaki dikdörtgenlerdir. Verilenlere göre bu silindirlerin hacimlerinin alabileceği en büyük değer kaç birimküptür? Hesaplayınız. (π = 3 alınız.)
a) Kenarları 8 birim ve 12 birim olan dikdörtgen
Çözüm:
Adım 1: En büyük hacmi bulmak için uzun kenarı, yani 12 birimi, silindirin tabanının çevresi olarak kabul ediyoruz. Bu durumda kısa kenar olan 8 birim de silindirin yüksekliği (h) olur.
Taban Çevresi = 12 birim
Yükseklik (h) = 8 birim
Adım 2: Taban çevresinden yarıçapı (r) bulalım. Taban çevresi formülü: Çevre = 2 * π * r
12 = 2 * 3 * r
12 = 6 * r
r = 12 / 6 = 2 birim
Adım 3: Artık hacmi hesaplayabiliriz. Hacim formülü: V = π * r² * h
V = 3 * (2)² * 8
V = 3 * 4 * 8
V = 12 * 8 = 96 birimküp
Sonuç: 96
b) Kenarları 18 birim ve 20 birim olan dikdörtgen
Çözüm:
Adım 1: En büyük hacim için uzun kenarı, yani 20 birimi, taban çevresi olarak alıyoruz. Yüksekliğimiz (h) ise 18 birim oluyor.
Taban Çevresi = 20 birim
Yükseklik (h) = 18 birim
Adım 2: Yarıçapı (r) bulalım.
20 = 2 * 3 * r
20 = 6 * r
r = 20 / 6 = 10 / 3 birim (Sadeleştirdik, kesirli kalabilir, sorun değil!)
Adım 3: Hacmi hesaplayalım.
V = 3 * (10/3)² * 18
V = 3 * (100/9) * 18
V = (3 * 100 * 18) / 9 (Burada 18 ile 9’u sadeleştirebiliriz)
V = 3 * 100 * 2 = 600 birimküp
Sonuç: 600
c) Kenarları 6 birim ve 12 birim olan dikdörtgen
Çözüm:
Adım 1: Uzun kenarımız 12 birim, bu bizim taban çevremiz olacak. Yüksekliğimiz (h) ise 6 birim.
Taban Çevresi = 12 birim
Yükseklik (h) = 6 birim
Adım 2: Yarıçapı (r) bulalım.
12 = 2 * 3 * r
12 = 6 * r
r = 2 birim
Adım 3: Hacmi hesaplayalım.
V = 3 * (2)² * 6
V = 3 * 4 * 6
V = 12 * 6 = 72 birimküp
Sonuç: 72
ç) Kenarları 8 birim ve 15 birim olan dikdörtgen
Çözüm:
Adım 1: Uzun kenarımız 15 birim, bu bizim taban çevremiz olacak. Yüksekliğimiz (h) ise 8 birim.
Taban Çevresi = 15 birim
Yükseklik (h) = 8 birim
Adım 2: Yarıçapı (r) bulalım.
15 = 2 * 3 * r
15 = 6 * r
r = 15 / 6 = 5 / 2 birim (Sadeleştirdik)
Adım 3: Hacmi hesaplayalım.
V = 3 * (5/2)² * 8
V = 3 * (25/4) * 8
V = (3 * 25 * 8) / 4 (Burada 8 ile 4’ü sadeleştirebiliriz)
V = 3 * 25 * 2 = 150 birimküp
Sonuç: 150
d) Kenarları 9 birim ve 16 birim olan dikdörtgen
Çözüm:
Adım 1: Uzun kenarımız 16 birim, taban çevremiz bu olacak. Yüksekliğimiz (h) ise 9 birim.
Taban Çevresi = 16 birim
Yükseklik (h) = 9 birim
Adım 2: Yarıçapı (r) bulalım.
16 = 2 * 3 * r
16 = 6 * r
r = 16 / 6 = 8 / 3 birim (Sadeleştirdik)
Adım 3: Hacmi hesaplayalım.
V = 3 * (8/3)² * 9
V = 3 * (64/9) * 9 (Burada 9’lar birbirini götürür)
V = 3 * 64 = 192 birimküp
Sonuç: 192
e) Kenarları 12 birim ve 18 birim olan dikdörtgen
Çözüm:
Adım 1: Uzun kenarımız 18 birim, bu bizim taban çevremiz olacak. Yüksekliğimiz (h) ise 12 birim.
Taban Çevresi = 18 birim
Yükseklik (h) = 12 birim
Adım 2: Yarıçapı (r) bulalım.
18 = 2 * 3 * r
18 = 6 * r
r = 3 birim
Adım 3: Hacmi hesaplayalım.
V = 3 * (3)² * 12
V = 3 * 9 * 12
V = 27 * 12 = 324 birimküp
Sonuç: 324
Umarım tüm çözümleri ve mantığını kolayca anlamışsındır. Unutma, matematikte bazen böyle küçük ipuçları ve püf noktaları işini çok kolaylaştırabilir. Başarılar dilerim!