Merhaba arkadaşlar, ben sizin 8. sınıf matematik öğretmeniniz. Bugün birlikte cebirsel ifadelerle çarpma işlemini, en sevdiğimiz yöntemlerden biri olan cebir karoları kullanarak nasıl yapacağımızı öğreneceğiz. Bu karolar, soyut gibi görünen matematiği gözümüzle görmemizi ve daha iyi anlamamızı sağlar.
Haydi, alıştırmaları adım adım çözmeye başlayalım!
Soru 1: Aşağıdaki çarpma işlemlerini cebir karolarını kullanarak yapınız.
Unutmayalım, cebir karolarıyla çarpma işlemi aslında bir dikdörtgenin alanını bulmak gibidir. Çarptığımız ifadeler dikdörtgenin kenarları, işlemin sonucu ise o dikdörtgenin içini dolduran karoların toplamıdır.
a) (2x + 1) ∙ x
Bu işlemi çözmek için kenar uzunlukları (2x + 1) ve x olan bir dikdörtgen oluşturacağız.
- Adım 1: Dikdörtgenimizin bir kenarını ‘x’ karosu ile temsil edelim. Bu bizim kısa kenarımız olsun.
- Adım 2: Diğer kenarımızı ise ‘(2x + 1)’ olarak oluşturalım. Yani, yan yana iki tane ‘x’ karosu ve bir tane ‘1’ karosu koyalım. Bu da uzun kenarımız olur.
- Adım 3: Şimdi bu kenarları birleştirerek dikdörtgenin içini dolduralım. Her bir kenardaki karoyu birbiriyle çarpacağız.
x karosu ile x karosunun çarpımı bize bir x² karosu verir (büyük kare).
x karosu ile 1 karosunun çarpımı ise bize bir x karosu verir (dikdörtgen).
- Adım 4: Çarpma işlemini yapalım:
- Kenardaki ilk ‘x’ ile diğer kenardaki ‘x’ çarpılır: x²
- Kenardaki ikinci ‘x’ ile diğer kenardaki ‘x’ çarpılır: x²
- Kenardaki ‘1’ ile diğer kenardaki ‘x’ çarpılır: x
- Adım 5: Şimdi dikdörtgenin içinde oluşan karoları sayalım. İki tane x² karomuz ve bir tane x karomuz oldu.
Sonuç: Bu karoları cebirsel olarak ifade ettiğimizde sonuç 2x² + x olur.
b) (3x + 1) ∙ (x + 2)
Şimdi de iki tane iki terimli ifadeyi çarpalım. Kenarlarımız (3x + 1) ve (x + 2) olacak.
- Adım 1: Bir kenara ‘(3x + 1)’ i yerleştirelim. Yani üç tane ‘x’ karosu ve bir tane ‘1’ karosu.
- Adım 2: Diğer kenara da ‘(x + 2)’ yi yerleştirelim. Yani bir tane ‘x’ karosu ve iki tane ‘1’ karosu.
- Adım 3: Haydi içini dolduralım! Her bir karoyu birbiriyle çarpıyoruz.
Bu sefer dört farklı çarpma yapacağız:
(3x) ∙ (x) = 3x²
(3x) ∙ (2) = 6x
(1) ∙ (x) = x
(1) ∙ (2) = 2
- Adım 4: Şimdi içerde oluşan karoları sayalım:
- x² karoları (büyük kareler): 3 tane ‘x’ karosu ile 1 tane ‘x’ karosunun kesişiminden 3 tane x² karosu oluşur.
- x karoları (dikdörtgenler): 3 tane ‘x’ karosu ile 2 tane ‘1’ karosunun kesişiminden 6 tane x karosu; 1 tane ‘1’ karosu ile 1 tane ‘x’ karosunun kesişiminden de 1 tane x karosu oluşur. Toplamda 6 + 1 = 7 tane x karomuz oldu.
- 1 karoları (küçük kareler): 1 tane ‘1’ karosu ile 2 tane ‘1’ karosunun kesişiminden 2 tane 1 karosu oluşur.
Sonuç: Tüm karoları topladığımızda sonuç 3x² + 7x + 2 olarak bulunur.
Soru 2: Aşağıda cebir karoları ile verilen çarpma işlemlerini yazınız ve bunların sonucunu bulunuz.
Bu soruda ise bize model verilmiş, bizden bu modelin hangi çarpma işlemine ait olduğunu ve sonucunu bulmamız isteniyor. Yapmamız gereken tek şey, modelin kenarlarına ve içine bakmak!
a)
- Adım 1: İşlemi Bulalım. Modelin kenarlarına bakalım.
- Modelin üst kenarında iki tane ‘x’ karosu ve iki tane ‘1’ karosu var. O zaman bu kenar (2x + 2)‘dir.
- Modelin sol kenarında bir tane ‘x’ karosu ve iki tane ‘1’ karosu var. Bu kenar ise (x + 2)‘dir.
O halde bu modelin gösterdiği çarpma işlemi: (2x + 2) ∙ (x + 2)
- Adım 2: Sonucu Bulalım. Şimdi de modelin içindeki karoları sayalım.
- Büyük kareler (x²): 2 tane
- Dikdörtgenler (x): 6 tane
- Küçük kareler (1): 4 tane
Sonuç: Modelin sonucu, yani içindeki karoların toplamı 2x² + 6x + 4‘tür.
b)
- Adım 1: İşlemi Bulalım. Yine modelin kenarlarına odaklanıyoruz.
- Üst kenarda iki tane ‘x’ karosu ve bir tane ‘1’ karosu görüyoruz. Bu kenar (2x + 1)‘i temsil ediyor.
- Sol kenarda ise üç tane ‘x’ karosu ve bir tane ‘1’ karosu var. Bu kenar da (3x + 1)‘i temsil ediyor.
Buna göre, bu modeldeki çarpma işlemi: (3x + 1) ∙ (2x + 1)
- Adım 2: Sonucu Bulalım. Modelin içindeki karoları sayma zamanı!
- Büyük kareler (x²): 6 tane
- Dikdörtgenler (x): 5 tane
- Küçük kareler (1): 1 tane
Sonuç: Modelin içindeki karoların cebirsel ifadesi 6x² + 5x + 1‘dir.
Gördüğünüz gibi, cebir karoları çarpma işlemini bir yapboz gibi eğlenceli hale getiriyor. Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim!