Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle Ünite 5’teki benzerlik konusuna dair birkaç alıştırma sorusunu çözeceğiz. Bu sorular, üçgenlerde benzerlik konusunu ne kadar anladığımızı görmek için harika bir fırsat. Hazırsanız, kalemleriniz ve defterleriniz yanınızdaysa, haydi başlayalım!
Soru 7: Yandaki şekilde; |AB| = 16 cm, |BD| = 12 cm ve DÂB ~ CDB olduğuna göre bu üçgenlerin benzerlik oranının kaç olabileceğini bulunuz.
Bu soruda bize iki üçgenin benzer olduğu zaten söylenmiş. Bu harika bir ipucu! DÂB ~ CDB ifadesi, hangi köşenin hangi köşeyle ve dolayısıyla hangi kenarın hangi kenarla eşleştiğini bize söyler. Hadi bu eşleşmeyi kullanarak benzerlik oranını bulalım.
- Adım 1: Benzerlik ifadesindeki harflerin sırası çok önemlidir. Bu sıra bize hangi kenarların orantılı olduğunu gösterir.
DÂB ~ CDB
Bu eşleşmeye göre kenarları oranlayalım:
|DA| / |CD| = |AB| / |DB| = |DB| / |CB|
- Adım 2: Soruda bize verilen uzunlukları bu orantıda yerine yazalım. |AB| = 16 cm ve |BD| = 12 cm olarak verilmiş. Orantının ortasındaki |AB| / |DB| kısmını kullanabiliriz.
- Adım 3: Değerleri yerine koyup oranı hesaplayalım.
Benzerlik Oranı = |AB| / |DB| = 16 / 12
Bu kesri en sade haline getirmek için hem payı hem de paydayı 4’e bölebiliriz.
16 ÷ 4 = 4
12 ÷ 4 = 3
Böylece benzerlik oranını 4/3 olarak buluruz.
Unutmayın, eğer benzerliği CDB ~ DÂB olarak yazsaydık oran 12/16 yani 3/4 olurdu. Soruda “kaç olabileceğini bulunuz” denmesi bu iki ihtimali de düşünebileceğimizi gösterir. Genellikle ilk yazılan üçgenin kenarı paya yazılır.
Sonuç: 4/3 veya 3/4
Soru 8: Yandaki şekilde [DE] // [AB]’dir. A, C, E noktaları ve B, C, D noktaları doğrusaldır. |AB| = 3 cm, |BC| = 5 cm, |AC| = 7 cm, |DE| = 9 cm, |CD| = 15 cm ve |CE| = 21 cm’dir. Buna göre bu iki üçgen arasındaki benzerliği sembolle gösterip benzerlik oranının kaç olabileceğini bulunuz.
Bu şekildeki “kum saati” veya “kelebek” modelini hemen fark etmişsinizdir. [DE] ve [AB] kenarlarının paralel olması, burada kesinlikle bir benzerlik olduğunu gösterir. Gelin bunu ispatlayıp oranını bulalım.
- Adım 1: Paralel iki doğru arasında kalan ters açıların (iç ters açılar) eşit olduğunu hatırlayalım. [DE] // [AB] olduğundan:
- A açısı ile E açısı eştir. (m(CÂB) = m(CÊD))
- B açısı ile D açısı eştir. (m(CBA) = m(CD̂E))
Ayrıca C noktasındaki açılar ters açılar olduğu için zaten birbirine eşittir. (m(AĈB) = m(EĈD))
Böylece bu iki üçgenin Açı-Açı-Açı (A.A.A) kuralına göre benzer olduğunu söyleyebiliriz.
- Adım 2: Şimdi benzerliği sembolle doğru bir şekilde yazalım. Eşit olan açıların köşelerini aynı sırada yazmalıyız: A ile E, B ile D, C ile C eşleşiyor.
O halde benzerlik ifademiz: ABC ~ EDC olur.
- Adım 3: Benzerlik oranını bulmak için eşleşen kenarları oranlayalım.
|AB| / |ED| = |BC| / |DC| = |AC| / |EC|
Şimdi verilen uzunlukları yerine koyup oranın doğruluğunu kontrol edelim:
3 / 9 = 5 / 15 = 7 / 21
Tüm bu kesirleri sadeleştirdiğimizde sonucun 1/3 olduğunu görürüz.
Sonuç: Benzerlik ABC ~ EDC şeklinde gösterilir ve benzerlik oranı 1/3‘tür.
Soru 9: Yandaki şekilde KLM ~ MNP olduğuna göre K noktası ile P noktasını birleştiren doğru parçasının uzunluğu kaç santimetredir?
Arkadaşlar bu soru biraz dikkat gerektiriyor. Soruda verilen şekil ve benzerlik ifadesi arasında bir tutarsızlık olabilir, ama biz şekle ve verilen uzunluklara güvenerek soruyu çözeceğiz. Bu tarz sorularda en kolay yöntem, şekli bir koordinat düzlemine yerleştirmektir.
- Adım 1: Şekli zihnimizde bir koordinat sistemine yerleştirelim. L noktasını orijin, yani (0, 0) kabul edelim.
- L = (0, 0)
- |LK| = 8 cm ve KL doğrusu dikey olduğu için K noktası K = (0, 8) olur.
- |LM| = 4 cm ve LM doğrusu yatay olduğu için M noktası M = (4, 0) olur.
- M’den N’ye olan uzaklık 4 cm ve yatay devam ettiği için N noktası N = (4+4, 0) yani N = (8, 0) olur.
- |MP| = 5 cm ve MP doğrusu dikey (aşağı yönde) olduğu için P noktası N’nin tam altında, P = (8, -5) olur.
- Adım 2: Artık K noktasının (0, 8) ve P noktasının (8, -5) koordinatlarını biliyoruz. İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için Pisagor teoreminden faydalanabiliriz. K noktasından yatay, P noktasından dikey bir çizgi çizerek bir dik üçgen oluşturalım.
Bu dik üçgenin yatay kenarının uzunluğu, x koordinatları farkıdır: 8 – 0 = 8 cm.
Dikey kenarının uzunluğu ise y koordinatları farkıdır: 8 – (-5) = 8 + 5 = 13 cm.
- Adım 3: Şimdi Pisagor teoremini uygulayalım. Aradığımız |KP| uzunluğu, bu dik üçgenin hipotenüsüdür.
|KP|² = (yatay kenar)² + (dikey kenar)²
|KP|² = 8² + 13²
|KP|² = 64 + 169
|KP|² = 233
|KP| = √233 cm.
Not: Soruda verilen KLM ~ MNP ifadesi, şekildeki uzunluklarla uyuşmuyor. Bu bir baskı hatası olabilir. Biz soruyu şekilde verilen bilgilere göre çözdük.
Sonuç: √233 cm
Soru 10: Yukarıdaki şekilde KLM ~ PRT’dir. Benzerlik oranı 4/7 olduğuna göre |RT| kaç santimetredir?
Bu soru, benzerlik oranını kullanarak verilmeyen bir kenar uzunluğunu bulma üzerine kurulu tipik bir sorudur. İşimiz oldukça kolay!
- Adım 1: Yine benzerlik ifadesindeki harf sırasına dikkat ediyoruz: KLM ~ PRT. Bu bize hangi kenarların birbiriyle orantılı olduğunu söyler.
|KL| / |PR| = |LM| / |RT| = |KM| / |PT|
- Adım 2: Soruda bizden |RT| uzunluğunu bulmamız isteniyor. Eşleşmeye göre |RT| kenarının KLM üçgenindeki karşılığı |LM| kenarıdır. Soruda |LM| = 12 cm olarak verilmiş.
- Adım 3: Benzerlik oranının 4/7 olduğu verilmiş. Bu oranı, ilgili kenarlarla eşitleyerek bir denklem kurabiliriz.
(KLM üçgeninin kenarı) / (PRT üçgeninin kenarı) = 4/7
|LM| / |RT| = 4/7
Şimdi bildiğimiz değeri yerine yazalım:
12 / |RT| = 4/7
- Adım 4: Bu orantıyı çözmek için içler-dışlar çarpımı yapalım.
4 * |RT| = 12 * 7
4 * |RT| = 84
|RT|’yi bulmak için her iki tarafı da 4’e bölelim.
|RT| = 84 / 4
|RT| = 21 cm
Gördüğünüz gibi, doğru kenarları eşleştirdiğimizde ve oranı doğru kurduğumuzda cevap hemen ortaya çıkıyor.
Sonuç: 21 cm
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Benzerlik konusu, doğru eşleşmeleri bulduğunuz sürece oldukça zevklidir. Bol bol pratik yapmayı unutmayın! Başarılar dilerim.