Harika bir çalışma! 8. Sınıf Matematik dersimizin önemli konularından olan “Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler” ünitesiyle ilgili bu soruları birlikte çözelim. Ben de sana bu süreçte yardımcı olacağım. Hadi başlayalım!
6. Soru: Kenar uzunlukları aşağıdaki şekilde gösterilen dikdörtgen biçimindeki arsanın her bir kenarına (x – 2) m uzaklıkta bir çay bahçesi kurulmuştur. Bu çay bahçesinin etrafındaki toprak bölge m² fiyatı 40 TL olan çimlerle döşenecektir. Çimler için gereken parayı cebirsel olarak yazınız.
Merhaba sevgili öğrencim, bu soruyu çözmek için adım adım ilerleyeceğiz. Aslında bizden istenen şey, çim döşenecek olan toprak alanın maliyetini bulmak. Bunun için önce toprak alanın kaç metrekare olduğunu bulmalı, sonra da bu alanı metrekare fiyatı olan 40 TL ile çarpmalıyız. Haydi yapalım!
Unutma, bir dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımına eşittir.
Adım 1: Büyük Dikdörtgenin (Tüm Arsanın) Alanını Bulalım
Öncelikle arsanın tamamının alanını bulmamız gerekiyor. Şekle baktığımızda arsanın kenar uzunluklarının (4x – 6) m ve (3x – 3) m olduğunu görüyoruz.
- Büyük Alan = (Uzun Kenar) × (Kısa Kenar)
- Büyük Alan = (4x – 6) × (3x – 3)
Şimdi bu iki ifadeyi çarpalım. Dağılma özelliğini kullanacağız:
(4x – 6) . (3x – 3) = 4x . (3x – 3) – 6 . (3x – 3)
= (12x² – 12x) – (18x – 18)
= 12x² – 12x – 18x + 18
= 12x² – 30x + 18 m²
Bu, arsamızın toplam alanıdır.
Adım 2: İçerideki Çay Bahçesinin Kenar Uzunluklarını ve Alanını Bulalım
Şimdi de ortadaki küçük dikdörtgenin, yani çay bahçesinin alanını bulmalıyız. Kenar uzunluklarını bulurken dikkatli olmalıyız. Büyük arsanın her kenarından (x – 2) m boşluk bırakılmış.
- Çay Bahçesinin Uzun Kenarı:
Arsanın uzun kenarı (4x – 6) idi. Bu kenarın hem sağından hem de solundan (x – 2) m’lik boşluklar çıkarılacak. Yani toplamda 2 tane (x – 2) çıkarmalıyız.
(4x – 6) – 2(x – 2) = 4x – 6 – (2x – 4) = 4x – 6 – 2x + 4 = 2x – 2 m - Çay Bahçesinin Kısa Kenarı:
Arsanın kısa kenarı (3x – 3) idi. Bu kenarın hem üstünden hem de altından (x – 2) m’lik boşluklar çıkarılacak. Yine 2 tane (x – 2) çıkarıyoruz.
(3x – 3) – 2(x – 2) = 3x – 3 – (2x – 4) = 3x – 3 – 2x + 4 = x + 1 m
Artık çay bahçesinin alanını bulabiliriz:
- Küçük Alan = (2x – 2) × (x + 1)
- = 2x . (x + 1) – 2 . (x + 1)
- = (2x² + 2x) – (2x + 2)
- = 2x² + 2x – 2x – 2
- = 2x² – 2 m²
Adım 3: Çim Döşenecek Toprak Alanı Bulalım
Toprak alan, büyük arsanın alanından çay bahçesinin alanını çıkararak bulunur.
- Toprak Alan = (Büyük Alan) – (Küçük Alan)
- Toprak Alan = (12x² – 30x + 18) – (2x² – 2)
Parantezi kaldırırken içerideki işaretlerin değiştiğine dikkat edelim!
- = 12x² – 30x + 18 – 2x² + 2
- = (12x² – 2x²) + (–30x) + (18 + 2)
- = 10x² – 30x + 20 m²
İşte bu, çim döşeyeceğimiz alan!
Adım 4: Toplam Maliyeti Hesaplayalım
Çimin metrekare fiyatı 40 TL idi. Toplam maliyeti bulmak için bulduğumuz alanı 40 ile çarpmalıyız.
- Maliyet = 40 × (Toprak Alan)
- Maliyet = 40 × (10x² – 30x + 20)
40’ı parantezin içindeki her terimle tek tek çarpıyoruz:
- = (40 × 10x²) – (40 × 30x) + (40 × 20)
- = 400x² – 1200x + 800 TL
Sonuç:
Çimler için gereken parayı gösteren cebirsel ifade 400x² – 1200x + 800 TL’dir.
7. Soru: Aşağıda renkleri hariç özdeş bardaklarla oluşturulmuş şekillerin yükseklikleri verilmiştir. Bu bardaklardan x + 3 tanesi iç içe konulduğunda bardakların yüksekliğini santimetre cinsinden veren cebirsel ifadeyi yazınız.
Bu soru da çok keyifli bir problem! İç içe geçmiş nesnelerin yüksekliğini bulurken bir mantık geliştirmeliyiz. Hadi bu mantığı birlikte keşfedelim.
İpucu: İç içe konulan bardakların toplam yüksekliği, en alttaki bir tam bardağın yüksekliği ile diğer bardakların görünen küçük kısımlarının (dudak paylarının) yükseklikleri toplamından oluşur.
Adım 1: Bir Bardağın ve Görünen Kısmın Yüksekliğini Bulalım
Görselde bize tek bir mavi bardağın yüksekliği verilmiş. Bu, bizim için en alttaki tam bardağın yüksekliği olacak.
- Bir tam bardağın yüksekliği: (2x + y – 1) cm
Şimdi sarı bardaklara bakalım. 3 tane bardak iç içe konulmuş. Bu yükseklik, 1 tam bardak ve 2 tane bardağın görünen “dudak payı”ndan oluşur. Bu 2 dudak payının toplam yüksekliğini bulmak için 3 bardağın yüksekliğinden 1 bardağın yüksekliğini çıkarabiliriz.
- 2 tane dudak payının yüksekliği: (3 Bardağın Yüksekliği) – (1 Bardağın Yüksekliği)
- = (3x + y – 2) – (2x + y – 1)
Yine parantezi kaldırırken işaretlere dikkat ediyoruz:
- = 3x + y – 2 – 2x – y + 1
- = (3x – 2x) + (y – y) + (–2 + 1)
- = x – 1 cm
Bu bulduğumuz (x – 1), iki bardağın görünen kısmının toplam yüksekliğidir. O zaman bir tanesinin yüksekliği ne olur?
- Bir tane dudak payının yüksekliği: (x – 1) / 2 cm
Adım 2: x + 3 Tane Bardağın Yüksekliğini Hesaplayalım
Bizden istenen x + 3 tane bardağın iç içe konulduğundaki yüksekliği. Bu yapının içinde ne var bir düşünelim:
- En altta 1 tane tam bardak.
- Onun üzerinde ise (x + 3) – 1 = x + 2 tane dudak payı.
Şimdi bu ikisini toplayarak toplam yüksekliği bulabiliriz.
- Toplam Yükseklik = (1 Tam Bardağın Yüksekliği) + (x + 2) × (Bir Dudak Payının Yüksekliği)
- Toplam Yükseklik = (2x + y – 1) + (x + 2) ×
(x – 1) / 2
Şimdi ifadeyi düzenleyelim:
- = (2x + y – 1) +
(x + 2)(x – 1) / 2
Önce (x + 2) ile (x – 1)’i çarpalım:
- (x + 2)(x – 1) = x² – x + 2x – 2 = x² + x – 2
Şimdi yerine koyalım:
- Toplam Yükseklik = (2x + y – 1) +
(x² + x – 2) / 2
Toplama işlemini yapabilmek için paydaları eşitlememiz gerekiyor. (2x + y – 1)’in paydasını 2 yapalım:
- =
2(2x + y – 1) / 2 +(x² + x – 2) / 2 - =
(4x + 2y – 2) / 2 +(x² + x – 2) / 2
Artık payları toplayabiliriz:
- =
(4x + 2y – 2 + x² + x – 2) / 2
Benzer terimleri bir araya getirelim:
- =
x² + (4x + x) + 2y + (–2 – 2) / 2 - =
x² + 5x + 2y – 4 / 2 cm
Sonuç:
x + 3 tane bardağın iç içe konulmasıyla oluşan yüksekliği veren cebirsel ifade (x² + 5x + 2y – 4) / 2 cm’dir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutma, matematikte en önemli şey soruyu doğru anlamak ve adım adım ilerlemektir. Başarılar dilerim!