Harika bir çalışma sayfası! Merhaba sevgili öğrenciler, ben 8. sınıf matematik öğretmeniniz. Bu sayfadaki soruları birlikte, adım adım ve anlayarak çözeceğiz. Unutmayın, matematikte önemli olan sadece doğru cevabı bulmak değil, o cevaba nasıl ulaştığımızı da anlamaktır. Haydi başlayalım!
Soru 4: Aşağıdaki sayı doğrularında gösterilen eşitsizlik ifadelerini noktalı yerlere yazınız.
Merhaba arkadaşlar, bu soruda sayı doğrularını okumayı öğreneceğiz. Sayı doğrusunda içi dolu bir nokta görürseniz, o sayının çözüme dâhil olduğunu anlarız ve ≤ (küçük veya eşit) ya da ≥ (büyük veya eşit) işaretlerini kullanırız. Eğer noktanın içi boşsa, o sayı çözüme dâhil değildir ve < (küçüktür) ya da > (büyüktür) işaretlerini kullanırız. Okun yönü de bize sayının büyük mü küçük mü olduğunu gösterir.
- a)
Çözüm: Sayı doğrusunda 4’ün üzerinde içi dolu bir nokta var ve ok sola doğru, yani küçük olan sayılara doğru gidiyor. Bu demektir ki, aradığımız sayılar (x) 4’e eşit veya 4’ten küçüktür.
Sonuç:x ≤ 4
- b)
Çözüm: Bu sefer -1’in üzerinde içi dolu bir nokta görüyoruz ve ok sağa doğru, yani büyük olan sayılara doğru ilerliyor. Bu da demek oluyor ki, aradığımız sayılar (x) -1’e eşit veya -1’den büyüktür.
Sonuç:x ≥ -1
- c)
Çözüm: Burada 3 ve 4 sayılarının üzerinde içi boş noktalar var ve araları taranmış. İçi boş olduğu için 3 ve 4 dâhil değil. Aradığımız sayılar (x) 3’ten büyük ama 4’ten küçüktür.
Sonuç:3 < x < 4
- ç)
Çözüm: Bu sayı doğrusunda -3 ve 6’nın üzerinde içi dolu noktalar var ve aradaki bölge taranmış. İçi dolu olduğu için bu sayılar çözüme dâhil. Yani aradığımız sayılar (x) -3’ten büyük veya eşit ve 6’dan küçük veya eşittir.
Sonuç:-3 ≤ x ≤ 6
- d)
Çözüm: Son olarak, -2 ve 5’in üzerinde içi dolu noktalar ve araları taranmış. Bu, aradığımız sayıların (x) -2’ye eşit veya ondan büyük, aynı zamanda 5’e eşit veya ondan küçük olduğunu gösterir.
Sonuç:-2 ≤ x ≤ 5
Soru 5: Aşağıdaki eşitsizlikleri ve bu eşitsizliklere ait çözümleri eşleştiriniz.
Şimdi de eşitsizlikleri denklem çözer gibi çözeceğiz. Tek bir önemli kural var, unutmayın: Eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayı ile çarpar veya bölerseniz, eşitsizlik işareti yön değiştirir! Hadi başlayalım.
- a) 5x ≤ 20
Çözüm: x’i yalnız bırakmak için her iki tarafı da 5’e bölelim.
5x / 5 ≤ 20 / 5
Sonuç:x ≤ 4 ile eşleşir.
- b) -4x > -x + 12
Çözüm: Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım. -x’i sol tarafa atalım (+x olarak geçer).
-4x + x > 12
-3x > 12
Şimdi dikkat! x’i bulmak için her iki tarafı -3’e böleceğiz. Negatif bir sayıya böldüğümüz için “>” işareti “<" işaretine dönüşecek.
x < 12 / (-3)
Sonuç:x < -4 ile eşleşir.
- c) x/2 ≥ x/3 + 1
Çözüm: Kesirlerle uğraşmamak için paydaları eşitleyelim. Paydalar 2 ve 3, en küçük ortak katları 6’dır. Tüm ifadeyi 6 ile genişletelim.
6 * (x/2) ≥ 6 * (x/3) + 6 * 1
3x ≥ 2x + 6
2x’i sol tarafa atalım (-2x olarak geçer).
3x – 2x ≥ 6
Sonuç:x ≥ 6 ile eşleşir.
- ç) x/5 + 3 ≤ 7
Çözüm: Önce +3’ü karşıya -3 olarak atalım.
x/5 ≤ 7 – 3
x/5 ≤ 4
Şimdi x’i yalnız bırakmak için her iki tarafı 5 ile çarpalım.
x ≤ 4 * 5
Sonuç:x ≤ 20 ile eşleşir.
- d) 4 * (x + 3) < 16
Çözüm: İster parantezi dağıtabiliriz, istersek daha kolayı her iki tarafı 4’e bölebiliriz.
(x + 3) < 16 / 4
x + 3 < 4
Şimdi +3’ü karşıya -3 olarak atalım.
x < 4 - 3
Sonuç:x < 1 ile eşleşir.
- e) (x-3)/2 – x/5 ≥ -3
Çözüm: Yine paydaları eşitleyelim. 2 ve 5’in en küçük ortak katı 10’dur. İlk kesri 5 ile, ikinci kesri 2 ile genişletelim.
[5 * (x-3)] / 10 – (2 * x) / 10 ≥ -3
(5x – 15 – 2x) / 10 ≥ -3
(3x – 15) / 10 ≥ -3
Her iki tarafı 10 ile çarpalım.
3x – 15 ≥ -30
-15’i karşıya +15 olarak atalım.
3x ≥ -30 + 15
3x ≥ -15
Her iki tarafı 3’e bölelim.
Sonuç:x ≥ -5 ile eşleşir.
Soru 6: Kenan ve Ahmet, her akşam kitap okumaktadır. Kenan, pazartesi akşamı x sayfa, Ahmet ise Kenan’ın okuduğundan 20 sayfa daha fazla kitap okumuştur. İkisi toplam 80 sayfadan fazla kitap okuduğuna göre Kenan en az kaç sayfa kitap okumuştur?
Çözüm: Bu bir problem sorusu, hadi verileri matematik diline çevirelim.
Adım 1: Kimin ne kadar okuduğunu yazalım.
Kenan’ın okuduğu sayfa sayısı: x
Ahmet’in okuduğu sayfa sayısı: Kenan’dan 20 fazla, yani x + 20
Adım 2: Problemin eşitsizliğini kuralım.
İkisinin toplamı 80’den fazla imiş. “Fazla” demek “>” demektir.
(Kenan’ın sayfası) + (Ahmet’in sayfası) > 80
x + (x + 20) > 80
Adım 3: Eşitsizliği çözelim.
2x + 20 > 80
20’yi karşıya atalım.
2x > 80 – 20
2x > 60
Her iki tarafı 2’ye bölelim.
x > 30
Adım 4: Sonucu yorumlayalım.
x > 30 bulduk. Bu, Kenan’ın okuduğu sayfa sayısının 30’dan büyük olması gerektiği anlamına gelir. Soru bize “en az kaç sayfa” diye soruyor. 30’dan büyük olan en küçük tam sayı 31’dir.
Sonuç: Kenan en az 31 sayfa kitap okumuştur.
Soru 7: Yanda üç ilin birbirlerine olan uzaklıkları verilmiştir. B ile C illeri arasındaki uzaklık; A ile C illeri arasındaki uzaklıktan kısa, A ile B illeri arasındaki uzaklıktan fazladır. Buna göre x’in alabileceği değerleri sayı doğrusunda gösteriniz.
Çözüm: Bu soruda hem üçgen eşitsizliği kuralını hem de soruda verilen özel bilgileri kullanacağız.
Adım 1: Önce soruda verilen özel bilgileri eşitsizliğe dökelim.
B ile C arası (3x+5), A ile B arasından (65) fazladır. Yani:
3x + 5 > 65
3x > 60
x > 20
B ile C arası (3x+5), A ile C arasından (80) kısadır. Yani:
3x + 5 < 80
3x < 75
x < 25
Adım 2: Bulduğumuz iki bilgiyi birleştirelim.
x, 20’den büyük ve 25’ten küçük olmalıymış. O zaman x’in değer aralığı:
20 < x < 25
Not: Normalde üçgen eşitsizliği kuralını da ( |80-65| < 3x+5 < 80+65 ) kontrol etmemiz gerekir. Bu kurala göre 15 < 3x+5 < 145 olur. Ancak soruda verilen özel bilgiler bize daha dar bir aralık (20 < x < 25) verdiği için doğru cevabımız bu dar aralık olacaktır.
Adım 3: Sonucu sayı doğrusunda gösterelim.
Sayı doğrusunda 20 ve 25 sayılarını buluruz. Eşitsizlikte eşitlik olmadığı için ( < ve > işaretleri var), 20 ve 25’in üzerine içi boş birer daire çizeriz. Sonra bu iki dairenin arasını çizeriz. Bu çizim, x’in 20 ile 25 arasındaki tüm değerleri alabileceğini ama 20 ve 25’e eşit olamayacağını gösterir.
Sonuç: x’in alabileceği değerler 20 < x < 25 aralığındadır.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim