Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün birlikte matematik kitabınızdaki bazı soruları çözeceğiz. Bu sorular, konuyu daha iyi anlamanıza yardımcı olacak. Hazırsanız başlayalım!
—
**8. Soru:**
Yandaki şekilde bir tarladaki arpa, buğday, mısır ve yulaf ekili alanlar görülmektedir. Yulaf ekili bölgenin bir kenar uzunluğu (x – 2) m olduğuna göre buğday ekili bölge ile mısır ekili bölgenin alanlarının toplamını metrekare cinsinden veren cebirsel ifadeyi yazınız.
**Çözüm:**
Sevgili arkadaşlar, bu soruda bize bir tarla verilmiş ve bu tarla dört farklı ürüne ayrılmış: arpa, buğday, mısır ve yulaf. Bu alanların kenar uzunlukları ve bazı alanları cebirsel ifadelerle verilmiş. Bizden istenen ise buğday ve mısır ekili alanların toplamını veren cebirsel ifadeyi bulmak.
Öncelikle verilen görseldeki bilgileri dikkatlice inceleyelim.
* Tarlanın tamamı bir dikdörtgen.
* Tarlanın kenar uzunlukları verilmiş. Yulaf ekili bölgenin bir kenarı (x – 2) m olarak verilmiş. Bu aynı zamanda tarlanın bir kenar uzunluğunu da temsil ediyor.
* Tarlanın bir kenar uzunluğunun (x – 2) m olduğunu görüyoruz.
* Diğer kenar uzunluğunun ise arpa ve buğdayın olduğu kenarın toplamı olduğunu düşünebiliriz. Görselden arpanın kenar uzunluğunun (x² + 4x + 4) m² olduğunu anlıyoruz. Bu alanın kenar uzunluğunu bulmak için tam kare ifadeyi kullanabiliriz: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Bu durumda arpanın bir kenarı (x + 2) m olur.
* Mısır ve yulafın olduğu kenarların toplamı da tarlanın diğer kenarını oluşturur. Görselde yulafın kenar uzunluğu (x – 2) m olarak verilmiş ve bu da mısırın kenar uzunluğuna eşit görünüyor. Bu durumda mısırın bir kenarı da (x – 2) m olur.
* Bu durumda tarlanın bir kenarı: (x + 2) + (x – 2) = 2x m olur.
* Tarlanın diğer kenarı ise (x – 2) m olarak verilmiş.
Şimdi alanlara bakalım:
* Arpa’nın alanı: $(x^2 + 4x + 4)$ m²
* Yulaf’ın alanı: $(4x – 8)$ m² (Bu bilginin soruda bize verilmediğini, ancak görseldeki alan bilgisinden yola çıkarak bu şekilde olduğunu düşündüğümüzü belirtelim. Soru metninde yulafın alanı verilmemiş, sadece kenar uzunluğu verilmiş.)
Soruda bize yulaf ekili bölgenin bir kenar uzunluğunun (x – 2) m olduğu söyleniyor. Bu bilgi, görseldeki “Yulaf” yazısının altında yazan $(4x – 8)$ m² alan bilgisini kullanarak da teyit edilebilir. Eğer yulafın bir kenarı $(x-2)$ ise ve alanı $(4x-8)$ ise, diğer kenarı $(4x-8) / (x-2) = 4(x-2) / (x-2) = 4$ olmalıdır. Ancak görseldeki yerleşim planına baktığımızda, yulafın kenarlarından birinin $(x-2)$ olduğu ve diğer kenarının da mısırın kenarıyla aynı olduğu görülüyor. Bu durumda mısırın da bir kenarı $(x-2)$ olur.
Şimdi tarlanın genel boyutlarını bulalım:
* Tarlanın üst kenarı: Arpa’nın kenarı + Buğday’ın kenarı
* Tarlanın sol kenarı: Arpa’nın kenarı + Mısır’ın kenarı
Görseldeki yerleşimden yola çıkarak:
* Arpa’nın bir kenarı: $(x+2)$ m (çünkü alanı $x^2+4x+4 = (x+2)^2$)
* Yulaf’ın bir kenarı: $(x-2)$ m (soruda verilmiş)
* Mısır’ın bir kenarı: Görselden yulafın kenarıyla aynı olduğunu anlıyoruz, yani $(x-2)$ m.
* Buğday’ın bir kenarı: Görselden arpanın kenarıyla aynı olduğunu anlıyoruz, yani $(x+2)$ m.
Bu durumda tarlanın tamamının kenar uzunlukları:
* Alt ve üst kenar: $(x+2) + (x+2) = 2x + 4$ m
* Sol ve sağ kenar: $(x+2) + (x-2) = 2x$ m
Ancak soruda “Yulaf ekili bölgenin bir kenar uzunluğu (x – 2) m olduğuna göre” denmiş. Bu, tarlanın bir kenarının $(x-2)$ olduğunu doğrudan söylemiyor, yulafın bir kenarının $(x-2)$ olduğunu söylüyor. Görseldeki yerleşim planı, yulafın bir kenarının $(x-2)$ ve bu kenarın tarlanın bir kenarına denk geldiğini gösteriyor. Eğer tarlanın bir kenarı $(x-2)$ ise, diğer kenarı da $(x+2)$ olmalı ki arpa ve buğdayın kenarları toplamı $(x+2)$ olsun.
Görseldeki yerleşimi daha dikkatli inceleyelim. Arpa’nın alanı $(x^2+4x+4)$ ise, kenarları $(x+2)$’dir. Yulafın bir kenarı $(x-2)$ ise ve bu kenar arpanın kenarıyla birleşiyorsa, bu $(x-2)$ kenarı tarlanın bir kenarıdır. O zaman tarlanın diğer kenarı $(x+2)$ olmalıdır.
* Tarlanın bir kenarı = $(x-2)$ m
* Tarlanın diğer kenarı = $(x+2)$ m
Şimdi bu bilgilere göre alanları yeniden değerlendirelim:
* Arpa’nın alanı: $(x+2) * (x+2) = x^2 + 4x + 4$. Bu bilgi soruda verilmiş.
* Yulaf’ın alanı: Kenarlarından biri $(x-2)$ ise ve diğer kenarı $(x+2)$ ise, alanı $(x-2)(x+2) = x^2 – 4$ olur. Ancak görselde yulafın alanı $(4x-8)$ olarak gösterilmiş. Bu bir çelişki yaratıyor.
Soruda “Yulaf ekili bölgenin bir kenar uzunluğu $(x – 2)$ m olduğuna göre” ifadesi çok önemli. Bu, yulafın kenarlarından birinin $(x-2)$ olduğunu kesin olarak söylüyor.
Görseldeki yerleşim planına göre:
* Arpa’nın kenarları $(x+2)$’ye $(x+2)$.
* Bu durumda tarlanın bir kenarı $(x+2)$ ve diğer kenarı $(x+2)$ olmalı.
* Yulaf’ın bir kenarı $(x-2)$ ise, bu kenar arpanın kenarına bitişik.
* Mısır’ın bir kenarı da $(x-2)$ olmalı ki arpa ve mısırın kenarları toplamı $(x+2)$ olsun.
O zaman tarlanın genel boyutları:
* Bir kenarı: $(x+2)$
* Diğer kenarı: $(x+2) + (x-2) = 2x$
Bu durumda Arpa’nın alanı $(x+2)(x+2) = x^2+4x+4$ olur.
Yulaf’ın alanı $(x+2)(x-2) = x^2-4$ olur.
Mısır’ın alanı $(x-2)(x+2) = x^2-4$ olur.
Buğday’ın alanı $(x-2)(x-2) = x^2-4x+4$ olur.
Ancak soruda yulafın kenar uzunluğunun $(x-2)$ olduğu verilmiş. Bu da tarlanın bir kenarının $(x-2)$ olduğunu gösteriyor. Eğer tarlanın bir kenarı $(x-2)$ ise ve arpa ile buğdayın kenar uzunlukları toplamı bu kenara denk geliyorsa, arpa ve buğdayın her birinin kenarı $(x+2)$ olamaz.
Sorudaki “Yulaf ekili bölgenin bir kenar uzunluğu $(x – 2)$ m olduğuna göre” ifadesini temel alalım.
Görselde yulafın bir kenarı $(x-2)$ olarak verilmiş.
Bu kenar, mısırın da bir kenarıyla aynı uzunlukta görünüyor. Yani mısırın bir kenarı da $(x-2)$ m.
Arpa’nın alanı $(x^2+4x+4)$ ise, kenarları $(x+2)$’dir.
Buğday’ın kenarı da arpanın kenarıyla aynı uzunlukta görünüyor, yani $(x+2)$ m.
O zaman tarlanın tamamının kenar uzunlukları:
* Alt ve üst kenar: Arpa’nın kenarı + Buğday’ın kenarı = $(x+2) + (x+2) = 2x + 4$ m
* Sol ve sağ kenar: Mısır’ın kenarı + Yulaf’ın kenarı = $(x-2) + (x-2) = 2x – 4$ m
Bu durumda tarlanın tamamının alanı $(2x+4)(2x-4) = 4x^2 – 16$ olur.
Şimdi sorunun istediği şeye dönelim: **buğday ekili bölge ile mısır ekili bölgenin alanlarının toplamını** veren cebirsel ifade.
Buğday’ın alanı: Kenarları $(x+2)$ ve $(x-2)$ olmalı ki toplamda $(x+2) + (x-2) = 2x$ olsun.
Buğday alanı = $(x+2) * (x-2) = x^2 – 4$.
Mısır’ın alanı: Kenarları $(x-2)$ ve $(x+2)$ olmalı ki toplamda $(x-2) + (x+2) = 2x$ olsun.
Mısır alanı = $(x-2) * (x+2) = x^2 – 4$.
Bu durumda buğday ve mısırın alanları toplamı:
$(x^2 – 4) + (x^2 – 4) = 2x^2 – 8$.
Ancak görseldeki yerleşim ve verilen bilgiler arasında bir tutarsızlık var gibi görünüyor.
Tekrar sorudaki ifadeye bakalım: “Yulaf ekili bölgenin bir kenar uzunluğu $(x – 2)$ m olduğuna göre”.
Eğer yulafın bir kenarı $(x-2)$ ise ve bu kenar tarlanın bir kenarıysa, o zaman tarlanın bir kenarı $(x-2)$ olur.
Diğer kenarı ise arpa ve buğdayın kenarlarının toplamı olur.
Arpanın alanı $(x^2+4x+4) = (x+2)^2$. Bu demek ki arpanın kenarları $(x+2)$’ye $(x+2)$.
Eğer yulafın bir kenarı $(x-2)$ ise ve arpanın bir kenarı $(x+2)$ ise, bu iki kenar birleştiğinde tarlanın bir kenarı $(x-2)$ ve diğer kenarı $(x+2)$ olur.
Bu durumda:
* Tarlanın bir kenarı = $(x-2)$ m
* Tarlanın diğer kenarı = $(x+2)$ m
Bu durumda alanlar:
* Arpa: $(x+2) times ?$ (Bu kenar $(x+2)$ olmalı ki alanı $(x+2)^2$ olsun.)
* Buğday: $(x+2) times ?$
* Mısır: $(x-2) times ?$
* Yulaf: $(x-2) times ?$
Soruda yulafın bir kenarının $(x-2)$ olduğu verilmiş. Bu kenar tarlanın bir kenarı ise, o zaman tarlanın diğer kenarı $(x+2)$ olmalı ki arpa alanı $(x+2)^2$ olabilsin.
Bu durumda alanlar şöyle olmalı:
* Arpa: Kenarları $(x+2)$ ve $(x+2)$ olmalı. Alanı $(x+2)^2 = x^2+4x+4$.
* Buğday: Kenarları $(x+2)$ ve $(x-2)$ olmalı. Alanı $(x+2)(x-2) = x^2-4$.
* Mısır: Kenarları $(x-2)$ ve $(x+2)$ olmalı. Alanı $(x-2)(x+2) = x^2-4$.
* Yulaf: Kenarları $(x-2)$ ve $(x-2)$ olmalı. Alanı $(x-2)^2 = x^2-4x+4$.
Ancak görselde yulafın alanı $(4x-8)$ olarak verilmiş. Bu da bizim bulduğumuz $(x-2)^2 = x^2-4x+4$ ile uyuşmuyor.
Şimdi görseldeki yerleşimi ve verilen bilgileri önceliklendirerek ilerleyelim.
* Yulaf’ın bir kenarı = $(x-2)$ m.
* Arpa’nın alanı = $(x^2+4x+4)$ m². Bu alanın kenarları $(x+2)$ ve $(x+2)$’dir.
* Bu durumda tarlanın bir kenarı $(x+2)$ olmalı.
* Yulaf’ın kenarı $(x-2)$ ise ve arpanın kenarı $(x+2)$ ise, bu ikisi birleşerek tarlanın diğer kenarını oluşturur.
* Tarlanın bir kenarı = $(x+2)$ m.
* Tarlanın diğer kenarı = $(x-2)$ m.
Bu durumda tarlanın tamamının alanı: $(x+2)(x-2) = x^2-4$.
Şimdi bu kenar uzunluklarına göre diğer alanları bulalım:
* Arpa: Kenarları $(x+2)$ ve $(x+2)$. Alanı $(x+2)^2 = x^2+4x+4$. (Verilmiş, uyuyor.)
* Buğday: Kenarları $(x+2)$ ve $(x-2)$ olmalı. Alanı $(x+2)(x-2) = x^2-4$.
* Mısır: Kenarları $(x-2)$ ve $(x+2)$ olmalı. Alanı $(x-2)(x+2) = x^2-4$.
* Yulaf: Kenarları $(x-2)$ ve $(x-2)$ olmalı. Alanı $(x-2)^2 = x^2-4x+4$. (Görseldeki $(4x-8)$ ile uyuşmuyor.)
Sorunun metnindeki bilgiyi temel alarak devam edelim: “Yulaf ekili bölgenin bir kenar uzunluğu $(x – 2)$ m olduğuna göre”.
Görselde yulafın bir kenarı $(x-2)$ olarak verilmiş ve bu kenar tarlanın bir kenarıdır.
O zaman tarlanın bir kenarı $(x-2)$ m.
Arpanın kenarları $(x+2)$’ye $(x+2)$ ise, tarlanın diğer kenarı da $(x+2)$ olmalıdır.
Bu durumda tarlanın kenar uzunlukları $(x-2)$ ve $(x+2)$’dir.
* Arpa: $(x+2) times (x+2) = x^2+4x+4$ (Verilmiş)
* Buğday: $(x+2) times (x-2) = x^2-4$
* Mısır: $(x-2) times (x+2) = x^2-4$
* Yulaf: $(x-2) times (x-2) = x^2-4x+4$ (Görseldeki alan ile çelişiyor.)
Soruda verilen bilgileri önceliklendirelim. Yulaf’ın bir kenarı $(x-2)$.
Görseldeki yerleşime göre:
* Arpa’nın bir kenarı $(x+2)$.
* Buğday’ın bir kenarı $(x+2)$.
* Mısır’ın bir kenarı $(x-2)$.
* Yulaf’ın bir kenarı $(x-2)$.
Bu durumda tarlanın kenar uzunlukları:
* Alt ve üst kenarların toplamı: $(x+2) + (x+2) = 2x+4$.
* Sol ve sağ kenarların toplamı: $(x-2) + (x-2) = 2x-4$.
Bu durumda tarlanın tamamının alanı $(2x+4)(2x-4) = 4x^2 – 16$.
Şimdi sorulan şeye odaklanalım: **Buğday ekili bölge ile mısır ekili bölgenin alanlarının toplamı.**
* Buğday’ın alanı: Kenarları $(x+2)$ ve $(x-2)$. Alanı $= (x+2)(x-2) = x^2 – 4$.
* Mısır’ın alanı: Kenarları $(x-2)$ ve $(x+2)$. Alanı $= (x-2)(x+2) = x^2 – 4$.
Buğday ve Mısır alanları toplamı:
$(x^2 – 4) + (x^2 – 4) = 2x^2 – 8$.
Bu sonuç, sorudaki görselde verilen alan bilgilerinin (özellikle yulafın alanı) tam olarak uyuşmadığı bir durumda, sorunun metnindeki bilgiyi ve görseldeki yerleşim mantığını birleştirerek elde edilmiştir. Bu tür durumlarda sorunun metnindeki bilgiyi temel almak genellikle daha doğrudur.
Sonuç:
$2x^2 – 8$
—
**9. Soru:**
Semih, gezdiği yerlerin magnetlerini yandaki şekilde görüldüğü gibi buzdolabının üst kapağına yapıştırmaktadır. Magnetler karesel ve dikdörtgensel bölgelerden oluşmaktadır. Bu bölgelerin kenar uzunlukları yandaki şekilde gösterilmiştir. Buna göre buzdolabının üst kapağının magnetler dışında kalan alanını veren cebirsel ifadenin çarpanlarına ayrılmış halini yazınız.
**Çözüm:**
Sevgili öğrenciler, bu soruda Semih adlı arkadaşımızın buzdolabının kapağına yapıştırdığı magnetlerin alanını hesaplayıp, kapağın magnetler dışında kalan alanını bulmamız isteniyor. Magnetlerin şekilleri kare ve dikdörtgen, kenar uzunlukları ise ‘a’ ve ‘b’ gibi harflerle verilmiş.
Öncelikle buzdolabının kapağının genel boyutlarını bulalım. Görselde kapağın bir kenarı $27a$ ve diğer kenarı $12b$ olarak verilmiş.
Buzdolabının üst kapağının alanı:
$Alanı_{kapak} = 27a times 12b$
Bu çarpma işlemini yapalım:
$27 times 12 = ?$
27
x 12
—–
54 (27 x 2)
270 (27 x 10)
—–
324
Yani buzdolabının üst kapağının alanı $324ab$ metrekaredir (veya santimetrekare, birim belirtilmemiş).
Şimdi magnetlerin alanlarını hesaplayalım. Görselde farklı boyutlarda magnetler var.
Magnetlerin alanlarını hesaplamak için her birini tek tek inceleyelim:
1. **En üst sıradaki magnetler:**
* Üç tane küçük kare magnet var, her birinin kenarı ‘a’. Alanları $a times a = a^2$. Bu üçünün toplam alanı: $3 times a^2 = 3a^2$.
* Bir tane dikdörtgen magnet var, kenarları ‘a’ ve ‘2a’. Alanı $a times 2a = 2a^2$.
* Bu sıradaki toplam alan: $3a^2 + 2a^2 = 5a^2$.
2. **İkinci sıradaki magnetler:**
* İki tane büyük kare magnet var, her birinin kenarı ‘a’. Alanları $a times a = a^2$. Bu ikisinin toplam alanı: $2 times a^2 = 2a^2$.
* İki tane dikdörtgen magnet var, kenarları ‘a’ ve ‘2a’. Alanları $a times 2a = 2a^2$. Bu ikisinin toplam alanı: $2 times 2a^2 = 4a^2$.
* Bu sıradaki toplam alan: $2a^2 + 4a^2 = 6a^2$.
3. **Üçüncü sıradaki magnetler:**
* Üç tane büyük dikdörtgen magnet var, kenarları ‘3a’ ve ‘a’. Alanları $3a times a = 3a^2$. Bu üçünün toplam alanı: $3 times 3a^2 = 9a^2$.
4. **En alt sıradaki magnetler:**
* İki tane büyük dikdörtgen magnet var, kenarları ‘2a’ ve ‘2a’. Alanları $2a times 2a = 4a^2$. Bu ikisinin toplam alanı: $2 times 4a^2 = 8a^2$.
* Bir tane büyük dikdörtgen magnet var, kenarları ‘3a’ ve ‘a’. Alanı $3a times a = 3a^2$.
Sanırım görseldeki kenar uzunluklarını okurken bir hata yaptım. Tekrar dikkatli bakalım:
Görselde bazı magnetlerin kenar uzunlukları doğrudan verilmiş, bazıları ise yan yana olanların kenar uzunluklarından anlaşılıyor.
Magnetlerin alanlarını tekrar hesaplayalım:
* **En üstte, soldan sağa:**
* Üç tane kare magnet, kenarları $a$. Alanları $a^2$ adet. Toplam: $3 times a^2 = 3a^2$.
* Bir tane dikdörtgen magnet, kenarları $a$ ve $2a$. Alanı $a times 2a = 2a^2$.
* Bu sıranın toplam alanı: $3a^2 + 2a^2 = 5a^2$.
* **İkinci sırada, soldan sağa:**
* İki tane kare magnet, kenarları $a$. Alanları $a^2$ adet. Toplam: $2 times a^2 = 2a^2$.
* İki tane dikdörtgen magnet, kenarları $a$ ve $2a$. Alanları $a times 2a = 2a^2$. Toplam: $2 times 2a^2 = 4a^2$.
* Bu sıranın toplam alanı: $2a^2 + 4a^2 = 6a^2$.
* **Üçüncü sırada, soldan sağa:**
* Üç tane dikdörtgen magnet, kenarları $a$ ve $3a$. Alanları $a times 3a = 3a^2$. Toplam: $3 times 3a^2 = 9a^2$.
* **En altta, soldan sağa:**
* İki tane kare magnet, kenarları $2a$. Alanları $2a times 2a = 4a^2$. Toplam: $2 times 4a^2 = 8a^2$.
* Bir tane dikdörtgen magnet, kenarları $a$ ve $3a$. Alanı $a times 3a = 3a^2$.
Şimdi tüm magnetlerin alanlarını toplayalım:
Toplam magnet alanı $= 5a^2 + 6a^2 + 9a^2 + 8a^2 + 3a^2$
Toplam magnet alanı $= (5 + 6 + 9 + 8 + 3)a^2$
Toplam magnet alanı $= 31a^2$.
Bekleyin, bu hesaplamada bir hata var. Görseldeki ‘b’ boyutunu hiç kullanmadık. Bu ‘b’ boyutu kapağın yüksekliğini temsil ediyor.
Tekrar dikkatli inceleyelim:
Kapağın boyutu: $27a times 12b$.
Kapağın Alanı: $27a times 12b = 324ab$.
Magnetlerin alanlarını hesaplarken, ‘a’ ve ‘b’ boyutlarını ayrı ayrı düşünmeliyiz. Bazı magnetlerin kenarları sadece ‘a’ cinsinden verilmiş, bazıları ise ‘a’ ve ‘b’ cinsinden olabilir. Ancak görseldeki ‘a’ ve ‘2a’, ‘3a’ gibi ifadeler, magnetlerin bir boyutunun ‘a’ ile ilişkili olduğunu gösteriyor. ’12b’ ise kapağın yüksekliği.
Magnetlerin boyutlarını tekrar inceleyelim:
* **Üst sıra:**
* 3 adet kare magnet: Kenarları ‘a’. Alanları $a times a = a^2$. Toplam $3a^2$.
* 1 adet dikdörtgen magnet: Kenarları ‘a’ ve ‘2a’. Alanı $a times 2a = 2a^2$.
* Bu sıranın toplam alanı: $3a^2 + 2a^2 = 5a^2$.
* **İkinci sıra:**
* 2 adet kare magnet: Kenarları ‘a’. Alanları $a times a = a^2$. Toplam $2a^2$.
* 2 adet dikdörtgen magnet: Kenarları ‘a’ ve ‘2a’. Alanları $a times 2a = 2a^2$. Toplam $4a^2$.
* Bu sıranın toplam alanı: $2a^2 + 4a^2 = 6a^2$.
* **Üçüncü sıra:**
* 3 adet dikdörtgen magnet: Kenarları ‘a’ ve ‘3a’. Alanları $a times 3a = 3a^2$. Toplam $9a^2$.
* **Alt sıra:**
* 2 adet kare magnet: Kenarları ‘2a’. Alanları $2a times 2a = 4a^2$. Toplam $8a^2$.
* 1 adet dikdörtgen magnet: Kenarları ‘a’ ve ‘3a’. Alanı $a times 3a = 3a^2$.
Şimdi tüm ‘a’ cinsinden alanları toplayalım:
$5a^2 + 6a^2 + 9a^2 + 8a^2 + 3a^2 = 31a^2$.
Bu hesaplama, sadece ‘a’ boyutunu dikkate alarak yapıldı. Ancak magnetlerin bazılarının ‘b’ boyutuyla da ilişkili olması gerekiyor, aksi takdirde buzdolabı kapağının ’12b’ boyutunu kullanamayız.
Görseldeki ‘a’ ve ‘2a’, ‘3a’ gibi ifadeler, magnetlerin genişliklerini ifade ediyor gibi görünüyor. Yükseklikleri ise ‘b’ ile ilişkili olabilir.
Tekrar dikkatli inceleyelim. Magnetlerin kenar uzunlukları doğrudan verilmiş.
* En üstteki 3 magnetin kenarı ‘a’. Alanları $a^2$. Toplam $3a^2$.
* Yanındaki dikdörtgenin kenarları ‘a’ ve ‘2a’. Alanı $2a^2$.
* Altındaki 2 magnetin kenarı ‘a’. Alanları $a^2$. Toplam $2a^2$.
* Yanlarındaki 2 dikdörtgenin kenarları ‘a’ ve ‘2a’. Alanları $2a^2$. Toplam $4a^2$.
* Altındaki 3 dikdörtgenin kenarları ‘a’ ve ‘3a’. Alanları $3a^2$. Toplam $9a^2$.
* En alttaki 2 karenin kenarları ‘2a’. Alanları $4a^2$. Toplam $8a^2$.
* En alttaki dikdörtgenin kenarları ‘a’ ve ‘3a’. Alanı $3a^2$.
Tüm bu alanları toplarsak: $3a^2 + 2a^2 + 2a^2 + 4a^2 + 9a^2 + 8a^2 + 3a^2 = 31a^2$.
Bu hesaplama, magnetlerin sadece ‘a’ boyutunu dikkate alarak yapıldı. Ancak buzdolabının kapağının boyutu $27a times 12b$. Magnetlerin alanları hesaplanırken ‘b’ boyutu da hesaba katılmalı.
Görseldeki yerleşim planına göre:
* Kapağın genişliği $27a$.
* Kapağın yüksekliği $12b$.
Magnetlerin kenar uzunlukları:
* Kare magnetler: Kenarları ‘a’. Alanı $a^2$.
* Dikdörtgen magnetler: Kenarları ‘a’ ve ‘2a’. Alanı $2a^2$.
* Dikdörtgen magnetler: Kenarları ‘a’ ve ‘3a’. Alanı $3a^2$.
* Kare magnetler: Kenarları ‘2a’. Alanı $4a^2$.
Bu magnetlerin yükseklikleri de ‘b’ ile ilişkili olmalı.
Görselde magnetlerin kenar uzunlukları ‘a’ cinsinden verilmiş. Bu, magnetlerin genişliklerini ifade ediyor. Kapağın yüksekliği ’12b’ ise, magnetlerin yükseklikleri de ‘b’ ile orantılı olmalı.
Eğer magnetlerin genişlikleri yukarıdaki gibi ise, toplam genişlikleri $27a$ olmalı.
Ve magnetlerin yükseklikleri de toplamda $12b$ olmalı.
Magnetlerin alanlarını tekrar hesaplayalım, bu sefer hem genişlik hem de yükseklik olarak düşünerek.
Görselde ‘a’ ve ‘2a’, ‘3a’ gibi ifadeler, magnetlerin genişliklerini gösteriyor.
’12b’ ise kapağın yüksekliği.
Magnetlerin alanları:
* 3 adet kare magnet: Kenarları ‘a’. Alanı $a times a = a^2$. Toplam $3a^2$.
* 1 adet dikdörtgen magnet: Kenarları ‘a’ ve ‘2a’. Alanı $a times 2a = 2a^2$.
* 2 adet kare magnet: Kenarları ‘a’. Alanı $a times a = a^2$. Toplam $2a^2$.
* 2 adet dikdörtgen magnet: Kenarları ‘a’ ve ‘2a’. Alanı $a times 2a = 2a^2$. Toplam $4a^2$.
* 3 adet dikdörtgen magnet: Kenarları ‘a’ ve ‘3a’. Alanı $a times 3a = 3a^2$. Toplam $9a^2$.
* 2 adet kare magnet: Kenarları ‘2a’. Alanı $2a times 2a = 4a^2$. Toplam $8a^2$.
* 1 adet dikdörtgen magnet: Kenarları ‘a’ ve ‘3a’. Alanı $a times 3a = 3a^2$.
Toplanan tüm magnetlerin ‘a’ cinsinden alanları:
$3a^2 + 2a^2 + 2a^2 + 4a^2 + 9a^2 + 8a^2 + 3a^2 = 31a^2$.
Bu hesaplama, magnetlerin yüksekliklerini dikkate almıyor. Eğer magnetlerin yükseklikleri de ‘b’ ile orantılı ise, bu hesabı yaparken daha dikkatli olmalıyız.
Görseldeki yerleşim planı, magnetlerin kapladığı toplam alanı veriyor.
Toplam magnet alanı = $31a^2$ olarak hesapladık.
Bu, magnetlerin alanlarının sadece ‘a’ cinsinden toplamı. Ancak magnetlerin yükseklikleri de var ve bu yükseklikler ‘b’ ile ilişkili.
Eğer her bir magnetin yüksekliği ‘b’ ise, o zaman alanları şöyle olurdu:
* ‘a’ kenarlı kare magnet: $a times b = ab$.
* ‘a’ ve ‘2a’ kenarlı dikdörtgen magnet: $a times b$ ve $2a times b$. Bu durumda alanları toplamı $ab + 2ab = 3ab$.
Bu şekilde bir yorum yapmak da doğru değil. Sorunun metnine ve görsele tekrar bakalım.
“Magnetler karesel ve dikdörtgensel bölgelerden oluşmaktadır. Bu bölgelerin kenar uzunlukları yandaki şekilde gösterilmiştir.”
Görseldeki ‘a’, ‘2a’, ‘3a’ ifadeleri, magnetlerin genişliklerini gösteriyor. Kapağın genişliği $27a$.
Magnetlerin yükseklikleri ise toplamda $12b$’yi oluşturuyor.
Bu durumda, her bir magnetin alanını bulmak için, genişliği ve yüksekliğini çarpmalıyız. Ancak magnetlerin yükseklikleri hakkında bilgi verilmemiş.
Görseldeki ’12 b’ ifadesi, kapağın yüksekliğini temsil ediyor. ’27 a’ ise genişliğini.
Magnetlerin üzerinde yazan ‘a’, ‘2a’, ‘3a’ gibi ifadeler, magnetlerin kendi boyutlarını gösteriyor.
Tekrar deneyelim:
Buzdolabı kapağının alanı: $27a times 12b = 324ab$.
Magnetlerin alanları:
* En üstte 3 tane ‘a’ kenarlı kare magnet var. Her birinin alanı $a times a = a^2$. Toplam $3a^2$.
* Yanında ‘a’ ve ‘2a’ kenarlı bir dikdörtgen var. Alanı $a times 2a = 2a^2$.
* İkinci sırada 2 tane ‘a’ kenarlı kare magnet var. Alanları $a^2$. Toplam $2a^2$.
* Yanında ‘a’ ve ‘2a’ kenarlı 2 dikdörtgen var. Alanları $2a^2$. Toplam $4a^2$.
* Üçüncü sırada ‘a’ ve ‘3a’ kenarlı 3 dikdörtgen var. Alanları $3a^2$. Toplam $9a^2$.
* En altta ‘2a’ kenarlı 2 kare var. Alanları $4a^2$. Toplam $8a^2$.
* Yanında ‘a’ ve ‘3a’ kenarlı 1 dikdörtgen var. Alanı $3a^2$.
Tüm bu ‘a’ cinsinden alanları toplarsak: $3a^2 + 2a^2 + 2a^2 + 4a^2 + 9a^2 + 8a^2 + 3a^2 = 31a^2$.
Bu hesaplama, magnetlerin genişliklerini dikkate alıyor ama yüksekliklerini dikkate almıyor.
Eğer magnetlerin yükseklikleri de ‘b’ ile orantılı ise, bu hesaplama yanlış olur.
Sorunun metnini ve görselleri tekrar inceleyelim.
“Magnetler karesel ve dikdörtgensel bölgelerden oluşmaktadır. Bu bölgelerin kenar uzunlukları yandaki şekilde gösterilmiştir.”
Görseldeki yerleşim planı bize magnetlerin toplam kapladığı alanı veriyor.
Magnetlerin kapladığı toplam alan = $31a^2$ olarak hesapladık.
Bu hesaplama, her bir magnetin kendi içindeki alanını, kenar uzunluklarının çarpımıyla buluyor.
Yani, magnetlerin kendi alanlarının toplamı $31a^2$.
Buzdolabı kapağının alanı: $27a times 12b = 324ab$.
Magnetlerin kapladığı alan: $31a^2$.
Magnetler dışında kalan alan = Buzdolabı kapağının alanı – Toplam magnet alanı.
Magnetler dışında kalan alan $= 324ab – 31a^2$.
Şimdi bu ifadeyi çarpanlarına ayırmamız isteniyor.
Her iki terimde de ‘a’ ortak çarpanı var.
$324ab – 31a^2 = a(324b – 31a)$.
Bu ifadeyi daha fazla çarpanlarına ayıramayız çünkü $324b – 31a$ ifadesinde ortak bir çarpan yok ve bu bir tam kare değil.
Sonuç:
$a(324b – 31a)$
—
**10. Soru:**
Kenar uzunlukları $9t$ ve $4t$ olan dikdörtgen şeklindeki bir kağıt, görseldeki gibi önce dikey sonra da yatay doğrultuda ortadan katlanıyor. Katlanan kağıt üç köşesinden köşeler merkeze ve çemberlerin yarıçapları $r$ olacak şekilde kesiliyor. Buna göre kağıt açıldığında yüzünün alanını veren cebirsel ifadenin çarpanlarına ayrılmış halini bulunuz. $(pi = 3$ alınız.)
**Çözüm:**
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir kağıt katlanıp kesiliyor ve sonra açıldığında yüzey alanını bulmamız isteniyor. Bu tür sorularda, kesilen şeklinin ne olduğunu ve açıldığında kaç tane olacağını bulmak önemlidir.
**Adım 1: Başlangıçtaki Kağıdın Alanı**
Başlangıçta elimizde kenar uzunlukları $9t$ ve $4t$ olan bir dikdörtgen kağıt var.
Bu kağıdın alanı:
$Alanı_{başlangıç} = 9t times 4t$
$Alanı_{başlangıç} = 36t^2$
**Adım 2: Kağıdın Katlanma İşlemleri**
Kağıt önce dikey olarak ortadan ikiye katlanıyor. Sonra bu katlanmış hali yatay olarak ortadan ikiye katlanıyor.
Bu, kağıdın 4 katman haline geldiği anlamına gelir.
**Adım 3: Kesilen Şekillerin İncelenmesi**
Katlanmış kağıdın üç köşesinden kesim yapılıyor. Bu kesimler, çeyrek çember şeklinde. Yarıçapları $r$ olarak verilmiş.
Görseldeki kesimlere baktığımızda, katlanmış kağıdın her bir köşesinden (toplam 3 köşeden) bir çeyrek daire kesiliyor.
Kesilen bu çeyrek dairelerin yarıçapı $r$.
**Adım 4: Açıldığında Oluşacak Şekiller**
Kağıt açıldığında, her bir kesim yeri birden fazla delik veya şekil oluşturacaktır.
* Kağıt ilk önce dikey olarak ikiye katlanmıştı. Sonra yatay olarak ikiye katlandı. Yani toplamda 4 katman var.
* Kesilen her bir çeyrek daire, kağıt açıldığında tam daireler oluşturacaktır.
* Her bir köşeden 1 çeyrek daire kesildi. Toplamda 3 köşeden kesim yapıldı.
* Kağıt 4 katmanlı olduğu için, her bir çeyrek daire kesimi, açıldığında 4 tane çeyrek daireye karşılık gelir.
* Yani, 3 köşeden kesilen her çeyrek daire, açıldığında 4 tane çeyrek dairelik alan kaybına yol açar.
* Toplamda 3 köşeden kesim yapıldığı için, toplamda $3 times 4 = 12$ tane çeyrek daire kesilmiş olur.
**Adım 5: Kesilen Alanın Hesaplanması**
Bir çeyrek dairenin alanı: $frac{1}{4} pi r^2$.
Toplam kesilen alan: $12 times (frac{1}{4} pi r^2)$
Toplam kesilen alan: $3 pi r^2$.
Soruda $pi = 3$ almamız istenmiş.
Toplam kesilen alan: $3 times 3 times r^2 = 9r^2$.
**Adım 6: Açıldığında Yüzey Alanının Hesaplanması**
Kağıt açıldığında, başlangıçtaki alanından kesilen alan kadar eksilme olacaktır.
Açıldığında yüzey alanı = Başlangıçtaki alan – Toplam kesilen alan.
Açıldığında yüzey alanı = $36t^2 – 9r^2$.
**Adım 7: İfadenin Çarpanlarına Ayrılmış Hali**
Şimdi $36t^2 – 9r^2$ ifadesini çarpanlarına ayırmamız gerekiyor.
Bu ifade, iki kare farkı özdeşliğine benziyor: $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$.
Burada $a^2 = 36t^2$ ve $b^2 = 9r^2$.
Bu durumda $a = sqrt{36t^2} = 6t$ ve $b = sqrt{9r^2} = 3r$.
Öyleyse, ifadeyi çarpanlarına ayırırsak:
$36t^2 – 9r^2 = (6t – 3r)(6t + 3r)$.
Bu ifadeyi daha da sadeleştirebiliriz, çünkü her bir parantezin içinde 3 ortak çarpanı var.
$(6t – 3r) = 3(2t – r)$
$(6t + 3r) = 3(2t + r)$
Bu durumda ifade şöyle olur:
$3(2t – r) times 3(2t + r)$
$= 9(2t – r)(2t + r)$.
Sonuç:
$9(2t – r)(2t + r)$