Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencilerim, bugün sizlerle birlikte bu doğrusal denklem grafiklerini çizeceğiz ve bir de alan sorusu çözeceğiz. Unutmayın, matematik adım adım ilerleyince çok daha kolay ve zevkli hale gelir. Hadi kalemleri kağıtları hazırlayın, başlıyoruz!
Sıra Sizde 3
Aşağıdaki doğrusal denklemlerin grafiğini çiziniz.
a) x = -2
Çözüm:
Sevgili arkadaşlar, bu denklem bize diyor ki, “y ne olursa olsun, x her zaman -2’dir”. Bu çok özel bir durumdur ve işimizi oldukça kolaylaştırır.
- Adım 1: Koordinat sisteminde x eksenini bulun.
- Adım 2: x ekseni üzerinde -2 noktasını işaretleyin.
- Adım 3: Bu noktadan geçen ve y eksenine paralel olan düz bir çizgi çizin. Bu çizgi, yukarıdan aşağıya doğru sonsuza kadar uzanır.
İşte x = -2 doğrusunun grafiği bu kadar basit! Bu doğru üzerindeki bütün noktaların x değeri (apsisi) -2’dir. Örneğin (-2, 1), (-2, 5), (-2, -3) gibi.
b) y = 5
Çözüm:
Bu denklem de bir önceki gibi özel bir durum. Bu sefer de bize “x ne olursa olsun, y her zaman 5’tir” diyor.
- Adım 1: Koordinat sisteminde y eksenini bulun.
- Adım 2: y ekseni üzerinde 5 noktasını işaretleyin.
- Adım 3: Bu noktadan geçen ve x eksenine paralel olan, yani yatay bir çizgi çizin.
Bu çizdiğimiz doğru y = 5 doğrusudur. Bu doğru üzerindeki bütün noktaların y değeri (ordinatı) 5’tir. Örneğin (1, 5), (-4, 5), (0, 5) gibi.
c) x + 3y = 4
Çözüm:
Bir doğrunun grafiğini çizmek için en az iki noktaya ihtiyacımız var. En kolay bulunan noktalar, doğrunun eksenleri kestiği noktalardır. Hadi bu noktaları bularak işimizi kolaylaştıralım.
- Adım 1: x eksenini kestiği noktayı bulalım. Bunun için y = 0 vermeliyiz.
x + 3(0) = 4
x + 0 = 4
x = 4
Demek ki ilk noktamız (4, 0).- Adım 2: Şimdi de y eksenini kestiği noktayı bulalım. Bunun için x = 0 vermeliyiz.
0 + 3y = 4
3y = 4
y = 4/3
İkinci noktamız da (0, 4/3). (4/3, yaklaşık olarak 1,3 gibi bir değerdir, grafikte 1 ile 2’nin arasına işaretleyebilirsiniz.)- Adım 3: Koordinat sisteminde (4, 0) ve (0, 4/3) noktalarını işaretleyin ve bu iki noktayı bir cetvel yardımıyla birleştirin.
İşte x + 3y = 4 doğrusunun grafiğini çizmiş oldunuz!
ç) y = 3x
Çözüm:
Bu tür denklemlerde (y = ax şeklindeki) sabit bir sayı olmadığı için bu doğruların her zaman orijinden, yani (0, 0) noktasından geçtiğini unutmayın. Bu bizim ilk noktamız!
- Adım 1: İlk noktamızın (0, 0) olduğunu biliyoruz.
- Adım 2: İkinci bir nokta bulmak için x’e kolay bir değer verelim. Mesela x = 1 olsun.
y = 3 * (1)
y = 3
İkinci noktamız da (1, 3) oldu.- Adım 3: Koordinat sisteminde (0, 0) ve (1, 3) noktalarını işaretleyip bu noktaları birleştirerek doğrumuzu çizelim.
d) y – x = 0
Çözüm:
Bu denklemi daha tanıdık hale getirmek için küçük bir düzenleme yapalım. -x’i eşittirin diğer tarafına atalım.
- Adım 1: Denklemi düzenleyelim: y = x. Bu denklem bize x ve y değerlerinin her zaman birbirine eşit olduğunu söyler! Bu da bir önceki soru gibi orijinden geçer. Yani ilk noktamız (0, 0).
- Adım 2: İkinci noktayı bulalım. x’e bir değer verelim, mesela x = 2 olsun.
y = x olduğu için, y de 2 olur.
İkinci noktamız (2, 2).- Adım 3: (0, 0) ve (2, 2) noktalarını birleştirerek grafiğimizi çizelim. Bu doğruya birinci açıortay doğrusu da denir.
e) 2x – y = 2
Çözüm:
Yine eksenleri kestiği noktaları bularak grafiğimizi kolayca çizelim.
- Adım 1: x eksenini kestiği noktayı bulmak için y = 0 yazalım.
2x – 0 = 2
2x = 2
x = 1
İlk noktamız (1, 0).- Adım 2: y eksenini kestiği noktayı bulmak için x = 0 yazalım.
2(0) – y = 2
0 – y = 2
-y = 2
y = -2
İkinci noktamız (0, -2).- Adım 3: Koordinat sisteminde (1, 0) ve (0, -2) noktalarını işaretleyin ve birleştirin. Grafiğimiz hazır!
Sıra Sizde 4
y = -4 ve y + x = 0 doğrusal denklemleri ile y ekseni arasında kalan bölgenin alanını birimkare cinsinden bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda önce bize verilen doğruları çizeceğiz, sonra da aralarında oluşan şeklin alanını bulacağız. Haydi adım adım ilerleyelim.
- Adım 1: Doğruları ve sınırları belirleyelim.
Bizden istenen bölgeyi 3 doğru sınırlıyor:
1. doğru:y = -4 (Bu, y eksenini -4’te kesen yatay bir doğrudur.)
2. doğru:y + x = 0 (Bunu düzenlersek y = -x olur. Bu da orijinden geçen bir doğrudur.)
3. sınır:y ekseni (y ekseninin kendisi de bir doğrudur ve denklemi x = 0‘dır.)- Adım 2: Bu doğruları koordinat sisteminde çizelim.
y = -4 doğrusunu çizin.
y = -x doğrusunu çizin ( (0,0), (1,-1), (2,-2) gibi noktalardan geçer).
y eksenini de sınır olarak belirginleştirin.
Bu üç çizginin arasında bir üçgen oluştuğunu göreceksiniz.- Adım 3: Üçgenin köşelerini (kesişim noktalarını) bulalım.
Birinci köşe: y = -x doğrusu ile y ekseninin (x=0) kesiştiği yer. x=0 ise y=-0’dan y=0 olur. Yani (0, 0) noktası.
İkinci köşe: y = -4 doğrusu ile y ekseninin (x=0) kesiştiği yer. Bu da (0, -4) noktasıdır.
Üçüncü köşe: y = -4 ile y = -x doğrularının kesiştiği yer. y yerine -4 yazarsak:
-4 = -x
x = 4
Bu köşenin koordinatları da (4, -4) olur.- Adım 4: Üçgenin alanını hesaplayalım.
Üçgenin köşeleri (0,0), (0,-4) ve (4,-4).
Üçgenin y ekseni üzerindeki kenarını taban kabul edelim. Bu kenarın uzunluğu (0,0) ile (0,-4) arasındaki mesafedir, yani 4 birimdir.
Bu tabana ait yükseklik ise üçüncü köşe olan (4,-4) noktasının y eksenine olan dik uzaklığıdır. Bu uzaklık, noktanın x değerine eşittir, yani 4 birimdir.
Üçgenin Alanı = (Taban × Yükseklik) / 2
Alan = (4 × 4) / 2
Alan = 16 / 2
Alan = 8Sonuç: İstenen bölgenin alanı 8 birimkaredir.
Umarım hepsi anlaşılmıştır. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Harikasınız çocuklar!