Merhaba sevgili öğrenciler! Bu ünitede birlikte denklem çözme ve problem çözme becerilerimizi geliştireceğiz. Hazırsanız, başlayalım!
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki denklemleri sağlayan x değerlerini bulunuz.
Bu soruda, bize verilen denklemleri çözerek bilinmeyen ‘x’ değerini bulmamız isteniyor. Denklemleri çözerken amacımız ‘x’i yalnız bırakmak olacak.
a) $frac{3x}{4} = 9$
Bu denklemde ‘x’i yalnız bırakmak için önce her iki tarafı 4 ile çarpalım. Böylece paydadaki 4’ten kurtulmuş oluruz.
Adım 1: $frac{3x}{4} times 4 = 9 times 4$
Bu işlem sonucunda denklemimiz: $3x = 36$ olur.
Şimdi de ‘x’i bulmak için her iki tarafı 3’e bölelim.
Adım 2: $frac{3x}{3} = frac{36}{3}$
Bu işlem sonucunda $x = 12$ buluruz.
Sonuç: $x = 12$
b) $frac{2x – 7}{5} = -3$
Burada da ‘x’i yalnız bırakmak için ilk olarak her iki tarafı 5 ile çarpalım.
Adım 1: $frac{2x – 7}{5} times 5 = -3 times 5$
Denklemimiz: $2x – 7 = -15$ haline gelir.
Şimdi ‘-7’yi denklemin diğer tarafına ‘+7’ olarak geçirelim.
Adım 2: $2x = -15 + 7$
Bu toplama işlemini yaparsak: $2x = -8$ olur.
Son olarak ‘x’i bulmak için her iki tarafı 2’ye bölelim.
Adım 3: $frac{2x}{2} = frac{-8}{2}$
Bu işlem sonucunda $x = -4$ buluruz.
Sonuç: $x = -4$
c) $frac{2 – x}{8} + 5 = frac{x + 1}{3}$
Bu denklem biraz daha karışık görünüyor ama adım adım ilerleyince kolaylaşacak. İlk olarak, denklemin sol tarafındaki ‘+5’i sağ tarafa ‘-5’ olarak atalım.
Adım 1: $frac{2 – x}{8} = frac{x + 1}{3} – 5$
Sağ tarafı tek bir kesir halinde yazmak için 5’i $frac{15}{3}$ şeklinde yazabiliriz.
Adım 2: $frac{2 – x}{8} = frac{x + 1}{3} – frac{15}{3}$
Şimdi sağdaki kesirleri çıkaralım.
Adım 3: $frac{2 – x}{8} = frac{x + 1 – 15}{3}$
Bu işlem sonucunda: $frac{2 – x}{8} = frac{x – 14}{3}$ elde ederiz.
Şimdi çapraz çarpım yaparak denklemi daha basit hale getirelim.
Adım 4: $3 times (2 – x) = 8 times (x – 14)$
Parantezleri dağıtalım:
Adım 5: $6 – 3x = 8x – 112$
Şimdi ‘x’li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. ‘-3x’i sağ tarafa ‘+3x’ olarak, ‘-112’yi sol tarafa ‘+112’ olarak geçirelim.
Adım 6: $6 + 112 = 8x + 3x$
Toplama işlemlerini yapalım:
Adım 7: $118 = 11x$
Son olarak ‘x’i bulmak için her iki tarafı 11’e bölelim.
Adım 8: $frac{118}{11} = frac{11x}{11}$
Bu işlem sonucunda $x = frac{118}{11}$ buluruz.
Sonuç: $x = frac{118}{11}$
c) $7x – 2(x – 3) = 3x$
Bu denklemde ilk olarak parantez içini dağıtalım.
Adım 1: $7x – (2 times x) – (2 times -3) = 3x$
Bu işlem sonucunda: $7x – 2x + 6 = 3x$ olur.
Şimdi sol taraftaki ‘x’li terimleri birleştirelim.
Adım 2: $(7x – 2x) + 6 = 3x$
Bu işlem sonucunda: $5x + 6 = 3x$ elde ederiz.
Şimdi ‘x’li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. ‘+6’yı sağ tarafa ‘-6’ olarak, ‘3x’i sol tarafa ‘-3x’ olarak geçirelim.
Adım 3: $5x – 3x = -6$
Bu işlem sonucunda: $2x = -6$ olur.
Son olarak ‘x’i bulmak için her iki tarafı 2’ye bölelim.
Adım 4: $frac{2x}{2} = frac{-6}{2}$
Bu işlem sonucunda $x = -3$ buluruz.
Sonuç: $x = -3$
d) $frac{4}{x – 1} + frac{3}{x – 1} = frac{5}{x + 1}$
Bu denklemde, sol taraftaki kesirlerin paydaları aynı olduğu için paylarını toplayabiliriz.
Adım 1: $frac{4 + 3}{x – 1} = frac{5}{x + 1}$
Bu işlem sonucunda: $frac{7}{x – 1} = frac{5}{x + 1}$ elde ederiz.
Şimdi çapraz çarpım yaparak denklemi çözelim.
Adım 2: $7 times (x + 1) = 5 times (x – 1)$
Parantezleri dağıtalım:
Adım 3: $7x + 7 = 5x – 5$
Şimdi ‘x’li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. ‘+7’yi sağ tarafa ‘-7’ olarak, ‘5x’i sol tarafa ‘-5x’ olarak geçirelim.
Adım 4: $7x – 5x = -5 – 7$
Bu işlem sonucunda: $2x = -12$ olur.
Son olarak ‘x’i bulmak için her iki tarafı 2’ye bölelim.
Adım 5: $frac{2x}{2} = frac{-12}{2}$
Bu işlem sonucunda $x = -6$ buluruz.
Sonuç: $x = -6$
e) $2x – 5 = frac{x + 4}{3}$
Bu denklemde ilk olarak her iki tarafı 3 ile çarpalım.
Adım 1: $3 times (2x – 5) = 3 times frac{x + 4}{3}$
Bu işlem sonucunda: $6x – 15 = x + 4$ elde ederiz.
Şimdi ‘x’li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. ‘-15’i sağ tarafa ‘+15’ olarak, ‘x’i sol tarafa ‘-x’ olarak geçirelim.
Adım 2: $6x – x = 4 + 15$
Bu işlem sonucunda: $5x = 19$ olur.
Son olarak ‘x’i bulmak için her iki tarafı 5’e bölelim.
Adım 3: $frac{5x}{5} = frac{19}{5}$
Bu işlem sonucunda $x = frac{19}{5}$ buluruz.
Sonuç: $x = frac{19}{5}$
f) $frac{2}{3} cdot (x – 1) – frac{1}{3} cdot (2 – x) = 0$
Bu denklemde ilk olarak parantez içlerini dağıtalım.
Adım 1: $(frac{2}{3} times x) – (frac{2}{3} times 1) – (frac{1}{3} times 2) – (frac{1}{3} times -x) = 0$
Bu işlem sonucunda: $frac{2x}{3} – frac{2}{3} – frac{2}{3} + frac{x}{3} = 0$ elde ederiz.
Şimdi ‘x’li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. Sabit terimleri sağ tarafa geçirelim.
Adım 2: $frac{2x}{3} + frac{x}{3} = frac{2}{3} + frac{2}{3}$
Kesirleri toplayalım:
Adım 3: $frac{2x + x}{3} = frac{2 + 2}{3}$
Bu işlem sonucunda: $frac{3x}{3} = frac{4}{3}$ olur.
Sol tarafı sadeleştirirsek: $x = frac{4}{3}$ buluruz.
Sonuç: $x = frac{4}{3}$
g) $frac{4}{3x} = frac{1}{6} – frac{1}{x}$
Bu denklemde ilk olarak sağ taraftaki kesirleri tek bir kesir olarak yazalım. Bunun için paydaları eşitlememiz gerekiyor. ‘x’ ve ‘6’nın ortak katı ‘6x’tir.
Adım 1: $frac{4}{3x} = frac{1 times x}{6 times x} – frac{1 times 6}{x times 6}$
Bu işlem sonucunda: $frac{4}{3x} = frac{x}{6x} – frac{6}{6x}$ elde ederiz.
Şimdi sağ taraftaki kesirleri çıkaralım.
Adım 2: $frac{4}{3x} = frac{x – 6}{6x}$
Şimdi çapraz çarpım yaparak denklemi çözelim.
Adım 3: $4 times 6x = 3x times (x – 6)$
Bu işlem sonucunda: $24x = 3x^2 – 18x$ olur.
Şimdi tüm terimleri bir tarafa toplayarak ikinci dereceden bir denklem oluşturalım.
Adım 4: $0 = 3x^2 – 18x – 24x$
Bu işlem sonucunda: $0 = 3x^2 – 42x$ elde ederiz.
Bu denklemi ‘x’ parantezine alarak çözebiliriz.
Adım 5: $0 = 3x(x – 14)$
Bu çarpımın sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir. Yani:
Adım 6: $3x = 0$ veya $x – 14 = 0$
İlk denklemden $x = 0$ buluruz. Ancak orijinal denklemde paydada ‘3x’ olduğu için $x$ sıfır olamaz. Bu yüzden bu çözümü alamayız.
İkinci denklemden ise $x = 14$ buluruz.
Sonuç: $x = 14$
2. Hangi sayının çeyreği, aynı sayının 2 katının 70 eksiğine eşittir?
Bu problemde, bilmediğimiz sayıyı ‘x’ olarak adlandıralım. Problemde verilenleri matematiksel ifadelere dökelim.
Adım 1: Sayının çeyreği: $frac{x}{4}$
Adım 2: Sayının 2 katı: $2x$
Adım 3: Sayının 2 katının 70 eksiği: $2x – 70$
Problemde bu iki ifadenin birbirine eşit olduğu söyleniyor. O halde denklemi kuralım:
Adım 4: $frac{x}{4} = 2x – 70$
Şimdi bu denklemi çözerek ‘x’i bulalım. İlk olarak her iki tarafı 4 ile çarpalım.
Adım 5: $4 times frac{x}{4} = 4 times (2x – 70)$
Bu işlem sonucunda: $x = 8x – 280$ olur.
Şimdi ‘x’li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım. ‘x’i sağ tarafa ‘-x’ olarak, ‘-280’i sol tarafa ‘+280’ olarak geçirelim.
Adım 6: $280 = 8x – x$
Bu işlem sonucunda: $280 = 7x$ elde ederiz.
Son olarak ‘x’i bulmak için her iki tarafı 7’ye bölelim.
Adım 7: $frac{280}{7} = frac{7x}{7}$
Bu işlem sonucunda $x = 40$ buluruz.
Sonuç: Sayı 40’tır.
3. Enes, Musa ve Berat üç kardeştir. Musa; Berat’tan 3 yaş büyük, Enes’ten 2 yaş küçüktür. 4 yıl sonra üç kardeşin yaşları toplamı 29 olacağına göre Musa’nın bugünkü yaşı kaçtır?
Bu problemde, üç kardeşin yaşları arasındaki ilişkiyi ve gelecekteki yaş toplamını kullanarak bugünkü yaşlarını bulacağız. İlk olarak, yaşları bir bilinmeyen cinsinden ifade edelim. Musa’nın yaşını temel alalım.
Adım 1: Musa’nın bugünkü yaşı = $M$ olsun.
Adım 2: Musa, Berat’tan 3 yaş büyük olduğuna göre, Berat’ın bugünkü yaşı Musa’dan 3 yaş küçüktür: Berat’ın bugünkü yaşı = $M – 3$
Adım 3: Musa, Enes’ten 2 yaş küçük olduğuna göre, Enes’in bugünkü yaşı Musa’dan 2 yaş büyüktür: Enes’in bugünkü yaşı = $M + 2$
Şimdi 4 yıl sonraki yaşlarına bakalım:
Adım 4: 4 yıl sonra Musa’nın yaşı = $M + 4$
Adım 5: 4 yıl sonra Berat’ın yaşı = $(M – 3) + 4 = M + 1$
Adım 6: 4 yıl sonra Enes’in yaşı = $(M + 2) + 4 = M + 6$
Problemde 4 yıl sonra üç kardeşin yaşları toplamının 29 olacağı belirtilmiş. O halde bu yaşları toplayıp 29’a eşitleyelim.
Adım 7: $(M + 4) + (M + 1) + (M + 6) = 29$
Denklemi çözelim:
Adım 8: $M + 4 + M + 1 + M + 6 = 29$
Benzer terimleri birleştirelim:
Adım 9: $(M + M + M) + (4 + 1 + 6) = 29$
Bu işlem sonucunda: $3M + 11 = 29$ elde ederiz.
Şimdi ‘M’yi yalnız bırakmak için ‘+11’i sağ tarafa ‘-11’ olarak geçirelim.
Adım 10: $3M = 29 – 11$
Bu işlem sonucunda: $3M = 18$ olur.
Son olarak ‘M’yi bulmak için her iki tarafı 3’e bölelim.
Adım 11: $frac{3M}{3} = frac{18}{3}$
Bu işlem sonucunda $M = 6$ buluruz.
Soruda Musa’nın bugünkü yaşı soruluyor, ki biz bunu ‘M’ olarak tanımlamıştık.
Sonuç: Musa’nın bugünkü yaşı 6’dır.
4. Aynı noktadan bulunan iki araçtan saatteki ortalama sürati 90 km olan A aracı ile belirli bir sürati olan B aracı aynı anda zıt yönde harekete başlıyor. 5 saat sonra aralarındaki uzaklık 800 km olduğuna göre B aracının saatteki sürati kaç kilometredir?
Bu problemde, zıt yönde hareket eden iki aracın belirli bir süre sonra aralarındaki mesafeyi kullanarak bir aracın süratini bulacağız. İlk olarak, verilen bilgileri not alalım:
Adım 1: A aracının sürati ($V_A$) = 90 km/saat
Adım 2: Hareket süresi ($t$) = 5 saat
Adım 3: 5 saat sonra aralarındaki uzaklık ($U$) = 800 km
Adım 4: B aracının sürati ($V_B$) = ?
İki araç zıt yönde hareket ettiğinde, aralarındaki uzaklık, her bir aracın katettiği mesafelerin toplamına eşittir. Bir aracın katettiği yol, sürati ile süresinin çarpımına eşittir. ($Yol = Sürat times Zaman$)
Adım 5: A aracının 5 saatte katettiği yol ($Y_A$) = $V_A times t = 90 times 5 = 450$ km
Adım 6: B aracının 5 saatte katettiği yol ($Y_B$) = $V_B times t = V_B times 5$
Adım 7: Aralarındaki toplam uzaklık ($U$) = $Y_A + Y_B$
Şimdi verilen değerleri bu denkleme yerleştirelim:
Adım 8: $800 = 450 + (V_B times 5)$
Şimdi ‘B aracının sürati’ni bulmak için denklemi çözelim. İlk olarak 450’yi sol tarafa ‘-450’ olarak geçirelim.
Adım 9: $800 – 450 = V_B times 5$
Bu işlem sonucunda: $350 = V_B times 5$ olur.
Son olarak $V_B$’yi bulmak için her iki tarafı 5’e bölelim.
Adım 10: $frac{350}{5} = frac{V_B times 5}{5}$
Bu işlem sonucunda $V_B = 70$ buluruz.
Sonuç: B aracının saatteki sürati 70 kilometredir.
5. $frac{3x – 5}{4} = 2x + a$ denklemini sağlayan x’in değeri 3 olduğuna göre a kaçtır?
Bu problemde, bize bir denklem ve bu denklemi sağlayan ‘x’ değerinin 3 olduğu bilgisi verilmiş. Bu bilgileri kullanarak bilinmeyen ‘a’ değerini bulacağız.
Adım 1: Denklemimiz: $frac{3x – 5}{4} = 2x + a$
Adım 2: Denklemi sağlayan $x$ değeri: $x = 3$
Şimdi denklemdeki ‘x’ yerine 3 yazarak denklemi ‘a’ya göre çözelim.
Adım 3: $frac{3(3) – 5}{4} = 2(3) + a$
Parantez içindeki çarpma işlemlerini yapalım:
Adım 4: $frac{9 – 5}{4} = 6 + a$
Kesrin payındaki çıkarma işlemini yapalım:
Adım 5: $frac{4}{4} = 6 + a$
Kesri sadeleştirelim:
Adım 6: $1 = 6 + a$
Şimdi ‘a’yı yalnız bırakmak için 6’yı sol tarafa ‘-6’ olarak geçirelim.
Adım 7: $1 – 6 = a$
Bu işlem sonucunda: $a = -5$ buluruz.
Sonuç: a’nın değeri -5’tir.