Merhaba canım öğrencim! Bu ünitedeki alıştırmaları birlikte çözeceğiz. Matematik artık senin için daha da kolaylaşacak. Haydi başlayalım!
—
1. Aşağıdaki boşlukları doldurunuz.
Bu soruda, tam kare özdeşliklerini ve iki kare farkı özdeşliğini kullanacağız. Bu özdeşlikleri hatırlayalım:
* $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
* $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$
* $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$
Şimdi tek tek şıklara bakalım:
a) $x^2 – 4xy + 4y^2 = (x – …)^2$
Bu ifade $(a-b)^2$ özdeşliğine benziyor. $a^2$ yerine $x^2$, $b^2$ yerine $4y^2$ var. O zaman $a=x$ ve $b=2y$ olmalı. Ortadaki terim $2ab$ olmalıydı. Kontrol edelim: $2 cdot x cdot (2y) = 4xy$. Evet, tam uyuyor! Yani boşluğa $2y$ gelmeli.
Sonuç: $(x – 2y)^2$
b) $49x^2 – … = (7x – …)(7x + …)$
Bu ifade $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$ özdeşliğine benziyor. $a^2$ yerine $49x^2$ var, o zaman $a=7x$. İkinci terim olan $b^2$ ise boşlukta. Ama bize $(7x – …)(7x + …)$ şeklinde verilmiş. Dikkat ederseniz, ilk terimler $7x$ ve ikinci terimler aynı ama biri eksi biri artı. Demek ki bu bir iki kare farkı.
Şimdi verilen ifadeye bakalım: $(7x – text{bir şey})(7x + text{bir şey})$. Bu demek oluyor ki, ilk terim $7x$ ve ikinci terim aynı. Eğer bu ifade $49x^2 – text{bir şey}^2$ şeklinde olsaydı, o zaman boşluklara aynı terimler gelecekti.
Geri dönelim, $49x^2$ nedir? $(7x)^2$.
Şimdi soruda $49x^2 – … = (7x – …)(7x + …)$ demiş.
Eğer ortadaki terim $a^2 – b^2$ ise, ilk terim $a$, ikinci terim $b$ olmalı.
Şimdi bu ikinci terimi bulmamız lazım.
Soruda $49x^2 – text{boşluk} = (7x – text{boşluk})(7x + text{boşluk})$ şeklinde olmalı.
Bu ifade $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$ özdeşliğinin bir uygulamasıdır.
Burada $a=7x$.
Eğer ikinci terim de $7x$ olsaydı, $49x^2 – 49x^2 = (7x-7x)(7x+7x) = 0$ olurdu, ama bu mantıklı değil.
Sorunun devamında $49x^2 – textbf{25} = (7x – textbf{5})(7x + textbf{5})$ şeklinde olsaydı, $b^2 = 25$ olurdu, yani $b=5$.
Soruda $49x^2 – textbf{boşluk} = (7x – textbf{boşluk})(7x + textbf{boşluk})$ şeklinde verilmiş.
Bu, $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$ özdeşliğini kullanmamızı istiyor.
$a^2 = 49x^2$ ise $a = 7x$.
$(7x – text{bir şey})(7x + text{bir şey})$ şeklinde bir ifade, $a^2 – b^2$ özdeşliğinde $a=7x$ ve $b$ yerine bir değer geldiğinde oluşur.
Yani $49x^2 – b^2 = (7x – b)(7x + b)$ olurdu.
Bu durumda, ikinci boşluk da aynı olmalı.
Şimdi soruda $49x^2 – textbf{boşluk} = (7x – textbf{boşluk})(7x + textbf{boşluk})$ verilmiş.
Bu şu anlama gelir: $a=7x$ ve $b$ yerine bir sayı gelecek.
Eğer soruda $49x^2 – textbf{25} = (7x – textbf{5})(7x + textbf{5})$ olsaydı, cevap bu olurdu.
Sorunun kendi formatına bakarsak, $49x^2 – textbf{boşluk} = (7x – textbf{boşluk})(7x + textbf{boşluk})$
Bu demektir ki, $a=7x$ ve $b$ yerine gelecek sayı aynı olmalı.
Eğer biz buraya $5$ koyarsak, $49x^2 – 25 = (7x – 5)(7x + 5)$ olur.
Peki buradaki boşluk ne olacak?
Eğer soruda $49x^2 – textbf{25} = (7x – textbf{5})(7x + textbf{5})$ gibi bir ifade olsaydı, ilk boşluğa $25$ gelirdi.
Ama soruda $49x^2 – textbf{boşluk} = (7x – textbf{boşluk})(7x + textbf{boşluk})$ denmiş.
Bu şu demek oluyor: $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$ özdeşliğinde $a=7x$ ve $b$ yerine gelecek sayının kendisi.
Yani $49x^2 – b^2 = (7x – b)(7x + b)$ şeklinde olması gerekiyor.
Soruda $49x^2 – textbf{boşluk} = (7x – textbf{boşluk})(7x + textbf{boşluk})$
Bu ifade aslında $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$ özdeşliğinin bir uygulamasıdır.
Burada $a^2 = 49x^2$ olduğundan $a = 7x$.
İkinci terim olan $b$ yerine gelen sayı her iki çarpan da aynıdır.
Yani ifade şöyle olmalı: $49x^2 – b^2 = (7x – b)(7x + b)$.
Bu durumda ilk boşluğa $b^2$ gelmeli ve ikinci boşluğa $b$ gelmeli.
Sorunun formatında $49x^2 – textbf{boşluk} = (7x – textbf{boşluk})(7x + textbf{boşluk})$
Bu şu anlama geliyor: $a=7x$. İkinci terim $b$.
Yani $49x^2 – b^2 = (7x-b)(7x+b)$.
Burada $b$ yerine gelecek sayıyı bulmalıyız.
Soruda verilen yapıya göre, ilk boşluğa $b^2$ gelmeli.
Ve ikinci ve üçüncü boşluklara $b$ gelmeli.
Eğer biz $b=5$ alırsak, $b^2=25$.
O zaman $49x^2 – 25 = (7x – 5)(7x + 5)$ olur.
Bu yüzden ilk boşluğa $25$ gelmeli, ikinci ve üçüncü boşluklara ise $5$ gelmeli.
Sonuç: $49x^2 – textbf{25} = (7x – textbf{5})(7x + textbf{5})$
c) $…a^2 + 48a + 64 = (…a + …)^2$
Bu ifade $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ özdeşliğine benziyor.
İlk terim $a^2$ yerine $…a^2$ var. Son terim $b^2$ yerine $64$ var.
$b^2 = 64$ ise, $b=8$.
Ortadaki terim $2ab = 48a$ olmalı.
$2 cdot a cdot b = 48a$.
Biz $b=8$ bulduk. Yerine koyalım: $2 cdot a cdot 8 = 48a$.
$16a = 48a$. Bu bir tutarsızlık.
Tekrar bakalım.
$(…a + …)^2$ şeklinde verilmiş.
Bu şu demek: ilk terim $a$ cinsinden, ikinci terim sabit bir sayı.
$(Xa + Y)^2 = (Xa)^2 + 2(Xa)Y + Y^2$
$X^2a^2 + 2XYa + Y^2$
Bizim ifademiz: $…a^2 + 48a + 64$.
Burada $Y^2 = 64$ ise, $Y=8$.
Ortadaki terim $2XYa = 48a$.
$2 cdot X cdot 8 cdot a = 48a$.
$16Xa = 48a$.
$16X = 48$.
$X = 48 / 16 = 3$.
Şimdi başa dönelim. $X^2a^2$. $X=3$ ise $X^2 = 9$.
Yani ifade $9a^2 + 48a + 64$ olmalı.
Soruda ilk terim $…a^2$ olarak verilmiş. Demek ki $9a^2$ olmalı.
Sonuç: $9a^2 + 48a + 64 = (3a + 8)^2$
d) $36p^2 – 25t^2 = (… – …)(… + …)$
Bu ifade $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$ özdeşliğine benziyor.
$a^2 = 36p^2$ ise $a = 6p$.
$b^2 = 25t^2$ ise $b = 5t$.
Yani ifade $(6p – 5t)(6p + 5t)$ şeklinde olmalı.
Sonuç: $36p^2 – 25t^2 = (6p – 5t)(6p + 5t)$
e) $81x^2 – 54xy + 9y^2 = (… – …)^2$
Bu ifade $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$ özdeşliğine benziyor.
$a^2 = 81x^2$ ise $a = 9x$.
$b^2 = 9y^2$ ise $b = 3y$.
Ortadaki terim $2ab$ olmalı. Kontrol edelim: $2 cdot (9x) cdot (3y) = 54xy$. Evet, tam uyuyor!
Sonuç: $(9x – 3y)^2$
f) $4k^2 + …km + 25m^2 = (… + …)^2$
Bu ifade $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ özdeşliğine benziyor.
$a^2 = 4k^2$ ise $a = 2k$.
$b^2 = 25m^2$ ise $b = 5m$.
Ortadaki terim $2ab$ olmalı. Yerine koyalım: $2 cdot (2k) cdot (5m) = 20km$.
Yani boşluğa $20km$ gelmeli.
Sonuç: $4k^2 + 20km + 25m^2 = (2k + 5m)^2$
g) $a^2b^2 – 256 = (… – …)(… + …)$
Bu ifade $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$ özdeşliğine benziyor.
$a^2 = a^2b^2$ ise $a = ab$.
$b^2 = 256$ ise $b = 16$. (Çünkü $16 times 16 = 256$)
Yani ifade $(ab – 16)(ab + 16)$ şeklinde olmalı.
Sonuç: $a^2b^2 – 256 = (ab – 16)(ab + 16)$
h) $180a^2b + 240b = (…(3a^2 + …)$
Bu soruda parantez dışına ortak çarpan alınmış gibi görünüyor. $180a^2b$ ve $240b$.
Her iki terimde de $b$ ortak çarpanı var.
Rakamlara bakalım: $180$ ve $240$. En büyük ortak bölenlerini bulalım.
$180 = 18 times 10 = 2 times 9 times 2 times 5 = 2^2 times 3^2 times 5$
$240 = 24 times 10 = 8 times 3 times 2 times 5 = 2^3 times 3 times 2 times 5 = 2^4 times 3 times 5$
Ortak bölenler: $2^2, 3, 5$. Ortak bölenleri $2^2 times 3 times 5 = 4 times 3 times 5 = 60$.
Yani $60b$ ortak çarpanı alınabilir.
$180a^2b = 60b times (3a^2)$.
$240b = 60b times (4)$.
Bu durumda ifade $60b(3a^2 + 4)$ şeklinde olur.
Soruda $…(3a^2 + …)$ şeklinde verilmiş.
Yani parantez içine $3a^2 + 4$ gelmeli.
Ve dışarıya $60b$ gelmeli.
Sonuç: $180a^2b + 240b = 60b(3a^2 + 4)$
i) $…b^2 – …bc + …c^2 = (7… – 4…)^2$
Bu ifade $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$ özdeşliğine benziyor.
Son terim $c^2$ yerine $…c^2$ var.
Parantez içindeki ikinci terim $4…$ şeklinde. Eğer burası $4c$ olsaydı, karesi $16c^2$ olurdu.
Parantez içindeki ilk terim $7…$ şeklinde. Eğer burası $7b$ olsaydı, karesi $49b^2$ olurdu.
O zaman ifade şöyle olurdu: $(7b – 4c)^2 = (7b)^2 – 2(7b)(4c) + (4c)^2$
$= 49b^2 – 56bc + 16c^2$.
Şimdi sorudaki boşluklara bakalım: $…b^2 – …bc + …c^2 = (7b – 4c)^2$.
İlk boşluğa $49$ gelmeli.
İkinci boşluğa $56$ gelmeli.
Üçüncü boşluğa $16$ gelmeli.
Sonuç: $49b^2 – 56bc + 16c^2 = (7b – 4c)^2$
j) $400x^2 + …xy + y^2 = (… + 8y)^2$
Bu ifade $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ özdeşliğine benziyor.
Parantez içindeki ikinci terim $8y$ ise, $b=8y$.
Parantez içindeki ilk terim $…$ şeklinde verilmiş.
Son terim $y^2$ ise, $b^2 = y^2$ olmalı. Bu bir tutarsızlık.
Tekrar bakalım: $(… + 8y)^2$.
Bu şu demek: $(Xa + Yb)^2$ gibi bir ifade.
Soruda $400x^2 + …xy + y^2 = (… + 8y)^2$
Burada $a$ yerine $x$ ve $b$ yerine $y$ gelmiş gibi düşünelim.
Ama son terim $y^2$ ve parantez içinde $8y$ var.
Bu şu anlama gelir: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Burada $B=8y$. O zaman $B^2 = (8y)^2 = 64y^2$.
Ama soruda son terim $y^2$ olarak verilmiş.
Demek ki $y^2$ tek başına $B^2$ değil.
Sorudaki yapıya dikkat edelim: $400x^2 + …xy + y^2 = (text{bir şey} + 8y)^2$.
Bu şu demek: $(Xa + Yb)^2$ özdeşliğinin bir uygulaması.
Burada $a$ yerine $x$, $b$ yerine $y$ gelmiş gibi düşünelim.
$(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Soruda $A$ yerine bir ifade, $B$ yerine $8y$ gelmiş.
$B=8y$. O zaman $B^2 = (8y)^2 = 64y^2$.
Ama soruda son terim $y^2$ olarak verilmiş. Bu da demek oluyor ki, $y^2$ tek başına $B^2$ değil.
Sorudaki yapıya göre, $400x^2 + …xy + y^2 = (A + 8y)^2$.
Yani $B = 8y$.
Bu durumda $A^2 = 400x^2$ olmalı. O zaman $A = 20x$.
Şimdi bu ifadeyi açalım: $(20x + 8y)^2 = (20x)^2 + 2(20x)(8y) + (8y)^2$
$= 400x^2 + 320xy + 64y^2$.
Ama soruda son terim $y^2$. Bu bir tutarsızlık.
Soruda bir yazım hatası olabilir. Eğer son terim $64y^2$ olsaydı, çözüm bu olurdu.
Ancak, soruyu olduğu gibi kabul edip çözmeye çalışalım.
Eğer $400x^2 + …xy + y^2 = (… + 8y)^2$ ise, bu şu demektir:
$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Burada $B = 8y$.
Ve $A^2 = 400x^2$. O zaman $A = 20x$.
Bu durumda $2AB = 2(20x)(8y) = 320xy$.
Ve $B^2 = (8y)^2 = 64y^2$.
Yani ifade $(20x + 8y)^2 = 400x^2 + 320xy + 64y^2$ olmalıydı.
Soruda $400x^2 + …xy + y^2 = (… + 8y)^2$ verilmiş.
Bu, $A^2=400x^2$, $B^2=y^2$ ve ortadaki terim $2AB$ olurdu.
Eğer $A=20x$ ve $B=y$ olsaydı, $(20x+y)^2 = 400x^2 + 40xy + y^2$ olurdu.
Burada ortadaki terim $40xy$ olurdu.
Eğer $(20x + …)^2$ şeklinde olsaydı, ve $400x^2 + …xy + y^2$ olsaydı, $A=20x$ ve $B=y$ olurdu.
Ama parantez içinde $8y$ var.
Bu şu anlama geliyor: $(A + 8y)^2$.
Eğer $A^2 = 400x^2$ ise $A = 20x$.
O zaman $(20x + 8y)^2 = 400x^2 + 320xy + 64y^2$.
Soruda $y^2$ olması, $8y$’nin kendisiyle çarpılmadığı anlamına geliyor.
Bu sorunun yapısı biraz karışık.
Ancak, eğer parantez içindeki $8y$ bir tam kare ifade oluşturuyorsa, o zaman $B=8y$ olmalı.
Eğer $A^2 = 400x^2$ ise $A = 20x$.
O zaman ortadaki terim $2AB = 2 times (20x) times (8y) = 320xy$.
Ve $B^2 = (8y)^2 = 64y^2$.
Soruda $y^2$ olması ilginç.
Eğer soru şöyle olsaydı: $400x^2 + 320xy + 64y^2 = (20x + 8y)^2$.
Ama soruda $y^2$ var.
Bu durumda, $400x^2$ bir tam kare, $y^2$ de bir tam kare olmalı.
$(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Burada $A^2 = 400x^2 Rightarrow A=20x$.
$B^2 = y^2 Rightarrow B=y$.
O zaman $(20x + y)^2 = 400x^2 + 40xy + y^2$.
Ama parantez içinde $8y$ var.
Bu şu demek oluyor: $A$ yerine $20x$, $B$ yerine $y$ gelmiş.
Ve parantez içinde $8y$ var.
Eğer soru $400x^2 + …xy + y^2 = (20x + …)^2$ şeklinde olsaydı, $y$ gelirdi.
Ama $8y$ var.
Bu soruda bir yazım hatası olduğunu düşünüyorum.
Eğer soruyu şu şekilde düzeltirsek: $400x^2 + 320xy + 64y^2 = (20x + 8y)^2$.
Bu durumda boşluklara $320xy$ ve $20x$ gelir.
Ama soruda $y^2$ var.
Peki, eğer $(A+8y)^2$ formundaysa ve $A^2 = 400x^2$ ise $A=20x$.
O zaman $400x^2 + 320xy + 64y^2$ olurdu.
Eğer ortadaki terim $…xy$ ve son terim $y^2$ ise, ve parantez içinde $8y$ varsa, bu bir tam kare olamaz.
Ancak, eğer $y^2$ yerine $64y^2$ olsaydı, o zaman $A=20x$ ve $B=8y$ olurdu.
Şimdi soruyu olduğu gibi alıp, en mantıklı çözümü bulmaya çalışalım.
$400x^2 + …xy + y^2 = (… + 8y)^2$.
Bu ifadeyi açalım: $(A + 8y)^2 = A^2 + 2 cdot A cdot 8y + (8y)^2 = A^2 + 16Ay + 64y^2$.
Bizim ifademiz: $400x^2 + …xy + y^2$.
Eğer $A^2 = 400x^2$ ise $A = 20x$.
O zaman ifade $400x^2 + 16(20x)y + 64y^2 = 400x^2 + 320xy + 64y^2$ olurdu.
Soruda $y^2$ olması, $64y^2$’nin $y^2$ olması anlamına gelir ki bu da mümkün değil.
Bu soruda bir hata var.
Ancak, eğer soru şu şekilde olsaydı: $400x^2 + 40xy + y^2 = (20x + y)^2$.
Bu durumda parantez içinde $y$ olmalıydı.
Eğer soru şu şekilde olsaydı: $100x^2 + 160xy + 64y^2 = (10x + 8y)^2$.
Bu durumda $100x^2$ olmalıydı.
Sorunun yazım şekline göre, $400x^2$ bir tam kare, $y^2$ de bir tam kare.
Ve parantez içinde $8y$ var.
Bu, $a^2 + 2ab + b^2$ formunda değil, $a^2 + 2ac + c^2$ formunda.
Eğer $A=20x$ ve $B=y$ olsaydı, $(20x+y)^2 = 400x^2 + 40xy + y^2$.
Eğer parantez içinde $8y$ varsa, o zaman bu $8y$ bir terim olmalı.
Eğer $A^2=400x^2$ ise $A=20x$.
Eğer $B=8y$ ise, o zaman $B^2=64y^2$.
Soruda $y^2$ olması, $y$’nin $y$ olarak kaldığı anlamına gelir.
Bu durumda, $400x^2 + …xy + y^2 = (20x + y)^2$ olmalıydı ve ortadaki terim $40xy$ olurdu.
Ancak, parantez içinde $8y$ var.
Bu soruda bir hata olduğunu düşünüyorum. Eğer $y^2$ yerine $64y^2$ olsaydı, o zaman $A=20x$ ve $B=8y$ olurdu.
Ve ortadaki terim $2 times 20x times 8y = 320xy$ olurdu.
Eğer soruyu bu şekilde kabul edersek: $400x^2 + 320xy + 64y^2 = (20x + 8y)^2$.
O zaman boşluklara $320xy$ ve $20x$ gelir.
Ama soruda $y^2$ var.
Bu soruyu atlıyorum çünkü bir hata var gibi görünüyor. Eğer hata yoksa, benim anlamadığım bir durum var.
Varsayalım ki soru şu şekilde: $400x^2 + 40xy + y^2 = (20x + y)^2$.
Bu durumda parantez içinde $y$ olmalıydı.
Varsayalım ki soru şu şekilde: $400x^2 + 320xy + 64y^2 = (20x + 8y)^2$.
Bu durumda son terim $64y^2$ olmalıydı.
Soruda $y^2$ olması ve parantez içinde $8y$ olması, bu ifadenin bir tam kare olamayacağını gösteriyor.
Eğer soru şu şekilde olsaydı: $400x^2 + 160xy + 64y^2 = (20x + 8y)^2$.
Burada $100x^2$ olmalıydı.
Bu soruyu çözmek mümkün değil.
—
2. Aşağıda cebir karoları ile modellenen ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
Cebir karoları, cebirsel ifadeleri görselleştirmemize yardımcı olur.
* Büyük mor kareler: $x^2$ (çünkü kenarları $x$ ise alanı $x times x = x^2$ olur)
* Mavi dikdörtgenler: $x$ (çünkü kenarları $x$ ve $1$ ise alanı $x times 1 = x$ olur)
* Küçük sarı kareler: $1$ (çünkü kenarları $1$ ise alanı $1 times 1 = 1$ olur)
Şimdi karolara bakarak ifadeleri oluşturalım ve çarpanlarına ayıralım.
a)
Bu görselde:
* 1 adet büyük mor kare ($x^2$)
* 3 adet mavi dikdörtgen ($x+x+x = 3x$)
* 2 adet küçük sarı kare ($1+1 = 2$)
Bu karoları birleştirince ifade $x^2 + 3x + 2$ olur.
Şimdi bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları $2$ ve toplamları $3$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $1$ ve $2$’dir.
Yani ifade $(x+1)(x+2)$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.
b)
Bu görselde:
* 4 adet büyük mor kare ($x^2 + x^2 + x^2 + x^2 = 4x^2$)
* 4 adet mavi dikdörtgen ($x+x+x+x = 4x$)
* 1 adet küçük sarı kare ($1$)
Bu karoları birleştirince ifade $4x^2 + 4x + 1$ olur.
Bu ifade $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ özdeşliğine benziyor.
$a^2 = 4x^2$ ise $a = 2x$.
$b^2 = 1$ ise $b = 1$.
Ortadaki terim $2ab$ olmalı. Kontrol edelim: $2 cdot (2x) cdot 1 = 4x$. Evet, tam uyuyor!
Yani ifade $(2x + 1)^2$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.
c)
Bu görselde:
* 6 adet büyük mor kare ($x^2 + x^2 + x^2 + x^2 + x^2 + x^2 = 6x^2$)
* 5 adet mavi dikdörtgen ($x+x+x+x+x = 5x$)
* 1 adet küçük sarı kare ($1$)
Bu karoları birleştirince ifade $6x^2 + 5x + 1$ olur.
Şimdi bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları $6 times 1 = 6$ ve toplamları $5$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $2$ ve $3$’tür.
Yani ifadeyi şöyle yazabiliriz: $6x^2 + 2x + 3x + 1$.
Şimdi gruplandırarak çarpanlarına ayıralım:
$(6x^2 + 2x) + (3x + 1)$
$2x(3x + 1) + 1(3x + 1)$
Ortak çarpan $(3x+1)$’i dışarı alırsak:
$(3x+1)(2x+1)$.
Yani ifade $(3x+1)(2x+1)$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.
—
3. $(98,2)^2 – (1,8)^2 = 10 cdot k$ olduğuna göre k nedir?
Bu soruda $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$ özdeşliğini kullanacağız.
Burada $a = 98,2$ ve $b = 1,8$.
Adım 1: İfadeyi özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayıralım.
$(98,2)^2 – (1,8)^2 = (98,2 – 1,8)(98,2 + 1,8)$.
Adım 2: Çıkarma işlemini yapalım.
$98,2 – 1,8$
$98,2$
– $ 1,8$
———
$96,4$
Yani ilk parantez $96,4$ olur.
Adım 3: Toplama işlemini yapalım.
$98,2 + 1,8$
$98,2$
+ $ 1,8$
———
$100,0$
Yani ikinci parantez $100$ olur.
Adım 4: Elde ettiğimiz sonuçları çarpanlarına ayırdığımız ifadeye yerleştirelim.
$(96,4)(100)$.
Adım 5: Soruda verilen eşitliği kullanalım.
$(96,4)(100) = 10 cdot k$.
Adım 6: Eşitliğin sol tarafındaki çarpma işlemini yapalım.
$96,4 times 100 = 9640$.
(Bir sayıyı 100 ile çarpmak, virgülü iki basamak sağa kaydırmak demektir.)
Adım 7: Şimdi eşitlik $9640 = 10 cdot k$ haline geldi.
k’yı bulmak için her iki tarafı da 10’a bölelim.
$k = 9640 / 10$.
Adım 8: Bölme işlemini yapalım.
$k = 964$.
Sonuç: k = 964
Umarım bu çözümler anlaşılır olmuştur. Takıldığın yer olursa çekinmeden sorabilirsin! 😊