Merhaba sevgili öğrencim,
Harika sorularla karşılaştık! Birlikte bu soruları adım adım, tane tane çözeceğiz. Matematik aslında bir bulmaca gibidir, doğru parçaları birleştirdiğimizde sonuç kendiliğinden ortaya çıkar. Hazırsan, başlayalım!
Soru 4: √(108 ⋅ 92 + 8²) / √(900² – 2 ⋅ 900 ⋅ 898 + 898²) işleminin sonucu kaçtır?
Sevgili arkadaşım, bu sorudaki büyük sayılar gözünü korkutmasın. Bu tür sorular genellikle bizden uzun uzun çarpma yapmamızı değil, öğrendiğimiz özdeşlikleri kullanmamızı ister. Hadi o gizli formülleri bulalım!
Adım 1: Pay (üst kısım) ile başlayalım.
İfade: √(108 ⋅ 92 + 8²)
Burada 108 ve 92 sayıları dikkatimizi çekiyor. İkisi de 100’e çok yakın. Şöyle yazabilir miyiz?
- 108 = 100 + 8
- 92 = 100 – 8
Şimdi bunları yerine koyalım: √((100 + 8) ⋅ (100 – 8) + 8²)
Gördün mü? Parantezin içi sana tanıdık geldi mi? Bu, iki kare farkı özdeşliğidir! Yani: (a + b)(a – b) = a² – b²
Burada a=100 ve b=8. O zaman ifademiz şöyle olur:
√(100² – 8² + 8²)
Buradaki -8² ve +8² birbirini götürür. Geriye sadece √(100²) kalır. Karekök ile kare birbirini götüreceği için sonuç 100 olur. Harika!
Adım 2: Şimdi de paydaya (alt kısım) bakalım.
İfade: √(900² – 2 ⋅ 900 ⋅ 898 + 898²)
Bu ifade de çok tanıdık! Bu da birincinin karesi, eksi birinci ile ikincinin çarpımının iki katı, artı ikincinin karesi… Yani tam kare özdeşliği! Formülü hatırlayalım: (a – b)² = a² – 2ab + b²
Burada a=900 ve b=898. O zaman ifademiz şuna eşit olur:
√((900 – 898)²)
Parantezin içini yapalım: √(2²)
Yine karekök ile kare birbirini götürür ve sonuç 2 olur. Süper!
Adım 3: Sonucu bulalım.
Payı 100, paydayı 2 bulduk. O zaman işlemimiz:
100 / 2 = 50
Sonuç: 50
Soru 5: Uzun kenarı 3x birim, kısa kenarı 1 birim olan eş sekiz dikdörtgenden oluşan şekil yanda verilmiştir. Taralı bölgenin alanını ifade eden cebirsel ifade Ax² + Bx + C olduğuna göre A + B + C kaçtır?
Bu şekilli sorular en sevdiklerimden! Sadece dikkatli bir şekilde kenar uzunluklarını bulmamız gerekiyor.
Adım 1: Büyük şeklin kenar uzunluklarını bulalım.
Şeklin tamamı bir kare gibi duruyor, hadi kanıtlayalım. Üst kenara bakalım: bir kısa kenar (1 birim), bir uzun kenar (3x birim) ve yine bir kısa kenardan (1 birim) oluşuyor.
Toplam uzunluk: 1 + 3x + 1 = 3x + 2
Şimdi sol kenara bakalım: o da aynı şekilde bir kısa kenar (1), bir uzun kenar (3x) ve bir kısa kenardan (1) oluşuyor.
Toplam uzunluk: 1 + 3x + 1 = 3x + 2
Evet, büyük şeklimiz bir kenarı (3x + 2) olan bir kareymiş.
Adım 2: Taralı (içteki) bölgenin kenar uzunluklarını bulalım.
Taralı bölgenin yatay kenarı, tam ortadaki yatay duran dikdörtgenin uzun kenarına eşit. Yani 3x birim.
Taralı bölgenin dikey kenarı ise, tam ortadaki dikey duran dikdörtgenin uzun kenarına eşit. Yani o da 3x birim.
Demek ki içteki taralı bölgemiz de bir kenarı 3x olan bir kareymiş!
Adım 3: Taralı bölgenin alanını hesaplayalım.
Karenin alanı bir kenarının kendisiyle çarpımıdır.
Alan = (3x) ⋅ (3x) = 9x²
Adım 4: A, B ve C katsayılarını bulalım.
Soru bize alanın Ax² + Bx + C şeklinde olduğunu söylemişti.
Bizim bulduğumuz alan ise 9x².
Bu iki ifadeyi eşitlemek için bizim ifademizde eksik olan terimleri 0 ile yazalım: 9x² + 0x + 0
Şimdi karşılaştıralım:
- A (x²’nin katsayısı) = 9
- B (x’in katsayısı) = 0
- C (sabit terim) = 0
Adım 5: A + B + C toplamını bulalım.
A + B + C = 9 + 0 + 0 = 9
Sonuç: 9
Soru 6: Yandaki görselde verilen karesel bölge biçimindeki piknik alanı içinde yer alan tabanı kare biçimindeki büfe ve marketin alanları sırasıyla 36 m² ve 64 m² dir. Piknik alanının bir kenar uzunluğu y metre ise yeşil bölgenin alanını veren cebirsel ifadeyi ve bu cebirsel ifadenin özdeşini yazınız.
Bu soru da oldukça keyifli bir alan problemi. Büyük alandan istenmeyen küçük alanları çıkaracağız, hepsi bu!
Adım 1: Toplam alanı bulalım.
Piknik alanı bir kare ve bir kenarı ‘y’ metre.
Karenin alanı = kenar × kenar = y × y = y² m²
Adım 2: Yeşil olmayan alanları toplayalım.
Piknik alanının içinde bir büfe ve bir market var. Bunlar yeşil değil.
Büfenin alanı = 36 m²
Marketin alanı = 64 m²
Toplam yeşil olmayan alan = 36 + 64 = 100 m²
Adım 3: Yeşil alanın cebirsel ifadesini yazalım.
Yeşil Alan = (Toplam Alan) – (Yeşil Olmayan Alan)
Yeşil Alan = y² – 100
Adım 4: Bu ifadenin özdeşini bulalım.
y² – 100 ifadesi sana bir şey hatırlattı mı? Tabii ki iki kare farkı özdeşliği!
Çünkü 100, 10’un karesidir (10²).
İfadeyi şöyle yazabiliriz: y² – 10²
Formülümüz neydi? a² – b² = (a – b)(a + b)
O zaman bizim ifademizin özdeşi: (y – 10)(y + 10) olur.
Sonuç:
Cebirsel İfade: y² – 100
Özdeşi: (y – 10)(y + 10)
Soru 7: Aşağıdaki sütun grafiğinde bir araştırmacının seçtiği belirli bir bölgedeki en çok bulunan ev türleri ve bunların miktarları, tabloda ise bu evlerin TL cinsinden maddi değerleri verilmiştir. Buna göre bu evlerin toplam değerini veren cebirsel ifadeyi yazınız.
Bu soruda grafik ve tabloyu birleştirerek sonuca ulaşacağız. Her ev türünün toplam değerini bulup en sonunda hepsini toplayacağız. Yine özdeşlikler en iyi dostumuz olacak!
Adım 1: Her ev türünün toplam değerini ayrı ayrı hesaplayalım.
Toplam Değer = (Ev Sayısı) × (Bir Evin Değeri)
- Yalı:
Sayı: (2x – 2)
Değer: (2x – 2)
Toplam Değer = (2x – 2)(2x – 2) = (2x – 2)²
Bu bir tam kare ifadedir: (2x)² – 2(2x)(2) + 2² = 4x² – 8x + 4 - Konak:
Sayı: (5x + 7)
Değer: (5x – 7)
Toplam Değer = (5x + 7)(5x – 7)
Bu bir iki kare farkı ifadesidir: (5x)² – 7² = 25x² – 49 - Taş Ev:
Sayı: (x – 5)
Değer: (x + 5)
Toplam Değer = (x – 5)(x + 5)
Bu da bir iki kare farkı ifadesidir: x² – 5² = x² – 25 - Çiftlik:
Sayı: (4x + 4)
Değer: (4x + 4)
Toplam Değer = (4x + 4)(4x + 4) = (4x + 4)²
Bu da bir tam kare ifadesidir: (4x)² + 2(4x)(4) + 4² = 16x² + 32x + 16
Adım 2: Tüm bu ifadeleri toplayalım.
Şimdi benzer terimleri (x²’lileri kendi arasında, x’lileri kendi arasında ve sabit sayıları kendi arasında) toplayacağız.
(4x² – 8x + 4) + (25x² – 49) + (x² – 25) + (16x² + 32x + 16)
Adım 3: Benzer terimleri bir araya getirelim.
- x²’li terimler: 4x² + 25x² + x² + 16x² = 46x²
- x’li terimler: -8x + 32x = 24x
- Sabit sayılar: 4 – 49 – 25 + 16 = -54
Adım 4: Sonucu yazalım.
Tüm terimleri birleştirdiğimizde toplam değeri veren cebirsel ifadeyi bulmuş oluruz.
Sonuç: 46x² + 24x – 54
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Gördüğün gibi, konuları iyi bildiğimizde sorular ne kadar karışık görünürse görünsün çözümü oldukça basit olabiliyor. Başarılar dilerim!