Harika bir soru, sevgili öğrencilerim! Gelin hep birlikte bu “Sıra Sizde” bölümündeki soruları adım adım, anlayarak çözelim. Bu soruların hepsi, matematikte en çok işimize yarayan özdeşliklerden biri olan iki kare farkı ile ilgili.
Unutmayalım, iki kare farkı özdeşliği şuydu:
a² – b² = (a – b) ∙ (a + b)
Yani, bir ifadenin karesinden başka bir ifadenin karesini çıkardığımızda, bu iki ifadenin farkı ile toplamını çarparız. Şimdi bu sihirli formülü kullanarak sorularımızı çözelim!
Soru a) 4x² – 64 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
Haydi bu ifadeyi iki kare farkı formülümüze benzetelim.
- Adım 1: İlk terimimiz 4x². Bu ifade neyin karesidir? Düşünelim… 4, 2’nin karesi; x² de x’in karesi. O zaman 4x², (2x)‘in karesidir. Yani formülümüzdeki a = 2x oldu.
- Adım 2: İkinci terimimiz 64. 64 hangi sayının karesidir? Evet, 8‘in karesi! O zaman formülümüzdeki b = 8 oldu.
- Adım 3: Artık ‘a’ ve ‘b’ değerlerimizi bulduğumuza göre (a – b)(a + b) formülünde yerlerine yazabiliriz.
(2x – 8)(2x + 8)
Sonuç:(2x – 8)(2x + 8)
Soru b) 16a²b² – 100 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
Yine aynı yöntemi kullanacağız, hiç korkmayın!
- Adım 1: İlk terim 16a²b². Bu ifade neyin karesi olabilir? 16, 4’ün karesi; a², a’nın karesi; b² de b’nin karesi. Hepsini birleştirirsek 16a²b², (4ab)‘nin karesi olur. Demek ki a = 4ab.
- Adım 2: İkinci terimimiz 100. Bu sayıyı tanıyoruz, 10‘un karesi! O zaman b = 10.
- Adım 3: Formülümüzde (a – b)(a + b) yerine yazalım.
(4ab – 10)(4ab + 10)
Sonuç:(4ab – 10)(4ab + 10)
Soru c) 9y² – 49x² ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
Bu sefer iki terimde de harfler var ama kuralımız değişmiyor.
- Adım 1: İlk terim 9y². Bu, (3y)‘nin karesidir. Yani a = 3y.
- Adım 2: İkinci terim 49x². Bu da (7x)‘in karesidir. Yani b = 7x.
- Adım 3: Şimdi formülde yerine koyalım: (a – b)(a + b).
(3y – 7x)(3y + 7x)
Sonuç:(3y – 7x)(3y + 7x)
Soru ç) 121p² – 225r² ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
Sayılar biraz büyüse de yöntemimiz aynı, kendimize güvenelim!
- Adım 1: İlk terim 121p². 121, 11‘in karesidir. O zaman bu terim (11p)‘nin karesi olur. a = 11p.
- Adım 2: İkinci terim 225r². 225 ise 15‘in karesidir. O zaman bu terim de (15r)‘nin karesi olur. b = 15r.
- Adım 3: Haydi formülde yerine yazalım: (a – b)(a + b).
(11p – 15r)(11p + 15r)
Sonuç:(11p – 15r)(11p + 15r)
Soru d) 900e² – 400f² ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
Sıfırlı sayılar gözünüzü korkutmasın, onlar işimizi daha da kolaylaştırır.
- Adım 1: İlk terim 900e². 900, 30‘un karesidir (çünkü 3’ün karesi 9, yanına da iki sıfır). O zaman bu terim (30e)‘nin karesidir. a = 30e.
- Adım 2: İkinci terim 400f². 400 de 20‘nin karesidir (4’ün karesi 2, yanına iki sıfır). O zaman bu terim de (20f)‘nin karesidir. b = 20f.
- Adım 3: Formülde yerine yazalım: (a – b)(a + b).
(30e – 20f)(30e + 20f)
Sonuç:(30e – 20f)(30e + 20f)
Soru e) 482² – 480² ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
İşte bu soru, iki kare farkı özdeşliğinin ne kadar faydalı olduğunu gösteren harika bir örnek! Sakın 482’nin ve 480’in karesini hesap makinesi olmadan almaya çalışmayın, çok daha kolay bir yolu var!
- Adım 1: İfademiz zaten a² – b² formatında. Burada a = 482 ve b = 480.
- Adım 2: Hemen formülümüzü uygulayalım: (a – b)(a + b).
- Adım 3: Sayıları yerlerine yazalım: (482 – 480)(482 + 480)
- Adım 4: Şimdi parantezlerin içindeki işlemleri yapalım.
Birinci parantez: 482 – 480 = 2
İkinci parantez: 482 + 480 = 962
- Adım 5: Son olarak bulduğumuz bu iki sonucu çarpalım: 2 ∙ 962
2 ∙ 962 = 1924
Sonuç:1924
Gördüğünüz gibi, büyük sayılarla uğraşmak yerine basit bir çıkarma ve toplama işlemiyle sonuca ulaştık. İşte matematik bu kadar güzel! Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim!