Harika bir soru! Elbette, 8. sınıf matematik öğretmenin olarak bu soruları senin için adım adım, tane tane çözeceğim. Unutma, matematikte önemli olan adımları doğru takip etmek ve neyi neden yaptığımızı anlamaktır. Haydi başlayalım!
Sıra Sizde 1
Aşağıdaki ifadelerin özdeşlerini dağılma özelliğini kullanarak bulunuz.
a) (x – 1) ∙ (x – 1)
Sevgili öğrencim, bu soruda bizden dağılma özelliğini kullanmamız isteniyor. Bu, birinci parantezdeki her bir terimi, ikinci parantezdeki her bir terimle ayrı ayrı çarpmamız gerektiği anlamına geliyor. Hadi yapalım!
- Adım 1: Önce birinci parantezdeki x‘i, ikinci parantezdeki her terimle çarpalım:
x ∙ (x – 1) = x ∙ x – x ∙ 1 = x² – x
- Adım 2: Şimdi de birinci parantezdeki –1‘i, ikinci parantezdeki her terimle çarpalım. İşaretlere dikkat etmeyi unutma!
–1 ∙ (x – 1) = (–1) ∙ x – (–1) ∙ 1 = –x + 1
- Adım 3: Bulduğumuz bu iki sonucu şimdi bir araya getirelim:
x² – x – x + 1
- Adım 4: Son olarak, benzer terimleri (yani x’li terimleri) kendi aralarında toplayalım:
x² + (–x – x) + 1 = x² – 2x + 1
Sonuç:
x² – 2x + 1
Küçük bir ipucu: Fark ettiysen bu işlem aslında (x-1)²’nin açılımıdır. Bu da “iki terimin farkının karesi” özdeşliğidir. Bu özdeşliği hatırlamak sana sınavlarda zaman kazandırır!
b) (2x – y) ∙ (2x – y)
Tıpkı bir önceki sorudaki gibi, yine dağılma özelliğini kullanacağız. Hiç gözün korkmasın, mantık tamamen aynı.
- Adım 1: Birinci parantezdeki 2x‘i, ikinci parantezdeki terimlerle çarpalım:
2x ∙ (2x – y) = (2x ∙ 2x) – (2x ∙ y) = 4x² – 2xy
- Adım 2: Şimdi de birinci parantezdeki –y‘yi, ikinci parantezdeki terimlerle çarpalım. Yine işaretlere çok dikkat ediyoruz!
–y ∙ (2x – y) = (–y ∙ 2x) – (–y ∙ y) = –2xy + y²
- Adım 3: Elde ettiğimiz sonuçları birleştirelim:
4x² – 2xy – 2xy + y²
- Adım 4: Benzer terimleri, yani –2xy‘leri bir araya getirelim:
4x² + (–2xy – 2xy) + y² = 4x² – 4xy + y²
Sonuç:
4x² – 4xy + y²
Sıra Sizde 2
x – y = 5 ve x ∙ y = 24 olduğuna göre x² + y² ifadesinin değerini bulunuz.
Bu soru, özdeşlikleri ne kadar iyi anladığımızı ölçen harika bir soru tipi! Bizden x² + y² ifadesini bulmamız isteniyor. Elimizdeki bilgi ise x – y = 5. Peki, (x-y)’den x² ve y²’li terimleri nasıl elde edebiliriz? Tabii ki karesini alarak!
- Adım 1: Bize verilen x – y = 5 eşitliğinin her iki tarafının da karesini alalım. Eşitliğin bozulmaması için bunu her iki tarafa da uygulamalıyız.
(x – y)² = 5²
- Adım 2: Sol taraftaki (x – y)² ifadesi, “iki terimin farkının karesi” özdeşliğidir. Bunu açalım:
(x – y)² = x² – 2xy + y²
- Adım 3: Şimdi bu açılımı eşitliğimizde yerine yazalım:
x² – 2xy + y² = 25
- Adım 4: Soruda bize bir bilgi daha verilmişti: x ∙ y = 24. Bu bilgiyi denklemimizdeki xy‘nin yerine koyalım.
x² – 2(24) + y² = 25
- Adım 5: İşlemi yapalım: 2 ∙ 24 = 48.
x² – 48 + y² = 25
- Adım 6: Artık aradığımız x² + y² ifadesini yalnız bırakma zamanı! Eşitlikteki –48‘i, karşı tarafa +48 olarak gönderelim.
x² + y² = 25 + 48
- Adım 7: Son olarak toplama işlemini yapalım ve sonuca ulaşalım.
x² + y² = 73
Sonuç:
73
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!