Harika bir istek! Merhaba sevgili 8. sınıf öğrencim, ben senin Matematik öğretmeninim. Gönderdiğin görseldeki soruları senin için adım adım, tane tane çözeceğim. Tıpkı derste yaptığımız gibi, her adımı net bir şekilde anlayacaksın. Hazırsan başlayalım!
Çözümlü Örnek 3
1’den 23’e kadar numaralandırılmış durakların bulunduğu bir güzergâhta hareket eden üç farklı aracın yolcu aldıkları duraklar ile ilgili bilgiler aşağıda verilmiştir.
- Otobüs: Numarası sadece 2 ve 2’nin katları olan duraklardan yolcu almaktadır.
- Servis aracı: Numarası sadece tek sayı olan duraklardan yolcu almaktadır.
- Minibüs: Numarası sadece 3 ve 3’ün katları olan duraklardan yolcu almaktadır.
Ömer, Esma ve Mert; farklı ulaşım araçlarının birlikte harekete başladığı ilk duraktan bu araçlara binip 23 duraklık güzergâhı geçerek evlerine gideceklerdir.
- Ömer hem servisle hem de minibüsle evine gidebilmekte,
- Esma hem otobüsle hem de minibüsle evine gidebilmekte,
- Mert ise sadece servisle evine gidebilmektedir.
Buna göre Ömer, Esma ve Mert’in evlerinin bulunduğu durakların numaralarının toplamının en çok kaç olabileceğini bulalım.
Çözüm:
Merhaba sevgili öğrencim, bu soruyu çözmek için her bir kişinin hangi duraklarda inebileceğini bulmalı ve toplamın en çok olmasını istediğimiz için her biri için mümkün olan en büyük numaralı durağı seçmeliyiz. Haydi başlayalım!
Adım 1: Ömer’in durağını bulalım.
Ömer hem servisle hem de minibüsle gidebiliyormuş. Bu ne demek? Demek ki Ömer’in evinin olduğu durağın numarası hem servis aracının durduğu bir durak (yani tek sayı) hem de minibüsün durduğu bir durak (yani 3’ün katı) olmalı. Kısacası, durağın numarası 3’ün katı olan bir tek sayı olmalı.
1’den 23’e kadar bu şartı sağlayan sayılar: 3, 9, 15, 21.
Toplamın en büyük olmasını istediğimiz için Ömer’in inebileceği en büyük numaralı durak 21‘dir.Adım 2: Esma’nın durağını bulalım.
Esma ise hem otobüsle hem de minibüsle gidebiliyor. Yani Esma’nın durağı hem otobüsün durduğu (2’nin katı, yani çift sayı) hem de minibüsün durduğu (3’ün katı) bir durak olmalı. Bir sayı hem 2’nin hem de 3’ün katı ise, o sayı aynı zamanda 6’nın katıdır.
1’den 23’e kadar 6’nın katı olan sayılar: 6, 12, 18.
En büyük değeri seçmemiz gerektiği için Esma’nın inebileceği en büyük numaralı durak 18‘dir.Adım 3: Mert’in durağını bulalım.
Mert ise sadece servisle evine gidebiliyormuş. Bu çok önemli! Yani durağı tek sayı olmalı ama aynı zamanda minibüsün veya otobüsün durduğu bir durak olmamalı. Yani durağı tek sayı olacak ama 3’ün katı olmayacak.
1’den 23’e kadar olan tek sayılar: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23.
Bu sayılardan 3’ün katı olanları (Ömer’in inebileceği duraklar) çıkarmalıyız:3, 9, 15, 21.
Geriye kalanlar Mert’in inebileceği duraklardır: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Mert için seçebileceğimiz en büyük numaralı durak ise 23‘tür.Adım 4: Toplamı bulalım.
Şimdi bulduğumuz en büyük durak numaralarını toplayalım.
Ömer’in durağı: 21
Esma’nın durağı: 18
Mert’in durağı: 23Toplam = 21 + 18 + 23 = 62
Sonuç: Ömer, Esma ve Mert’in evlerinin bulunduğu durak numaralarının toplamı en çok 62 olabilir.
Sıra Sizde 1
Fatma, 120 adet pembe ve 200 adet mavi boncuğun tamamını pembe ile mavi boncuklar karışmayacak ve her pakette eşit sayıda boncuk olacak şekilde paketleyecektir. Her paketi maliyeti 5 kuruş olan tel zımbayla kapatan Fatma’nın zımbalar için en az kaç TL’ye ihtiyacı vardır?
Çözüm:
Haydi şimdi bu boncuk problemini çözelim! Bu tür sorularda anahtar kelimelere dikkat etmeliyiz.
Adım 1: Problemi Anlayalım ve Yöntem Belirleyelim.
Soruda boncukları “eşit sayıda” paketlere ayırmamız isteniyor. Bu, hem 120’yi hem de 200’ü tam bölebilen bir sayı bulmamız gerektiği anlamına gelir. Yani 120 ve 200’ün ortak bölenini arıyoruz.
Sorunun devamında bizden “en az maliyet” isteniyor. En az maliyet için en az sayıda paket kullanmalıyız. En az sayıda paket yapmak için de her bir pakete koyabileceğimiz en fazla sayıda boncuğu koymalıyız. İşte bu da bizi 120 ve 200’ün En Büyük Ortak Böleni’ne (EBOB) götürür.
Adım 2: EBOB’u Bulalım.
120 ve 200 sayılarının EBOB’unu asal çarpan algoritması ile bulalım. (Her ikisini de bölen sayıları işaretlemeyi unutma!)
120 200 | 2*
60 100 | 2*
30 50 | 2*
15 25 | 5*
3 5 | 3
1 5 | 5
1 1İşaretlediğimiz sayıları çarpalım: EBOB(120, 200) = 2 x 2 x 2 x 5 = 40.
Bu bulduğumuz 40, her bir pakete koyulacak boncuk sayısıdır.Adım 3: Toplam Paket Sayısını Hesaplayalım.
Pembe boncuklar için gereken paket sayısı: 120 / 40 = 3 paket.
Mavi boncuklar için gereken paket sayısı: 200 / 40 = 5 paket.
Toplam paket sayısı = 3 + 5 = 8 paket.Adım 4: Toplam Maliyeti Bulalım.
Toplamda 8 paketimiz var ve her bir paketin zımbası 5 kuruş.
Toplam Maliyet = 8 (paket) x 5 (kuruş) = 40 kuruş.
Soru bizden sonucu TL olarak istiyor. 100 kuruş 1 TL olduğuna göre, 40 kuruş 0,40 TL eder.
Sonuç: Fatma’nın zımbalar için en az 0,40 TL‘ye ihtiyacı vardır.
Sıra Sizde 2
Zeynep ile Mehmet, karışları ile bir sıranın uzun kenar uzunluğunu tam olarak ölçebilmektedir. Zeynep’in bir karış uzunluğu 5 cm iken Mehmet’in bir karış uzunluğu 7 cm’dir. Sıranın uzun kenarının uzunluğu 100 cm’den fazla olduğuna göre Zeynep bu ölçümü en az kaç karış ile yapmıştır?
Çözüm:
Şimdi de Zeynep ve Mehmet’in sıra ölçme sorusuna bakalım. Bu da çok keyifli bir soru!
Adım 1: Problemi Anlayalım ve Yöntem Belirleyelim.
Sıranın uzunluğu hem Zeynep’in 5 cm’lik karışı ile hem de Mehmet’in 7 cm’lik karışı ile tam olarak ölçülebiliyor. Bu demek oluyor ki, sıranın uzunluğu hem 5’in hem de 7’nin bir ortak katı olmalıdır.
Soruda bizden Zeynep’in “en az” sayıda karışla ölçüm yapması isteniyor. Bu da sıranın olabilecek en kısa uzunluğunu bulmamız gerektiği anlamına gelir (tabii 100 cm’den büyük olma şartını unutmadan!). Bu durumda 5 ve 7’nin En Küçük Ortak Katı’nı (EKOK) bulmalıyız.
Adım 2: EKOK’u Bulalım.
5 ve 7 sayılarının EKOK’unu bulalım. Unutma, 5 ve 7 aralarında asal sayılardır. Aralarında asal sayıların EKOK’u, bu sayıların çarpımına eşittir.
EKOK(5, 7) = 5 x 7 = 35 cm.
Bu 35 cm, sıranın olabileceği en kısa uzunluktur. Ancak soruda bir şart daha var!
Adım 3: Şartı Sağlayan Sıra Uzunluğunu Bulalım.
Soruda sıranın uzunluğunun 100 cm’den fazla olduğu belirtilmişti. O halde 35’in katlarına bakarak 100’ü geçen ilk sayıyı bulmalıyız.
- 35 x 1 = 35 cm (100’den küçük)
- 35 x 2 = 70 cm (100’den küçük)
- 35 x 3 = 105 cm (100’den büyük! İşte aradığımız sayı bu!)
Demek ki sıramızın uzunluğu en az 105 cm olabilir.
Adım 4: Zeynep’in Karış Sayısını Bulalım.
Soru bizden Zeynep’in bu ölçümü en az kaç karış ile yaptığını istiyor. Sıranın uzunluğunu (105 cm) Zeynep’in bir karışının uzunluğuna (5 cm) böleceğiz.
Karış Sayısı = 105 / 5 = 21 karış.
Sonuç: Zeynep bu ölçümü en az 21 karış ile yapmıştır.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!