8. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları Meb Yayınları Sayfa 30
Harika bir çalışma! Hemen bu soruları bir 8. sınıf öğrencisinin en iyi şekilde anlayacağı dilde, adım adım çözelim. İşte başlıyoruz!
Soru 4: Bir yardım organizasyonu için hazırlanan koliler beşerli ve sekizerli gruplandırıldığında her seferinde 1 koli artmaktadır. Toplam koli sayısının 3 basamaklı bir sayı olduğu bilindiğine göre en az kaç koli hazırlanmıştır?
Merhaba sevgili öğrencim, bu soru tipik bir EKOK (En Küçük Ortak Kat) sorusu. Gel birlikte mantığını anlayalım.
Elimizdeki koli sayısını 5’e böldüğümüzde de, 8’e böldüğümüzde de kalan 1 oluyormuş. Bu ne demek? Eğer elimizde 1 koli eksik olsaydı, koli sayısı hem 5’e hem de 8’e tam bölünecekti! İşte kilit nokta burası.
Adım 1: Önce 5 ve 8’in en küçük ortak katını, yani EKOK’unu bulalım. 5 ve 8 aralarında asal sayılar olduğu için EKOK’ları bu iki sayının çarpımına eşittir.
EKOK(5, 8) = 5 x 8 = 40
Adım 2: Bu demek oluyor ki, eğer 1 koli eksik olsaydı, toplam koli sayısı 40’ın bir katı olacaktı. Soru bizden koli sayısının 3 basamaklı ve en az olmasını istiyor. O zaman 40’ın 3 basamaklı en küçük katını bulmalıyız.
- 40 x 1 = 40
- 40 x 2 = 80
- 40 x 3 = 120 (İşte bulduk! 3 basamaklı en küçük kat)
Adım 3: Bulduğumuz 120 sayısı, 1 koli eksik olsaydı sahip olacağımız sayıydı. Her seferinde 1 koli arttığına göre, bu 1 koliyi şimdi geri eklemeliyiz.
120 + 1 = 121
Sonuç: Hazırlanan koli sayısı en az 121‘dir.
Soru 5: İçinde eşit miktarda su bulunan iki damacana yanda verilmiştir. Damacanalar özdeş ve her birinin hacmi 19 litredir. Kaplar her seferinde tam doldurularak 1. damacanadaki su 370 mililitrelik kapla, 2. damacanadaki su ise 500 mililitrelik kapla boşaltılabilmektedir. Buna göre başlangıçta bir damacanada en fazla kaç litre su bulunmaktadır?
Bu soru da bir önceki gibi bir EKOK sorusu. Damacananın içindeki su miktarı, hem 370 ml’lik kapla hem de 500 ml’lik kapla tam olarak boşaltılabildiğine göre, bu su miktarı hem 370’in hem de 500’ün ortak bir katı olmalı.
Adım 1: Önce birimlerimizi eşitleyelim. Damacananın hacmi 19 litre verilmiş. Mililitre ile işlem yapacağımız için bunu mililitreye çevirelim. Unutma, 1 litre = 1000 mililitre.
19 litre = 19 x 1000 = 19000 ml
Adım 2: Şimdi su miktarının hem 370’in hem de 500’ün katı olduğunu bildiğimize göre, EKOK(370, 500)’ü bulalım.
Sayıları asal çarpanlarına ayırarak bulabiliriz:
370 = 10 x 37 = 2 x 5 x 37
500 = 100 x 5 = 10 x 10 x 5 = (2 x 5) x (2 x 5) x 5 = 2² x 5³
EKOK bulurken ortak olan asal çarpanlardan üssü büyük olanı ve ortak olmayanları alırız.
EKOK(370, 500) = 2² x 5³ x 37 = 4 x 125 x 37 = 500 x 37 = 18500 ml
Adım 3: Bulduğumuz 18500 ml, su miktarının alabileceği en küçük ortak değerdir. Soru bizden en fazla ne kadar su olabileceğini soruyor. Damacananın toplam kapasitesi 19000 ml idi. 18500’ün katlarına bakalım:
- 18500 x 1 = 18500 ml (Bu miktar 19000 ml’den az, yani olabilir)
- 18500 x 2 = 37000 ml (Bu miktar 19000 ml’den fazla, olamaz)
Demek ki damacanadaki su miktarı en fazla 18500 ml olabilirmiş.
Adım 4: Son olarak, sonucu bizden litre olarak istiyor. Bulduğumuz mililitre değerini litreye çevirelim.
18500 ml = 18,5 litre
Sonuç: Başlangıçta bir damacanada en fazla 18,5 litre su bulunmaktadır.
Soru 6: Yukarıdaki 180 m ve 150 m’lik iki yolun arasından akarsu geçmektedir. Belediye, bu akarsuyun üzerine eşit aralıklarla ve birbirine paralel çelik halatlar koymak istemektedir. Her iki yolun da başına ve sonuna halat konulmak şartıyla bu iş için toplam en az kaç halat gerekir? (Halatların kalınlığını dikkate almayınız.)
Sevgili öğrencim, bu soruda “eşit aralıklarla” ve “en az halat” ifadelerini gördüğümüz anda aklımıza EBOB (En Büyük Ortak Bölen) gelmeli. Neden mi? Çünkü halat sayısının en az olması için, halatlar arasındaki mesafenin olabildiğince fazla olması gerekir. Bu mesafenin de hem 180’i hem de 150’yi tam bölmesi lazım ki yolların sonuna da halat denk gelsin.
Adım 1: 180 ve 150’nin EBOB’unu bulalım. Bu bizim iki halat arasındaki mesafemiz olacak.
180’in bölenleri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
150’nin bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150
Gördüğümüz gibi en büyük ortak bölen 30’dur. Yani halatlar 30 metre aralıklarla konulacak.
EBOB(180, 150) = 30
Adım 2: Şimdi her bir yol için kaç halat gerektiğini bulalım. Çok önemli bir not: Başına ve sonuna da konulduğu için, bulduğumuz aralık sayısına her zaman 1 ekleriz!
180 metrelik yol için:
Aralık sayısı = 180 / 30 = 6
Halat sayısı = 6 + 1 = 7 halat
150 metrelik yol için:
Aralık sayısı = 150 / 30 = 5
Halat sayısı = 5 + 1 = 6 halat
Adım 3: Toplam halat sayısını bulmak için iki yola konulan halat sayılarını toplayalım.
Toplam halat = 7 + 6 = 13
Sonuç: Bu iş için toplamda en az 13 halat gerekir.
Soru 7: Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin uzun kenarı 240 m ve kısa kenarı 180 m uzunluğundadır. Bu bahçenin kenarlarına köşeleri de dâhil olacak şekilde eşit aralıklarla aydınlatma direği dikilecektir. Bir direğin fiyatı 300 TL olduğuna göre bu iş için en az kaç TL’ye ihtiyaç vardır?
Bu soru da bir önceki gibi bir EBOB sorusu. Maliyetin en az olması için, dikeceğimiz direk sayısının da en az olması gerekir. Direk sayısının en az olması için de direkler arasındaki mesafenin en fazla olması gerekir. Bu mesafe hem 240’ı hem de 180’i tam bölmeli ki köşelere de direk denk gelsin.
Adım 1: İki direk arasındaki en fazla mesafeyi bulmak için 240 ve 180’in EBOB’unu bulalım.
Asal çarpanlarına ayırarak bulalım:
240 = 2⁴ x 3 x 5
180 = 2² x 3² x 5
EBOB bulurken ortak asal çarpanlardan üssü küçük olanları alırız.
EBOB(240, 180) = 2² x 3¹ x 5¹ = 4 x 3 x 5 = 60 metre. Demek ki direkler 60 metre arayla dikilecek.
Adım 2: Toplam direk sayısını bulalım. Bunun için bahçenin çevresini bulup, direkler arasındaki mesafeye (yani EBOB’a) bölmemiz yeterlidir.
Bahçenin Çevresi = 2 x (Uzun Kenar + Kısa Kenar)
Çevre = 2 x (240 + 180) = 2 x 420 = 840 metre
Gerekli Direk Sayısı = Çevre / EBOB
Direk Sayısı = 840 / 60 = 14 direk
Adım 3: Toplam maliyeti hesaplayalım. Bir direk 300 TL ise, 14 direğin ne kadar tutacağını bulalım.
Toplam Maliyet = Direk Sayısı x Bir Direğin Fiyatı
Toplam Maliyet = 14 x 300 = 4200 TL
Sonuç: Bu iş için en az 4200 TL‘ye ihtiyaç vardır.