Harika sorular! Hadi gel, bu iki soruyu birlikte adım adım, tane tane çözelim. Emin ol, sonunda her şeyi çok net bir şekilde anlayacaksın.
Soru 7: Yandaki şekli oluşturan bütün üçgenler birer ikizkenar dik üçgendir. |AB| = |BC| = 1 cm olduğuna göre |JB| – |BC| kaç santimetredir?
Merhaba sevgili öğrencim, bu soru ilk bakışta biraz karmaşık görünebilir ama aslında birbiriyle bağlantılı adımlardan oluşan keyifli bir bulmaca gibi. Bize verilen en önemli bilgi, şekildeki tüm üçgenlerin ikizkenar dik üçgen olması. Bu, dik kenarlarının uzunluklarının birbirine eşit olduğu anlamına gelir. Gel, en küçük üçgenden başlayarak ilerleyelim.
Unutma, bir ikizkenar dik üçgende dik kenarların uzunluğu ‘a’ ise hipotenüsün (yani 90 derecenin karşısındaki kenarın) uzunluğu Pisagor Teoremi’nden dolayı a√2 olur. (a² + a² = c² => 2a² = c² => c = a√2)
Adım 1: ABC üçgeni ile başlayalım.
Bu bir ikizkenar dik üçgen ve bize |AB| = |BC| = 1 cm olarak verilmiş. Hipotenüsümüz |AC| kenarıdır.
|AC|² = |AB|² + |BC|²
|AC|² = 1² + 1² = 2
|AC| = √2 cm olur.
Adım 2: ACD üçgenine bakalım.
Bu da bir ikizkenar dik üçgen. |AC| kenarı bu üçgenin bir dik kenarıdır. O zaman diğer dik kenar olan |CD| de |AC|’ye eşittir.
Yani, |AC| = |CD| = √2 cm. Hipotenüsümüz ise |AD| kenarıdır.
|AD|² = (√2)² + (√2)² = 2 + 2 = 4
|AD| = √4 = 2 cm olur.
Adım 3: Bu şekilde bir desen fark ettin mi? Her seferinde bir önceki üçgenin hipotenüsü, yeni üçgenin dik kenarı oluyor. Hadi bu deseni takip ederek |JB|’ye kadar gidelim.
- ADE üçgeni için: Dik kenarlar |AD| = |DE| = 2 cm. Hipotenüs |AE| = 2√2 cm olur.
- EFG üçgeni için: Dik kenarlar |EF| = |AE| = 2√2 cm. Hipotenüs |EG| = (2√2) * √2 = 2 * 2 = 4 cm olur.
- GHI üçgeni için: Dik kenarlar |GH| = |EG| = 4 cm. Hipotenüs |GI| = 4√2 cm olur.
- IJB üçgeni için: Dik kenarlar |IJ| = |GI| = 4√2 cm. Hipotenüs |JB| = (4√2) * √2 = 4 * 2 = 8 cm olur.
Adım 4: Sorunun bizden istediği işlemi yapalım.
Soru bizden |JB| – |BC| değerini bulmamızı istiyor.
|JB| uzunluğunu 8 cm bulduk.
|BC| uzunluğu ise soruda 1 cm olarak verilmişti.
|JB| – |BC| = 8 – 1 = 7 cm.
Sonuç: 7
Soru 8: Yukarıdaki oyunda elmaları yemeye çalışan bir yengeç vardır. Bu yengeç, herhangi bir yön tuşuna basıldığında o yönde 2 birim hareket etmekte ve üzerinden geçtiği elmayı yemektedir. Yengece elmaları yedirmek isteyen bir oyuncu, yengeç şekildeki konumundayken 4 kez yukarı, 4 kez sağ ve 2 kez aşağı yön tuşuna basıyor. Buna göre yengecin oyuna ilk başladığı konum ile son konumu arasındaki mesafe kaç birimdir?
Bu da bir koordinat sistemi ve Pisagor sorusu aslında. Yengecin izlediği yol veya yediği elmalar bizim için önemli değil. Önemli olan, başladığı noktadan bittiği noktaya kuşbakışı ne kadar uzaklaştığıdır.
Adım 1: Yengecin toplamda ne kadar yer değiştirdiğini bulalım.
Her tuşa basışta 2 birim hareket ettiğini unutmayalım.
- Yukarı-Aşağı Hareketi (Dikey Eksen):
- 4 kez yukarı basılmış: 4 x 2 = 8 birim yukarı (+)
- 2 kez aşağı basılmış: 2 x 2 = 4 birim aşağı (-)
- Net dikey hareket: 8 birim yukarı – 4 birim aşağı = 4 birim yukarı gitmiş olur.
- Sağ-Sol Hareketi (Yatay Eksen):
- 4 kez sağa basılmış: 4 x 2 = 8 birim sağa (+)
- Sola hiç basılmamış.
- Net yatay hareket: 8 birim sağa gitmiş olur.
Adım 2: Bu hareketleri bir dik üçgen gibi düşünelim.
Yengeç başlangıç noktasından toplamda 8 birim sağa ve 4 birim yukarı hareket etmiştir. Başlangıç noktası ile bitiş noktası arasındaki en kısa mesafe, bu hareketlerin oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsü olacaktır.
Bu üçgenin;
Bir dik kenarı (yatay hareket) = 8 birim
Diğer dik kenarı (dikey hareket) = 4 birim
Aradığımız mesafe ise hipotenüstür.
Adım 3: Pisagor Teoremi’ni kullanarak mesafeyi hesaplayalım.
Mesafe² = (Yatay Hareket)² + (Dikey Hareket)²
Mesafe² = 8² + 4²
Mesafe² = 64 + 16
Mesafe² = 80
Mesafe = √80
Adım 4: Karekökü sadeleştirelim.
√80’i a√b şeklinde yazmamız gerekiyor. 80’i tam kare bir çarpanı olacak şekilde ayıralım. 80 = 16 x 5.
√80 = √(16 x 5) = √16 x √5 = 4√5 birim.
Sonuç: 4√5