Harika bir soru! Merhaba sevgili öğrencilerim, ben 8. Sınıf Matematik öğretmeniniz. Şimdi hep birlikte bu kareköklü ifadelerle ilgili “Sıra Sizde 3” alıştırmasını çözeceğiz. Amacımız, bize verilen kareköklü bir ifadeyi, başka bir sayıyla çarparak sonucunu bir doğal sayı yapmak. Yani, onu kökten kurtarmak!
Unutmayın, bir kareköklü ifadeyi kendisiyle çarparsak kök ortadan kalkar. Örneğin, √5 ⋅ √5 = 5 olur. İşte bu temel kuralı kullanarak sorularımızı adım adım çözeceğiz. Hazırsanız, başlayalım!
Sıra Sizde 3: Aşağıdaki kareköklü ifadelerle çarpıldığında sonucu doğal sayı yapan birer çarpan bulunuz.
a) 5√8
Bu soruyu çözmek için önce kök içindeki sayıyı olabildiğince sadeleştirmeliyiz. Yani onu “a√b” şeklinde yazmalıyız.
Adım 1: Kök içindeki 8 sayısını, içinde tam kare bir çarpan olacak şekilde ayıralım. 8 sayısı, 4 ile 2’nin çarpımıdır ve 4 bir tam karedir (2’nin karesi).
√8 = √(4 ⋅ 2) = √4 ⋅ √2 = 2√2Adım 2: Şimdi ifademizi bu yeni haliyle tekrar yazalım.
5√8 = 5 ⋅ (2√2) = 10√2Adım 3: Artık ifademiz 10√2 oldu. Bu ifadeyi kökten kurtarmak için ne yapmalıyız? Tabii ki köklü olan kısmı, yani √2’yi, kendisiyle çarpmalıyız.
Demek ki çarpanımız √2 olabilir.Sağlamasını yapalım: (10√2) ⋅ (√2) = 10 ⋅ (√2 ⋅ √2) = 10 ⋅ 2 = 20.
Sonuç 20, yani bir doğal sayı! O halde doğru çarpanı bulduk.Sonuç: 5√8 ifadesini doğal sayı yapan çarpanlardan biri √2‘dir.
b) 2√20
Yine aynı yöntemle ilerliyoruz. Önce kök içini sadeleştirelim.
Adım 1: 20 sayısını, içinde tam kare bir çarpan olacak şekilde ayıralım. 20 sayısı, 4 ile 5’in çarpımıdır ve 4 bir tam karedir.
√20 = √(4 ⋅ 5) = √4 ⋅ √5 = 2√5Adım 2: İfadeyi yeni haliyle yazalım.
2√20 = 2 ⋅ (2√5) = 4√5Adım 3: İfademiz 4√5 oldu. Bu ifadenin köklü kısmı √5 olduğuna göre, ifademizi √5 ile çarparsak sonuç doğal sayı olur.
Çarpanımız √5 olabilir.Sağlamasını yapalım: (4√5) ⋅ (√5) = 4 ⋅ (√5 ⋅ √5) = 4 ⋅ 5 = 20.
Sonucumuz yine bir doğal sayı. Harika!Sonuç: 2√20 ifadesini doğal sayı yapan çarpanlardan biri √5‘tir.
c) √68
Son sorumuzda da aynı mantığı kullanacağız. Haydi √68’i sadeleştirelim.
Adım 1: 68 sayısının içinde tam kare bir çarpan var mı diye düşünelim. 68’i 2’ye bölersek 34, 4’e bölersek 17 olur. Evet, 4 bir tam karedir!
√68 = √(4 ⋅ 17) = √4 ⋅ √17 = 2√17Adım 2: İfademiz artık 2√17. Bu ifadedeki köklü kısım √17’dir. Sonucu doğal sayı yapmak için bu ifadeyi √17 ile çarpmamız yeterlidir.
Çarpanımız √17 olabilir.Sağlamasını yapalım: (2√17) ⋅ (√17) = 2 ⋅ (√17 ⋅ √17) = 2 ⋅ 17 = 34.
Sonuç 34, yani bir doğal sayı!Sonuç: √68 ifadesini doğal sayı yapan çarpanlardan biri √17‘dir.
Gördüğünüz gibi, bu tür sorularda kilit nokta, önce kareköklü ifadeyi en sade haline getirmek ve sonra kökün içinde kalan sayının karekökü ile çarpmaktır. Hepinize iyi çalışmalar dilerim