Harika sorular, sevgili öğrencilerim! Gelin bu soruları birlikte, adım adım ve anlayarak çözelim. Tıpkı derste yaptığımız gibi, her adımı sindire sindire ilerleyeceğiz.
Soru 8: Aynı güzergâh üzerinde hareket eden metro ve tramvaydan, metro 1 saat çalışıp 20 dakika ara vermekte, tramvay ise 1 saat çalışıp 30 dakika ara vermektedir. Saat 08.00’de birlikte kalkan bu araçlar 2. kez saat kaçta birlikte harekete geçer?
Bu tür “tekrar ne zaman birlikte olurlar” soruları, aklımıza hemen bir konuyu getirmeli: EKOK (En Küçük Ortak Kat)! Çünkü iki farklı periyotta (döngüde) gerçekleşen olayın aynı anda ne zaman tekrar edeceğini bulmamız gerekiyor.
Çözüm:
- Adım 1: Araçların hareket döngülerini (periyotlarını) hesaplayalım.
Önce her bir aracın bir seferi tamamlayıp tekrar harekete başlaması için ne kadar süre geçtiğini bulmalıyız. Süreleri aynı birime, yani dakikaya çevirmek işimizi kolaylaştırır. Unutmayın, 1 saat = 60 dakikadır.
Metro için: 1 saat çalışma + 20 dakika ara = 60 dakika + 20 dakika = 80 dakika. Yani metro her 80 dakikada bir yeniden harekete başlıyor.
Tramvay için: 1 saat çalışma + 30 dakika ara = 60 dakika + 30 dakika = 90 dakika. Yani tramvay her 90 dakikada bir yeniden harekete başlıyor.
- Adım 2: Bu iki sürenin en küçük ortak katını (EKOK) bulalım.
Araçların tekrar aynı anda harekete geçeceği süre, 80 ve 90’ın ortak bir katı olmalıdır. Bizden ikinci kez ne zaman birlikte hareket edeceklerini sorduğu için en küçük ortak katı bulmalıyız.
EKOK(80, 90) = ?
80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 = 2⁴ x 5¹
90 = 2 x 3 x 3 x 5 = 2¹ x 3² x 5¹
EKOK bulurken ortak olan asal çarpanlardan üssü büyük olanı ve ortak olmayanları alırız.
EKOK(80, 90) = 2⁴ x 3² x 5¹ = 16 x 9 x 5 = 720 dakika
- Adım 3: Bulduğumuz süreyi saate çevirip başlangıç saatine ekleyelim.
720 dakikanın kaç saat olduğunu bulmak için 60’a böleriz.
720 / 60 = 12 saat.
Bu demek oluyor ki, araçlar ilk hareketlerinden 12 saat sonra tekrar birlikte hareket edecekler.
Başlangıç saati: 08.00
Geçen süre: 12 saat
Birlikte hareket edecekleri saat: 08.00 + 12.00 = 20.00
Sonuç: Metro ve tramvay, ikinci kez saat 20.00‘de birlikte harekete geçer.
Soru 9: Sadece pandaların yaşadığı uzun kenar uzunluğu 480 m ve kısa kenar uzunluğu 360 m olan hayvanat bahçesi eş karesel bölgelere ayrılarak yeniden düzenlenecektir. Oluşacak bölgelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
İki bölgenin köşesi olacak noktalara bambu filizi, dört bölgenin köşesi olacak noktalara su ve tek bir bölgenin köşesi olacak noktalara ise balık konarak pandaların beslenme ihtiyaçları karşılanacaktır.
Her bir bambu filizi için günlük 500 TL, su için 40 TL ve balık için 200 TL gerektiğine göre bir günde pandalar için toplam en az kaç TL harcanır?
Arkadaşlar, burada büyük bir alanı eş ve en büyük parçalara ayırma problemi var. Bir bütünü eş parçalara ayırıyorsak aklımıza ne geliyordu? Tabii ki EBOB (En Büyük Ortak Bölen)! Masrafın “en az” olması için mümkün olan en az sayıda köşe noktası oluşturmalıyız, bu da ancak en büyük boyutlu kareleri oluşturmakla olur.
Çözüm:
- Adım 1: Karesel bölgelerin bir kenar uzunluğunu bulalım.
Bahçeyi eş karelere böleceğimiz için, bu karenin bir kenarı hem 480’i hem de 360’ı tam bölmelidir. En az masraf için en büyük kareleri, yani kenar uzunluğu en büyük olan kareleri bulmalıyız. Bu da EBOB(480, 360) demektir.
EBOB(480, 360) = ?
480 = 120 x 4
360 = 120 x 3
Gördüğümüz gibi en büyük ortak bölen 120 metredir. Demek ki her bir karesel bölgenin kenarı 120 metre olacak.
- Adım 2: Bahçeye kaç tane kare sığdığını bulalım.
Uzun kenar boyunca: 480 / 120 = 4 tane kare sığar.
Kısa kenar boyunca: 360 / 120 = 3 tane kare sığar.
Toplamda 4 x 3 = 12 tane karesel bölgemiz olur. Bunu zihnimizde 4’e 3’lük bir tablo gibi canlandıralım.
- Adım 3: Köşe noktalarının türlerini ve sayılarını belirleyelim.
Şimdi bu 4×3’lük tablodaki köşe noktalarını sayalım:
Tek bir bölgenin köşesi (Balık): Bunlar bahçenin en dış köşeleridir. Her zaman 4 tane olur.
Dört bölgenin köşesi (Su): Bunlar tablonun iç kısmında kalan, dört karenin birleştiği noktalardır. (4-1) x (3-1) = 3 x 2 = 6 tane iç köşe vardır.
İki bölgenin köşesi (Bambu Filizi): Bunlar da kenarların üzerinde olup köşede olmayan noktalardır. Toplam köşe sayısı (4+1) x (3+1) = 5 x 4 = 20’dir. Diğerlerini bulduğumuza göre, 20 – (4 + 6) = 10 tane de bu noktalardan vardır.
- Adım 4: Toplam maliyeti hesaplayalım.
Balık maliyeti: 4 köşe x 200 TL = 800 TL
Su maliyeti: 6 köşe x 40 TL = 240 TL
Bambu filizi maliyeti: 10 köşe x 500 TL = 5000 TL
Şimdi hepsini toplayalım:
5000 TL + 800 TL + 240 TL = 5800 TL + 240 TL = 6040 TL
Sonuç: Pandalar için bir günde toplam en az 6040 TL harcanır.
Soru 10: Yarıçapı r olan çemberin uzunluğu 2πr formülü ile bulunur. A aracının tekerleklerinin yarıçapı 30 cm ve B aracının tekerleklerinin yarıçapı 36 cm’dir. Şekilde gösterilen biçimde harekete başlayan her iki araç bitiş çizgisine geldiğinde tekerleklerinin tam tur attığı bilinmektedir. Buna göre başlangıç ile bitiş çizgisi arasındaki mesafe en az kaç metredir? (π = 3 alınız.)
Sevgili arkadaşlar, bu sorunun anahtarı “tam tur atmak” ifadesinde gizli. Eğer bir tekerlek tam tur atıyorsa, aldığı yol tekerleğin çevresinin bir katı olmak zorundadır. İki farklı tekerlek de aynı yolu tam tur atarak tamamlıyorsa, bu yol her iki tekerleğin de çevresinin ortak bir katı olmalıdır. Soru bizden “en az” mesafeyi istediği için, yine EKOK kullanacağız!
Çözüm:
- Adım 1: Her bir tekerleğin çevresini hesaplayalım.
Çevre formülümüz: 2 x π x r. Soruda π = 3 almamız istenmiş.
A aracının tekerlek çevresi: 2 x 3 x 30 cm = 180 cm. Bu, A tekerleğinin bir tam turda aldığı yoldur.
B aracının tekerlek çevresi: 2 x 3 x 36 cm = 216 cm. Bu da B tekerleğinin bir tam turda aldığı yoldur.
- Adım 2: Tekerlek çevrelerinin EKOK’unu bulalım.
Başlangıç ile bitiş çizgisi arasındaki mesafe hem 180’in hem de 216’nın bir katı olmalıdır. En az mesafeyi bulmak için EKOK(180, 216)’yı hesaplayalım.
180 = 2² x 3² x 5
216 = 2³ x 3³
EKOK(180, 216) = 2³ x 3³ x 5 = 8 x 27 x 5 = 1080 cm
- Adım 3: Bulduğumuz mesafeyi metreye çevirelim.
Sorunun sonunda bizden mesafeyi “metre” olarak istediğini unutmayalım! Bu küçük ama önemli detayı kaçırmamak gerekir.
Biliyoruz ki 1 metre = 100 santimetredir. O halde santimetreyi metreye çevirmek için 100’e böleriz.
1080 cm / 100 = 10,8 metre.
Sonuç: Başlangıç ile bitiş çizgisi arasındaki mesafe en az 10,8 metredir.