Merhaba sevgili öğrencilerim! Bugün birlikte 8. üniteye ait bu harika matematik sorularını çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
Soru 7: Aynı yıl doğan Seher ve Bahar’ın doğum tarihlerindeki gün ve ay’ı gösteren sayılar, ayrı ayrı tam kare doğal sayılardır. Buna göre Seher ile Bahar arasındaki yaş farkı en fazla kaç ay ve gündür?
Bu soru, tam kare sayılarla ilgili bir mantık sorusu. İki kişinin doğum tarihlerindeki gün ve ay’ın tam kare sayılar olduğunu biliyoruz. Yaş farkının en fazla olması için, birinin doğum tarihini olabildiğince geriye, diğerinin ise olabildiğince ileriye almamız gerekiyor.
Adım 1: Tam kare sayıları hatırlayalım. Tam kare sayılar, bir doğal sayının kendisiyle çarpılmasıyla elde edilen sayılardır. Örneğin, 1 (1×1), 4 (2×2), 9 (3×3), 16 (4×4), 25 (5×5), 36 (6×6), 49 (7×7), 64 (8×8), 81 (9×9), 100 (10×10)…
Adım 2: Günler ve aylar için en büyük tam kare sayıları bulalım.
Günler için en büyük tam kare sayı 31’den küçük olmalı, yani 25’tir.
Aylar için en büyük tam kare sayı 12’den küçük olmalı, yani 9’dur.
Adım 3: Yaş farkını en fazla yapmak için birinin doğum gününü en erken, diğerini en geç yapalım.
Birinin doğum günü: 1 Ocak (1. ay, 1. gün). Her ikisi de tam kare sayıdır.
Diğerinin doğum günü: 25 Aralık (12. ay, 25. gün). Ay (12) tam kare değil, gün (25) tam kare. Bu durumda ay için en uygun tam kareyi bulmalıyız. En büyük tam kare ay 9’dur. Gün için en büyük tam kare ise 25’tir.
Yani, bir kişinin doğum günü 1 Ocak (1. ay, 1. gün) olabilir.
Diğer kişinin doğum günü ise en geç olabilecek şekilde, en büyük tam kare ay olan 9. ay (Eylül) ve en büyük tam kare gün olan 25. gün olarak düşünebiliriz. Yani 25 Eylül.
Adım 4: İki tarih arasındaki farkı hesaplayalım.
1 Ocak ile 25 Eylül arasındaki farkı bulmamız gerekiyor.
Ocak’tan Eylül’e kadar olan ayları düşünelim:
Ocak: 31 gün
Şubat: 28 gün (artık yıl değilse)
Mart: 31 gün
Nisan: 30 gün
Mayıs: 31 gün
Haziran: 30 gün
Temmuz: 31 gün
Ağustos: 31 gün
Eylül: 25 gün
Toplam gün sayısı: 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 25 = 278 gün.
Şimdi bu günleri ay ve gün olarak ifade edelim.
Bir yıl 365 gündür. Aradaki farkı bulmak için daha basit bir yol izleyebiliriz.
Birinin doğum tarihi: 1. ay, 1. gün.
Diğerinin doğum tarihi: 9. ay, 25. gün.
Aylar arasındaki fark: 9 – 1 = 8 ay.
Günler arasındaki fark: 25 – 1 = 24 gün.
Bu durumda, yaş farkı en fazla 8 ay 24 gün olur. Ancak soruda “en fazla kaç ay ve gündür?” diye soruluyor. Bu, yılın sonuna kadar olan günleri de hesaba katmamız gerektiği anlamına gelir.
En basit yol, en erken ve en geç doğum tarihlerini seçmektir.
En erken tam kare doğum tarihi: 1 Ocak (1. ay, 1. gün).
En geç tam kare doğum tarihi: 9. ay (Eylül), 25. gün.
Bu iki tarih arasındaki farkı hesaplayalım:
1 Ocak’tan 1 Eylül’e kadar kaç gün var?
31 (Ocak) + 28 (Şubat) + 31 (Mart) + 30 (Nisan) + 31 (Mayıs) + 30 (Haziran) + 31 (Temmuz) + 31 (Ağustos) = 243 gün.
1 Eylül’e kadar olan kısım bu. Bir de Eylül’ün 25 gününü eklersek: 243 + 25 = 268 gün.
Bu 268 günü ay ve gün olarak ifade edelim.
268 gün / 30 (ortalama ay) yaklaşık 8 ay eder.
8 ay x 30 gün = 240 gün.
268 – 240 = 28 gün.
Yani 8 ay 28 gün.
Ancak soruda “en fazla” deniyor. Bu durumda, bir kişinin doğum günü 1 Ocak, diğerinin ise 25 Eylül’den sonraki en yakın tam kare gün ve ay’ı düşünmeliyiz.
Yaş farkının en fazla olması için birinin doğumu yılın başında, diğerinin ise yılın sonuna yakın olmalı.
Tam kare sayılarla en erken ve en geç tarihleri bulalım:
En erken: 1. ay (Ocak), 1. gün.
En geç: 9. ay (Eylül), 25. gün.
Aralarındaki farkı hesaplayalım:
1 Ocak’tan 25 Eylül’e kadar olan gün sayısı:
Ocak: 31 gün
Şubat: 28 gün
Mart: 31 gün
Nisan: 30 gün
Mayıs: 31 gün
Haziran: 30 gün
Temmuz: 31 gün
Ağustos: 31 gün
Eylül: 25 gün
Toplam: 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 25 = 278 gün.
Bu 278 günü ay ve gün olarak ifade edelim.
278 gün = 9 ay ve 8 gün (30’ar günlük aylarla hesaplarsak: 278 / 30 = 9 kalan 8)
Bu durumda en fazla yaş farkı 9 ay 8 gün olabilir.
Sonuç: 9 ay 8 gün
Soru 8: Yandaki yamuğun alanı santimetrekare cinsinden tam kare doğal sayıya eşittir. Buna göre yamuğun yüksekliği tam sayı olarak en az kaç santimetredir?
Bu soruda bize bir yamuk verilmiş ve alanı tam kare bir sayıymış. Bizden de yüksekliğin en az kaç olabileceğini bulmamız isteniyor.
Adım 1: Yamuğun alan formülünü hatırlayalım.
Alan = (Alt Taban + Üst Taban) * Yükseklik / 2
Adım 2: Soruda verilen değerleri formüle yerleştirelim.
Alt Taban (AB) = 11 cm
Üst Taban (DC) = 9 cm
Yükseklik (h) = ?
Alan (A) = Tam kare bir doğal sayı.
Formülümüz şöyle olur:
A = (11 + 9) * h / 2
A = 20 * h / 2
A = 10 * h
Adım 3: Alanın tam kare bir sayı olması gerektiğini biliyoruz. Yani A = k² (k bir tam sayı).
10 * h = k²
Adım 4: h’nin tam sayı olarak en az değerini bulmak için, 10 * h’nin en küçük tam kare olmasını sağlayacak h değerini bulmalıyız.
10’un çarpanları 2 ve 5’tir. Bir sayının tam kare olması için, asal çarpanlarının üslerinin çift olması gerekir.
10 * h = (2 * 5) * h
Bu ifadenin tam kare olması için h’nin içinde en az bir tane 2 ve bir tane 5 çarpanı olmalıdır. Böylece üsler çift olur.
Yani h = 2 * 5 = 10 olmalıdır.
Adım 5: h = 10 değerini yerine koyarak alanı hesaplayalım ve tam kare olup olmadığını kontrol edelim.
A = 10 * h
A = 10 * 10
A = 100
100 sayısı, 10’un karesi olduğu için bir tam karedir.
h’nin en küçük tam sayı değeri 10’dur.
Sonuç: 10 cm
Soru 9: Bir kapta 4 litre sıvı sabun vardır. Bu sıvı sabun, her biri 1 mililitre cinsinden tam kare doğal sayı olan eşit hacimli sabunluklara tam olarak doldurulacaktır. Bu iş sonunda kapta sıvı sabun kalmayacağına göre en az kaç tane sıvı sabunluk tam olarak doldurulabilir?
Bu soruda, bir kapta bulunan 4 litrelik sabunu, hacimleri tam kare olan sabunluklara dolduracağız. Sabunların tam olarak bittiğini ve en az sayıda sabunluk kullandığımızı biliyoruz.
Adım 1: Birimleri birbirine çevirelim.
1 litre = 1000 mililitre
Yani kapta 4 litre = 4 * 1000 = 4000 mililitre sıvı sabun var.
Adım 2: Sabunlukların hacminin tam kare doğal sayı olması gerektiğini biliyoruz. En az sayıda sabunluk kullanmak için, her bir sabunluğun hacminin mümkün olduğunca büyük olmasını istemeliyiz. Ancak hacmin tam kare olması gerekiyor.
Adım 3: Sabunlukların hacmi, 4000 mililitreyi tam bölen bir tam kare sayı olmalı.
4000’in çarpanlarına bakalım:
4000 = 4 * 1000 = 2² * 10³ = 2² * (2*5)³ = 2² * 2³ * 5³ = 2⁵ * 5³
Şimdi 4000’i bölen en büyük tam kareyi bulmalıyız. Bir sayının tam kare olması için asal çarpanlarının üslerinin çift olması gerekir.
4000 = 2⁵ * 5³
Bu sayıyı bölen bir tam kare sayının asal çarpanları 2 ve 5 olmalı ve üsleri çift olmalı.
En büyük tam kare bölenini bulmak için, 2⁵ ve 5³’teki en büyük çift üsleri almalıyız.
2’nin en büyük çift üssü 4’tür (2⁴).
5’in en büyük çift üssü 2’dir (5²).
Yani 4000’i bölen en büyük tam kare sayı: 2⁴ * 5² = 16 * 25 = 400 mililitredir.
Adım 4: En az sayıda sabunluk kullanmak için, her sabunluğun hacmini bu en büyük tam kare bölen olan 400 mililitre seçeriz.
Adım 5: Toplam sabun miktarını bir sabunluğun hacmine bölerek kaç tane sabunluk gerektiğini bulalım.
Sabunluk sayısı = Toplam Sabun Miktarı / Bir Sabunluk Hacmi
Sabunluk sayısı = 4000 ml / 400 ml
Sabunluk sayısı = 10
Sonuç: 10
Soru 10: Yukarıda kenarları çakışık üç karesel bölge ve bunların alan ölçüleri verilmiştir. Bu karelerin her birinin alanı üç basamaklı tam kare doğal sayı olduğuna göre yukarıdaki şeklin çevresi en az kaç santimetredir?
Bu soruda, üç tane iç içe geçmiş kare var ve bu karelerin alanları üç basamaklı tam kare sayılarmış. Bizden de bu şeklin çevresini en az kaç santimetre olabileceğini bulmamız isteniyor.
Adım 1: Üç basamaklı tam kare sayıları bulalım.
10’un karesi 100’dür. Bu en küçük üç basamaklı tam karedir.
11’in karesi 121
12’nin karesi 144
…
31’in karesi 961
32’nin karesi 1024 (bu dört basamaklı olduğu için almıyoruz).
Yani üç basamaklı tam kare sayılar 100’den 961’e kadar olanlardır.
Adım 2: En az çevreyi bulmak için, karelerin kenar uzunluklarının en küçük olması gerekir. Kenar uzunlukları, alanlarının kareköküdür. Bu yüzden, alanların en küçük üç basamaklı tam kare sayılar olması gerekir.
Adım 3: En küçük üç basamaklı tam kare sayılar şunlardır:
100 (10×10)
121 (11×11)
144 (12×12)
Bu sayılar, alanları verilen üç karenin alanları olmalıdır. Soruda “kenarları çakışık” ve “alan ölçüleri verilmiştir” deniyor. Görselde soldan sağa doğru alanlar 1ab cm², 1ba cm², 1cc cm² olarak gösterilmiş. Bu, ab ve ba’nın rakamları temsil ettiği anlamına gelir.
Adım 4: Verilen alanları inceleyelim: 1ab cm², 1ba cm², 1cc cm². Bunların üç basamaklı tam kare sayılar olması gerekiyor.
Bu durumda, “ab” ve “ba” sayıları iki basamaklı sayılardır.
En küçük üç basamaklı tam kareler:
100: a=0, b=0 olabilir. Ancak 1ab ve 1ba şeklinde olduğu için a ve b sıfır olamaz.
121: a=2, b=1 olabilir. Bu durumda 1ab = 121 olur. 1ba = 112 olur. 112 tam kare değil.
144: a=4, b=4 olabilir. Bu durumda 1ab = 144 olur. 1ba = 144 olur. 1cc = 144 olur. Bu durumda üç kare de aynı olur.
169: a=6, b=9 olabilir. Bu durumda 1ab = 169 olur. 1ba = 196 olur. 196 tam kare değil.
196: a=9, b=6 olabilir. Bu durumda 1ab = 196 olur. 1ba = 169 olur. 169 tam kare değil.
Sorudaki gösterim “1ab” şeklinde. Bu, 100 + 10a + b anlamına gelir.
Yani, 1ab, 1ba ve 1cc tam kare sayılardır.
En küçük üç basamaklı tam karelerden başlayalım ve bu yapıyı sağlayanları bulalım:
Eğer 100 alan ise, a=0, b=0 olur. Ama a ve b’nin sıfırdan farklı olması gerekiyor gibi duruyor.
Alanlar üç basamaklı tam kare olacak.
121 (11²). Eğer 1ab = 121 ise, a=2, b=1. O zaman 1ba = 121 olur. Bu durumda iki kare aynı olur.
144 (12²). Eğer 1ab = 144 ise, a=4, b=4. O zaman 1ba = 144 olur. Üç kare de aynı olur.
169 (13²). Eğer 1ab = 169 ise, a=6, b=9. O zaman 1ba = 196 olur. 196 tam kare değil.
196 (14²). Eğer 1ab = 196 ise, a=9, b=6. O zaman 1ba = 169 olur. 169 tam kare.
Yani, 1ab = 196 (a=9, b=6) ve 1ba = 169 (b=6, a=9) olabilir.
Bu durumda iki karenin alanları 196 cm² ve 169 cm² olur.
Şimdi üçüncü kareye bakalım: 1cc cm². Bu da üç basamaklı bir tam kare olmalı.
En küçük üç basamaklı tam kareler: 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961.
Bizim bulduğumuz alanlar 196 ve 169. Üçüncü alan 1cc şeklinde.
Eğer 1cc bir tam kare ise, c sadece 0 olabilir (100), 1 olabilir (121), 2 olabilir (144), …
1cc, 100 ile 199 arasındaki bir sayıdır. Bu aralıktaki tam kareler: 100, 121, 144, 169, 196.
Bu durumda 1cc şu değerleri alabilir:
100 (c=0)
121 (c=2, ama cc 22 olmalıydı)
144 (c=4, ama cc 44 olmalıydı)
169 (c=6, ama cc 66 olmalıydı)
196 (c=9, ama cc 99 olmalıydı)
Burada “1cc” ifadesi, 100 + 10c + c = 100 + 11c anlamına geliyor.
Yani, 100 + 11c bir tam kare olmalı.
c=0 için: 100 (10²). Bu geçerli.
c=1 için: 100 + 11 = 111 (tam kare değil)
c=2 için: 100 + 22 = 122 (tam kare değil)
c=3 için: 100 + 33 = 133 (tam kare değil)
c=4 için: 100 + 44 = 144 (12²). Bu geçerli.
c=5 için: 100 + 55 = 155 (tam kare değil)
c=6 için: 100 + 66 = 166 (tam kare değil)
c=7 için: 100 + 77 = 177 (tam kare değil)
c=8 için: 100 + 88 = 188 (tam kare değil)
c=9 için: 100 + 99 = 199 (tam kare değil)
Yani 1cc için olası tam kareler 100 ve 144’tür.
Şimdi “en az çevre” dediği için, en küçük kenar uzunluklarını seçmeliyiz. Bu da en küçük alanları seçmek anlamına gelir.
Olası alanlar:
1. Durum: 1ab=169 (a=6, b=9), 1ba=196 (b=9, a=6). Bu iki kare. Üçüncü kare 1cc.
1cc için en küçük tam kare 100 (c=0).
O zaman alanlar 169, 196, 100 olabilir.
Kenar uzunlukları: √169 = 13, √196 = 14, √100 = 10.
Bu üç karenin kenar uzunlukları 10, 13, 14 olur.
Şeklin çevresini hesaplamak için, en büyük karenin çevresini alırız ve diğer karelerin dışarıda kalan kenarlarını toplarız.
En büyük kenar 14.
Çevre = 4 * 14 (en büyük karenin çevresi) + 2 * (14-13) (ortadaki karenin dışarıda kalan kenarı) + 2 * (13-10) (en küçük karenin dışarıda kalan kenarı)
Çevre = 56 + 2 * 1 + 2 * 3
Çevre = 56 + 2 + 6 = 64 cm.
2. Durum: 1cc için en küçük ikinci tam kare 144 (c=4).
O zaman alanlar 169, 196, 144 olabilir.
Kenar uzunlukları: √169 = 13, √196 = 14, √144 = 12.
En büyük kenar 14.
Çevre = 4 * 14 (en büyük karenin çevresi) + 2 * (14-13) (ortadaki karenin dışarıda kalan kenarı) + 2 * (14-12) (en küçük karenin dışarıda kalan kenarı)
Çevre = 56 + 2 * 1 + 2 * 2
Çevre = 56 + 2 + 4 = 62 cm.
3. Durum: En küçük alanları seçelim.
100 (c=0) -> 1cc = 100. Kenar = 10.
121 (a=2, b=1) -> 1ab = 121. Kenar = 11.
1ba = 112 (tam kare değil). Bu durum olmaz.
Tekrar baştan bakalım. Alanlar 1ab, 1ba, 1cc. Bunlar tam kare.
En küçük üç basamaklı tam kareler: 100, 121, 144, 169, 196.
100: c=0. 1cc = 100. Kenar=10.
121: a=2, b=1. 1ab=121. 1ba=112 (tam kare değil).
144: a=4, b=4. 1ab=144. 1ba=144. 1cc=144. Üç kare de aynı. Kenar=12.
Çevre = 4 * 12 = 48 cm. Ancak bu durumda üç kare de aynı olur, bu da “kenarları çakışık üç karesel bölge” tanımına pek uymaz gibi.
169: a=6, b=9. 1ab=169. Kenar=13. 1ba=196. Kenar=14.
196: a=9, b=6. 1ab=196. Kenar=14. 1ba=169. Kenar=13.
Yani iki kare 169 ve 196 olabilir.
Üçüncü kare 1cc. 1cc’nin tam kare ve en küçük olması lazım.
1cc için en küçük tam kare 100 (c=0). Kenar=10.
Alanlar: 169, 196, 100. Kenarlar: 13, 14, 10.
En büyük kenar 14.
Çevre = 4 * 14 + 2 * (14-13) + 2 * (13-10) = 56 + 2 + 6 = 64 cm.
Şimdi 1cc için bir sonraki tam kareyi deneyelim: 144 (c=4). Kenar=12.
Alanlar: 169, 196, 144. Kenarlar: 13, 14, 12.
En büyük kenar 14.
Çevre = 4 * 14 + 2 * (14-13) + 2 * (14-12) = 56 + 2 + 4 = 62 cm.
Şimdi de alanları farklı sıralamada deneyelim.
Eğer 1ab = 144 (a=4, b=4). Kenar = 12.
1ba = 144 (b=4, a=4). Kenar = 12.
1cc = 100 (c=0). Kenar = 10.
Alanlar: 144, 144, 100. Kenarlar: 12, 12, 10.
En büyük kenar 12.
Çevre = 4 * 12 + 2 * (12-10) = 48 + 4 = 52 cm.
Eğer 1ab = 144 (a=4, b=4). Kenar = 12.
1ba = 144 (b=4, a=4). Kenar = 12.
1cc = 121 (c=2, ama 1cc olmalı). Hayır.
1cc = 144 (c=4). Kenar = 12.
Bu durumda üç kare de 144 olur. Kenar 12. Çevre = 4 * 12 = 48 cm.
Soruda “en az” dediği için en küçük çevreyi bulmalıyız.
En küçük kenar uzunluklarını seçtiğimizde en küçük çevre elde ederiz.
Alanlar 1ab, 1ba, 1cc tam kare olacak.
En küçük üç basamaklı tam kareler: 100, 121, 144, 169, 196.
Eğer 1cc = 100 ise (c=0), kenar=10.
Eğer 1ab = 121 ise (a=2, b=1), kenar=11. 1ba = 112 (tam kare değil).
Eğer 1ab = 144 ise (a=4, b=4), kenar=12. 1ba = 144. Kenar=12.
Eğer 1cc = 100 (kenar=10), 1ab = 144 (kenar=12), 1ba = 144 (kenar=12).
Kenarlar: 10, 12, 12. En büyük kenar 12.
Çevre = 4 * 12 + 2 * (12-10) = 48 + 4 = 52 cm.
Eğer 1cc = 121 (c=2, bu 1cc olmaz).
Eğer 1cc = 144 (c=4), kenar=12.
1ab = 169 (a=6, b=9), kenar=13. 1ba = 196, kenar=14.
Kenarlar: 12, 13, 14. En büyük kenar 14.
Çevre = 4 * 14 + 2 * (14-13) + 2 * (14-12) = 56 + 2 + 4 = 62 cm.
En küçük çevreyi bulmak için en küçük kenar uzunluklarını seçmeliyiz.
Alanlar: 100, 144, 144. Kenarlar: 10, 12, 12.
Bu durumda en büyük kenar 12. Çevre = 4 * 12 + 2 * (12-10) = 48 + 4 = 52 cm.
Bu durumdaki alanlar: 1cc=100, 1ab=144, 1ba=144. Bu şartları sağlıyor.
Sonuç: 52 cm