Harika bir soru! Merhaba sevgili öğrencilerim, ben sizin 8. Sınıf Matematik öğretmeniniz. Bu “Düşünme Zamanı” etkinliğindeki soruları birlikte, adım adım ve anlayarak çözeceğiz. Unutmayın, bu sorular aslında çok sevdiğimiz bir konuyu, Pisagor Bağıntısı‘nı kullanmak için harika bir fırsat!
Haydi başlayalım!
Sorunun genel mantığını bir hatırlayalım. Elimizde M noktasından yere sabitlenmiş bir çubuk var. Bu çubuk K ucundan yukarı kaldırıldığında, zemin ve duvar ile bir dik üçgen oluşturuyor.
- Çubuğun kendisi bu dik üçgenin en uzun kenarı, yani hipotenüsü olur.
- K noktasının yerden yüksekliği, üçgenin dikey dik kenarıdır.
- M noktasının duvara olan uzaklığı ise üçgenin yatay dik kenarıdır.
Soruda bizden istenen en önemli şey şu: Çubuk öyle bir noktada duracak ki, hem yerden yüksekliği hem de duvara olan yatay uzaklığıtam sayı olacak. Bizden de bu şartı sağlayan en az yüksekliği bulmamız isteniyor.
Kullanacağımız sihirli formül tabii ki Pisagor Bağıntısı:
(Dik Kenar 1)2 + (Dik Kenar 2)2 = (Hipotenüs)2
Yani, (Yatay Uzaklık)2 + (Yükseklik)2 = (Çubuğun Uzunluğu)2
a) Zemin M ile K arası 5 dm olan çubuk
Bu soruda çubuğumuzun uzunluğu, yani hipotenüsümüz 5 dm. K noktasının yerden yüksekliğine ‘y’ ve M noktasının duvara uzaklığına ‘x’ diyelim. İkisinin de tam sayı olmasını istiyoruz.
Adım 1: Pisagor bağıntısını yazalım.
x2 + y2 = 52
x2 + y2 = 25
Adım 2: Şimdi, kareleri toplamı 25 olan tam sayıları düşünelim. Bu aslında bize çok tanıdık gelen bir özel üçgeni hatırlatıyor: 3-4-5 üçgeni!
Adım 3: Bu üçgene göre dik kenarlarımız 3 dm ve 4 dm olabilir. Yani, K noktasının yerden yüksekliği ya 3 dm ya da 4 dm olabilir.
- Eğer yükseklik (y) = 3 dm olursa, yatay uzaklık (x) = 4 dm olur. (32 + 42 = 9 + 16 = 25)
- Eğer yükseklik (y) = 4 dm olursa, yatay uzaklık (x) = 3 dm olur. (42 + 32 = 16 + 9 = 25)
Adım 4: Soru bizden K noktasının yerden yüksekliğinin en az kaç olacağını soruyor. Bulduğumuz değerler 3 ve 4. Bunlardan küçük olanı seçeceğiz.
Sonuç: K noktasının yüksekliği 3 dm olur.
b) Zemin M ile K arası 13 dm olan çubuk
Burada ise çubuğumuzun uzunluğu, yani hipotenüsümüz 13 dm. Yine yüksekliğe ‘y’, yatay uzaklığa ‘x’ diyelim.
Adım 1: Pisagor bağıntısını kuralım.
x2 + y2 = 132
x2 + y2 = 169
Adım 2: Kareleri toplamı 169 olan tam sayıları arıyoruz. Bu da aklımıza bir başka özel üçgeni getirmeli: 5-12-13 üçgeni!
Adım 3: Bu üçgene göre dik kenarlarımız 5 dm ve 12 dm olabilir.
- Yükseklik (y) = 5 dm ise, yatay uzaklık (x) = 12 dm olur. (52 + 122 = 25 + 144 = 169)
- Yükseklik (y) = 12 dm ise, yatay uzaklık (x) = 5 dm olur. (122 + 52 = 144 + 25 = 169)
Adım 4: Soru bizden yine en az yüksekliği istiyor. 5 ve 12 sayılarından küçük olanı 5’tir.
Sonuç: K noktasının yüksekliği 5 dm olur.
c) Zemin M ile K arası 17 dm olan çubuk
Bu defa hipotenüsümüz 17 dm. Haydi aynı adımları takip edelim.
Adım 1: Pisagor bağıntısını yazıyoruz.
x2 + y2 = 172
x2 + y2 = 289
Adım 2: Özel üçgenleri hatırlamaya devam! Kareleri toplamı 289 olan hangi tam sayılar var? Evet, doğru bildiniz: 8-15-17 üçgeni!
Adım 3: Öyleyse dik kenarlarımız 8 dm ve 15 dm olabilir.
- Yükseklik (y) = 8 dm ise, yatay uzaklık (x) = 15 dm olur. (82 + 152 = 64 + 225 = 289)
- Yükseklik (y) = 15 dm ise, yatay uzaklık (x) = 8 dm olur. (152 + 82 = 225 + 64 = 289)
Adım 4: En az yükseklik istendiği için 8 ve 15 arasından küçük olanı, yani 8’i seçiyoruz.
Sonuç: K noktasının yüksekliği 8 dm olur.
ç) Zemin M ile K arası 25 dm olan çubuk
Son sorumuzda hipotenüsümüz 25 dm. Bu biraz daha dikkat gerektirebilir, çünkü 25 hipotenüsüne sahip birden fazla özel üçgen olabilir.
Adım 1: Pisagor bağıntısını yazalım.
x2 + y2 = 252
x2 + y2 = 625
Adım 2: Şimdi aklımıza gelenleri deneyelim.
- Acaba 3-4-5 üçgeninin katları olabilir mi? 5’in 5 katı 25 olduğuna göre, diğer kenarları da 5 ile çarpalım: 3×5=15, 4×5=20. Yani 15-20-25 üçgeni. Kontrol edelim: 152 + 202 = 225 + 400 = 625. Evet, bu bir çözüm!
- Peki başka var mı? Evet, bir de 7-24-25 özel üçgeni var! Kontrol edelim: 72 + 242 = 49 + 576 = 625. Bu da bir çözüm!
Adım 3: Olası yükseklik değerlerimizi listeleyelim.
- 15-20-25 üçgeninden yükseklik 15 dm veya 20 dm olabilir.
- 7-24-25 üçgeninden yükseklik 7 dm veya 24 dm olabilir.
Adım 4: Tüm bu olası yükseklikler (7, 15, 20, 24) arasından en küçük olanını bulmamız gerekiyor.
Sonuç: K noktasının yüksekliği 7 dm olur.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Gördüğünüz gibi özel dik üçgenleri bilmek bize ne kadar çok zaman kazandırıyor! Hepinize iyi çalışmalar dilerim.